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没有任何智慧可以不经由感觉而获得。
——［意］托马斯·阿奎那
639年，阿拉伯人大举入侵埃及，当时埃及受制于拜占庭帝国。拜占庭军队与阿拉伯人交战三年之后被迫撤离埃及，亚历山大学术宝库里仅存的著作被入侵者付之一炬，希腊文明至此落下了帷幕。此后，埃及才有了开罗，埃及人改说阿拉伯语并信奉伊斯兰教。
那时中国正逢大唐盛世，唐太宗李世民在位。唐朝是中国封建社会最繁荣的时代，疆域也不断扩大，首都长安（西安）成为各国商人和名士的聚集地，中国与西域、东瀛等地的交往十分频繁。
虽说唐代在数学上并没有产生与它之前的魏晋南北朝或它之后的宋元相媲美的大师，却在数学教育制度的确立和数学典籍的整理方面有所建树。唐代不仅沿袭了北朝和隋代开启的“算学”制度，也设立了“算学博士”的官衔。
在古代中国，“算学博士”并非最早的专精一艺的官衔，西晋便置“律学博士”，北魏则增“医学博士”。除了算学博士官衔，唐代还在科举考试中设置了数学科目，给通过者授予官衔，不过级别最低，且到晚唐就废止了。
事实上，唐代文化氛围的主流是人文主义，而不太重视科学技术，这与意大利的文艺复兴时期颇为相似。存在近三个世纪的唐朝虽说在诗歌领域星光璀璨，在数学方面却表现平平，最有意义的成就莫过于《算经十书》的整理和出版，这是唐高宗李治下令编撰的。
奉诏负责这10部算经编撰和注释工作的是李淳风，他是岐州雍县（今属陕西宝鸡）人，自幼聪慧好学，博览群书，尤其精通天文、历法和数学。李淳风年轻时成为秦王李世民的幕僚，后来得以执掌负有天文、地理、制历、修史之职的太史局，在朝40多年，晚年辞官隐居阆中（今属四川南充），并在那里逝世。
唐代数学家李淳风 |
淳风祠。作者摄于四川阆中 |
李淳风在天文学方面成就斐然，在堪称世界上最早的气象学著作《乙巳占》里，他把风力分为8级（加上无风和微风则为10级）。直到1805年，一位英国学者才把风力划分为0~12级。
在这10部算经中，有作者不详的古典数学名著《周髀算经》和《九章算术》，也有数学家刘徽的《海岛算经》和祖冲之的《缀术》。刘徽、祖冲之与祖冲之的儿子祖暅共同给出了球体积计算公式和圆周率（精确到小数点后7位）。此外，至少还有三部算经值得一提，分别是《孙子算经》、《张丘建算经》和《缉古算经》。
6世纪的北周数学家甄鸾（河北无极人）虽只活了31岁，却贡献了其中的两部算经——《五曹算经》和《五经算术》，但其价值更多体现在人文社科方面。前一部主要服务于相应的社会经济制度，可谓地方官员的应用数学教程，对它的研究有助于了解当时的社会背景。后一部对儒家经典中与数学有关的叙述详加注释，对经学研究者有一定帮助。
《算经十书》成为唐代和之后各朝代的数学教科书，对中国数学的发展产生了巨大影响，特别是为宋元时期数学的高度发展并领先世界创造了条件。著名的英国科学史家李约瑟博士对李淳风十分赞赏，“（李淳风）大概是中国历史上最伟大的数学著作注释家”。
《孙子算经》、《张丘建算经》和《缉古算经》的共同特点是，每一部都提出了一个非常有价值的问题，并世代相传。例如，《孙子算经》里著名的“物不知数”问题，导出了闻名于世的中国剩余定理，被收入了中外的每一部数论教科书。《缉古算经》是世界上最早讨论三次方程解的数学著作。
宋抄本《张丘建算经》扉页
《张丘建算经》成书于5世纪，作者张丘建（又名张邱建）是北魏人。当时是北魏中期，都城设在平城（今山西大同），统治者是鲜卑族人。
北魏通过改革，社会经济由游牧经济转变为农业经济，实行了俸禄制、均田制、汉化政策等，极大地促进了经济社会的发展和民族的融合。虽然后来北魏迁都洛阳，但大同今天仍有“第九古都”的美誉，世界文化遗产之一的云冈石窟也是北魏留给子孙后代的宝贵财富。
