从大禹治水到丢勒画《忧郁》

大洪水的传说

“大禹治水”是古代汉民族的神话故事，起源于著名的上古大洪水传说。大洪水是世界各地许多民族的共同传说，在四大文明古国（古埃及、古巴比伦、古代中国、古印度）及希腊、玛雅等民族的神话故事里，都有大洪水甚至洪水灭世的传说，只是原因和过程不尽相同。

依照中国古代传说，大洪水的原因是水神共工和火神祝融相争，水神一怒之下，撞折了支撑天的大柱子不周山，使得天崩地陷、洪水滔天，这个故事也是神话“女娲补天”的前传。希伯来文和希腊文《圣经》则是这样描写的：“上帝见人在地上罪恶极大，于是宣布将使用洪水，毁灭天下地上有血肉气息的活物，无一不死！”

与此同时，上帝也命挪亚建造了一个巨型方舟，将世上每一种生物都至少留一对。这艘船长130米、宽22米、高13米，分上、中、下三层。当洪水来袭，天降暴雨，水位不断上涨，把地上的一切生灵都毁灭了，唯有挪亚方舟里的生命幸免于难。洪水退去以后，挪亚一家得以生还，成为中东地区各个民族的祖先。

有人对世界各地200多种大洪水传说做了研究，发现九成以上都提到全球性的洪水泛滥，七成以上都提到了船只庇护，五成以上都提到人们最终在高山上得以幸存。“无风不起浪”，那么历史上究竟有没有发生过大洪水呢？科学家们并没有否定大洪水发生的可能性，只是谁也无法确定它于何时何地发生。

目前，地质学领域有两种较为流行的理论。一是黑海洪灾。大约7 000年前，黑海还是淡水湖，四周农田围绕，后来，冰川融化造成中东地区洪水泛滥，黑海也变成了咸水湖。二是彗星撞击地球。大约5 000年前，一颗大直径的彗星撞击了非洲马达加斯加岛海岸，卷起100多米高的海啸，一路向北，引发了大洪水。

不过，也有一种截然相反的意见，认为12 000年前第四纪冰期结束时，气候转暖、冰河融化，导致海平面上升，淹没了许多海岸和陆地。故而世界性的大洪水确实发生过，但并未达到淹没一切的程度。当时海边的人们损失巨大，被迫向内陆迁徙，并带去了可怕的洪水故事，于是便有了大洪水的传说。那些淹没在海底的文明遗迹和海水浸没过的痕迹成为此说法的有力论据。

大禹治水和洛书

在中国神话里，大禹是黄帝的玄孙。大洪水导致黄河泛滥，禹和父亲鲧先后受命于尧、舜二帝，负责治水。鲧采用“堵”的办法，结果失败了。禹新婚不久便离家远行，他汲取父亲失败的教训，对洪水进行疏导。相传大禹为了治水，“三过家门而不入”，哪怕其中一次听到新生儿子的啼哭声。

经过13年的努力，大禹终于完成治水伟业，从此百姓安居乐业。舜禅位于禹，后来禹的儿子启建立了中国第一个王朝——夏。在大禹治水期间，他的妻子女娇因为思念丈夫，曾作过一首情诗《候人兮猗》，这里“兮”字是语气助词，相当于“啊”或“呀”，后来频频出现在《诗经》和《楚辞》中，女娇也成为中国历史上第一位留名的女诗人。在安徽怀远的涂山有一块望夫石，相传为女娇所化。

西汉前期民间流传着一则故事。大禹治水时，洛阳东北孟津县的黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图，人称“河图”；又从洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”。

洛书上有三行三列的纵横图，分别写着1~9这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同，均为15。

之所以各行列元素之和为15，原因在于1~9这9个数字加起来是45，再除以3是15。有专家分析，这可能也是我国古代将一年划分为24个节气，每个节气15天的依据。

玩纵横图这种游戏时，我们可以用笔在纸上书写，也可以用扑克牌来协助拼图。今天的“图书”一词，或许也与“河图”和“洛书”有关。纵横图也被称为九宫图或魔方，它既是科学的结晶，又是吉祥的象征。就连我们使用的智能手机里的汉语拼音键盘，也采用了九宫格的图案。