张丘建的家乡在清河县（今属河北邢台），他所著的算经中最后一道题堪称亮点，通常被称为“百鸡问题”，民间则流传着县令以此问题考问神童的故事。原文如下：
今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
意思是，公鸡每只5钱，母鸡每只3钱，而小鸡三只才1钱。假设有100钱，去买100只鸡（钱必须用光），应买多少只公鸡、母鸡和小鸡？
设购买的公鸡、母鸡和小鸡的数量分别是 x 、 y 、 z ，此题相当于解下列方程组的正整数解：
在张丘建生活的时代，中国尚未引进字母，也没有未知数的概念，用文字叙述这样的方程组并不容易。可是，张丘建正确地给出了全部三组解答，即（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）。他通过消元法，先把两个三元一次方程化简成一个二元一次方程，即
7 x + 4 y = 100
再依次取 x 为4的倍数，最终得出上述三组解答。
这个问题在中国民间流传甚广，堪称数学普及的典范。类似的问题在国外直到很久以后，才由13世纪的意大利人斐波那契和15世纪的阿拉伯人卡西（Kashi）提出并加以研究。遗憾的是，张丘建和其他中国数学家没有乘胜追击对这个问题进行总结。此类方程后来被称为丢番图方程，以最早搜集、研究和整理它们的希腊数学家丢番图（Diophantus）的名字命名。
正当中国、印度、阿拉伯在数学等诸多领域做出新贡献时，欧洲却处于漫长的黑暗时代。这段历史始于5世纪罗马文明的瓦解（刚好是张丘建所生活的北魏时期），结束于欧洲文艺复兴开始之时，总计长达1 000多年。
意大利的人文主义者之所以称其为“中世纪”，是为了凸显他们的工作和理想，并与古希腊和古罗马时期遥相呼应。不过，那时在亚平宁半岛，数学家的境况不算太糟。罗马教皇西尔维斯特二世非常喜欢数学，他能够登基也与这个嗜好有关，可谓数学史上的一大传奇。
爱数学的教皇热尔贝
这位教皇本名热尔贝，在成为教皇之前是一位学者，曾做过罗马帝国太子的家庭教师。据说他还做过算盘、地球仪和时钟，他撰写的一部几何学著作解决了当时的一个难题：已知直角三角形的斜边和面积，求出它的两条直角边的边长。
在热尔贝任罗马教皇期间，欧洲迎来了科学史上赫赫有名的翻译时代。因为在经过数个世纪的战争洗劫后，希腊的数学和科学著作在欧洲早已荡然无存，但好在它们经阿拉伯人之手又回到了欧洲。除了欧几里得、阿基米德（Archimedes）、托勒密和阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）等人的名著以外，被译成拉丁文的著作还有阿拉伯人自己的学术结晶，例如花拉子密的《代数学》。这些翻译工作一直持续到12世纪。
在同一时期，地中海一带经济力量的重心从东部缓慢地移至西部。这种变化首先源自农业的发展，种植豆类使得人类在历史上首次有了食物上的保证，人口因此迅速增长，这是导致旧的封建社会结构解体的一个因素，也使学术的传播成为可能。
到了13世纪，不同种类的社会组织在意大利各个城邦层出不穷，包括各种行会、协会、市民议事机构和教会等，它们迫切希望获得某种程度的自治。重要的代议制度有了发展，终于产生了政治议会，其成员有权做出决定，且对于选举他们的全体公民具有约束力。
在艺术领域，哥特式建筑和雕塑的经典模式已经形成，文化生活领域则产生了经院哲学的方法论，这方面的杰出代表是托马斯·阿奎那（T. Aquinas）。这位出生在那不勒斯的一座城堡里的哲学家，被天主教徒视为历史上最伟大的神学家之一，他从亚里士多德的理论中获得了许多启示，把理性引入神学，促使保守的教徒们第一次正视科学的理性主义。
阿奎那认为，神学的主要研究对象是上帝，上帝在存在上并不依靠物质，相反它能够脱离物质而存在，因而神学是“第一哲学”。其次是数学，它以“在存在上依靠物质，在概念上并不依靠物质”的对象（例如线和数）为研究对象。再次是物理学，它以“在存在和概念上都依靠物质”的对象为研究对象。阿奎那还强调，“没有任何智慧可以不经由感觉获得”。
在相对开放的政治和人文氛围中，数学领域也不甘落后，出现了中世纪欧洲最杰出的数学家斐波那契。他出生在比萨，年轻时随身为政府官员的父亲前往北非的阿尔及利亚，在那里接触到阿拉伯人的数学并学会用印度—阿拉伯数字做计算。
斐波那契像，他发明了分数中间的横线
后来，斐波那契又到过埃及、叙利亚、拜占庭和西西里等地，学到了东方人的计算方法。回比萨后不久，他就撰写并出版了著名的《算经》。他出名以后，很快就成为酷爱数学、诗歌和美女的神圣罗马帝国皇帝腓特烈二世的宫廷数学家。
斐波那契既是欧洲数学复兴的先锋，也是东西方数学交流的桥梁。16世纪的意大利数学家、三次和四次方程解法的集大成者卡尔达诺（G. Cardano）这样评价他的前辈：“我们可以假定，所有我们掌握的希腊以外的数学知识都是由于斐波那契的出现而得到的。”
《算经》的第一部分介绍了数的基本算法，并介绍了不同进制之间的转换方法。他率先使用了分数中间的那条横线，这个记号沿用至今。第二部分是商业应用题，其中有“30钱买30只鸟”，与“百钱买百鸡”如出一辙。
“今有30只鸟值30钱，其中每只山鹑值3钱，每只鸽子值2钱，一对麻雀值1钱，问每种鸟各多少？”9世纪的埃及数学家阿布–卡米尔（Abū-kamil）的著作中出现了“百鸡问题”，一般认为是由印度传入的。斐波那契在旅途中接触并受到阿布–卡米尔著作的影响，由此我们可以推测，此类问题是由中国经印度、阿拉伯传入欧洲的。
第三部分是杂题和怪题，其中以“兔子问题”最引人注目。这个问题是：每对大兔每月能生产一对小兔，每对小兔过两个月就能成为可以繁殖的大兔。由一对小兔开始，一年后将会有多少对兔子？依据“兔子问题”，很容易得到所谓的“斐波那契数列”：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
这个数列的递归公式（可能是数学家发现的第一个递归公式）是：
F 1 = F 2 = 1, F n = F n–1 + F n–2 (n≥3)
有意思的是，这个整数数列的通项竟然是一个含有无理数√5的式子，而且前一项与后一项的比值的极限竟然是古希腊的毕达哥拉斯学派定义的黄金分割率（参见下一个故事）。
斐波那契数列出现在许多数学问题中，它还可以帮助解决诸如蜜蜂的繁殖、雏菊的花瓣数和艺术美感等方面的问题。在丹·布朗的畅销小说《达·芬奇密码》中，斐波那契数列还被用作保险柜的密码。
举一个有趣的爬楼梯的例子。假设你可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶。试问，爬一段有 n 个台阶的楼梯有多少种方式？
设共有 a n 种方式，已知 a 1 =1， a 2 = 2。假设第一步上了一个台阶，则还有 a n–1 种选择；假设第一步上了两个台阶，则还有 a n–2 种选择。这样一来，就得到
a n = a n–2 + a n–1
比较这个算式和递归公式以及初始值，即可得出 a n = F n+1 。
从斐波那契留下来的画像来看，他的神韵颇似晚他三个世纪的同胞画家拉斐尔（Raffaello）。斐波那契常常以旅行者自居，人们喜欢称他为“比萨的莱奥纳多”，而把《蒙娜丽莎》的作者称为“芬奇的莱奥纳多”。
1963年，一群热衷研究“兔子问题”的数学家成立了国际性的斐波那契协会，并着手在美国出版《斐波那契季刊》（ Fibonacci Quarterly ），专门刊登与斐波那契数列有关的数学论文。同时，他们还在世界各地轮流举办两年一度的斐波那契数列及其应用的国际会议。这在世界数学史上可谓一个奇迹或神话。