公元前1世纪，汉宣帝时期的博士戴德的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》里就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的九宫数记载。之前，无论《尚书》、《论语》，还是《管子》，都提到了河图和洛书。奇书《周易》被认为起源于伏羲八卦，后者又来自河图和洛书。

可是，自宋朝以来，关于河图和洛书是否真的存在这个问题又有了争议。例如，“唐宋古文八大家”之一的欧阳修认为，河图绝非在《周易》之前；到了元代，还有学者认为，河图和洛书来自《周易》；而有的现代历史学家甚至持彻底否定说，不承认洛书的存在。

直到1977年，在安徽阜阳出土的一座西汉古墓里，发现了一只太乙九宫占盘。盘中数字五居中，一对九、二对八、三对七、四对六，与洛书完全相符，这才结束了持续900年的河图、洛书真伪之争。自那以后，洛书也被全世界公认为数学分支之一——组合数学的起源。

如同明代数学家程大位在《算法统宗》一书中所写的，“数起源于远古时代黄河出现的河图和洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策”。他还指出，大禹受洛书中数的相互制约和均衡统一的启发，建立起国家的法律体系，使得天下一统，归于大治。

东方的魔方玩家

数学史上，绝大多数问题都是从一个或几个简单的例子开始的。从九宫数出发，人们定义了幻方，英文称之为magic square。这是一种将不同数字安排在正方形格子中，使每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等的方法。正方形的行（列）数被称为幻方的阶，容易推得，二阶幻方不存在，幻方至少需要三阶。

任何一个幻方经过旋转或反射仍是幻方，共有8种等价形式，可归为同一类。不难验证，三阶幻方或纵横图只有一类。出乎我们意料的是，有人计算出四阶和五阶幻方分别有880类和275 305 224类，六阶幻方约有1.8×10 ¹⁹ 类，这是一个天文数字。

因为每个 n 阶幻方的元素之和为从1加到 n ² ，故而其和为 )。用 n 除之，即得各行、列以及对角线的数之和为 当 n = 3时，这个数是15； n = 4时，这个数是34。

在古印度、波斯和阿拉伯，均有人研究幻方。先来看看印度人，无论早期的吠陀教还是如今的印度教，三阶幻方均是仪式的一部分，且有着神灵一样的名字。例如Kubera kolam，其中Kubera是南印度的财神，kolam是南印度的传统粉笔画。人们用玉米粉或粉笔将幻方画在寺庙的地板或墙壁上，虔诚的信徒在庙里受戒，祈求财富和好运。

特别值得一提的是，10世纪的印度人发明了一个四阶幻方，刻在克久拉霍一座耆那教寺庙的墙壁上。这个幻方如此神奇，除了每行、列和两条对角线以外，任意相邻的两行和两列的4个元素之和也为34。它被视为最完美的幻方，不过，得认真比对印度数字与阿拉伯数字，才能够辨认出16个数字来。

说到克久拉霍，它是印度中央邦一座有两万人口的小城市。可是在1 000年以前，它却是印度月亮王朝的都城。“克久拉”的意思是椰子，如今克久拉霍仍是印度宗教的传播中心，有22座千年古寺保存至今，尤以性爱雕像群和舞蹈节闻名，1986年被定为联合国“世界文化遗产”。

再来说说阿拉伯人，他们的数学和天文学最初来自印度的旅行者，但有所发展。迄今为止，最早的五阶幻方和六阶幻方出现在983年前后的巴格达，他们还把幻方应用到天文学中。在阿拉伯化前的波斯，也有人研究幻方，在一部早期的数学著作里，有用等差数列构成的多种幻方。

1956年，考古人员在西安郊外元朝安西王府旧址发掘出5块铁板，上面都刻有用阿拉伯数字表示的六阶幻方，每行、列及对角线的数之和均为111，它们可能是王府用作驱魔避邪的器物。1980年，在上海浦东陆家嘴，一块可佩戴的元代玉挂饰物被挖掘出土，正面写着“万物非主，惟有真宰，穆罕默德，为其使者”，反面则是一个四阶幻方。

13世纪的南宋数学家杨辉是幻方研究专家，他是杭州人，曾在苏州、台州等地做过地方官。与古代中国的大部分数学家一样，杨辉利用业余时间研究数学。他用等差数列的求和公式，巧妙地给出了三阶幻方和四阶幻方的计算方法。虽然对四阶以上的幻方，他只给出结果而未留下算法，但他的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。

画《忧郁》的丢勒

在欧洲，最著名的幻方属于德国版画家丢勒（A. Dürer）。那是一个四阶幻方，出现在他的雕版画《忧郁Ⅰ》里。画中有一个手扶额头做沉思状的青年女子，一副翅膀表明她机智聪慧，还有一个球体、一个多面体、一束光芒（彗星或灯塔）和一道彩虹。画面右上角有像窗子一样的正方形，那正是一个四阶幻方：

无疑，幻方的出现增添了画面的神秘气氛，让忧郁的主题得到加强。这幅画的尺寸比较小，只有24厘米高、19厘米宽。这可能是艺术作品中首次出现幻方，它助力此画成为一幅世界名画。值得一提的是，丢勒的幻方不仅每行、列以及对角线的数之和均为34，甚至4个角落和正中央那5个小正方形的4个数字之和也均为34。

更有趣的是，如果把丢勒幻方末行中间的两个数15和14合在一起，恰好是这幅画诞生的年份—1514。由此可见，丢勒对幻方的构造已经游刃有余。可是比起印度克拉久霍寺庙墙壁上的那个幻方，丢勒的幻方仍然稍显逊色，因为前者所含的每个小正方形（共9个）的4个数字之和均为34。

1471年，丢勒出生在德意志帝国南方巴伐利亚的纽伦堡，他多才多艺，一生大约有20年时间在荷兰、瑞士、意大利等地旅行或侨居。丢勒的作品具有知识和理性的特征，创作领域十分宽广，包括油画、版画、木刻、插图等，还致力于艺术理论和科学著作的写作。

丢勒被视为文艺复兴时期艺术家里面数学最好的一位，他的著作《圆规直尺测量法》主要是关于几何学的，也顺便提到了透视法。书中谈到了空间曲线及其在平面上的投影，还介绍了外摆线，即当圆滚动时圆周上一点的轨迹。丢勒甚至考虑到了曲线在三个相互垂直平面上的正交投影，这个想法极其前卫，直到18世纪法国数学家蒙日（G.Monge）才发展出相关数学分支——画法几何。

一般来说，在绘画语言中，色彩更长于表现情感，线条更长于表现理智。德意志民族通常被认为富有理性思维，因而有德国画家擅长用线条的说法。无论这一说法正确与否，至少丢勒确实如此。他以精密的线描表现出自己细微的观察和复杂的构思，其丰富的思维与热情的理想结合在一起，产生了一种奇特的效果，在美术史上留下了显著的印迹。

在20世纪西班牙建筑师安东尼·高迪（A. Gaudí）的代表作——巴塞罗那圣家族大教堂的西门口，有一组石雕群像，上面也刻着一个四阶幻方。仔细查看你会发现，这个幻方的各行、列以及对角线的数之和不是34，而是33，据说是因为基督升天时33岁，人的脊椎骨也是33根。富有创意的设计者约瑟夫·苏比拉克（J. Subirachs）让10和14出现了两次，而让12和16消失。

在中国作家金庸的小说《射雕英雄传》里，郭靖和黄蓉被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题，那正是三阶纵横图。这道题困扰了瑛姑十几年，却被黄蓉一下就答了出来。在美国作家丹·布朗（D. Brown）的小说《失落的秘符》里，丢勒和他的幻方也成为作品中不可或缺的组成部分。 k4lPi7aVwlO1rtEkP5nC/ISWW+NXHni5RdswFSyJ2twCC6yUvgfXmJ3W/WAL89XW