对定理和公式进行验证

在一开始，我想先给大家介绍几句名人名言。

“问题不在于告诉他一个真理，而在于教他怎样去发现真理。”（哲学家、教育思想家卢梭）

“我喜欢旅行，但不喜欢到达目的地。”（物理学家爱因斯坦）

“哥伦布感到幸福不是在他发现了美洲的时候，而是在他将要发现美洲的时候。他的幸福达到最高点的时刻大概是在发现新大陆的三天以前。问题在于生命，仅仅在于生命，在于发现生命的这个不间断和无休止的过程，而完全不在于发现结果本身。”（小说家陀思妥耶夫斯基）

“通常，人们把登上山顶作为目的，把登山作为手段。或许，二者也可以颠倒一下。”（乐天会长兼社长三木谷浩史）

实际上，这些名人名言都只说明了一个意思，那就是， 从事物的本质上来说，结果并不是最关键的，重要的是它的过程。

就好比说金字塔，当我们看到金字塔的时候，会有一种敬畏的感觉，这是为什么呢？是因为金字塔看上去特别的宏伟壮观吗？我不是这么认为的。在当今的科技产业下，比金字塔看上去更加宏伟、更加壮观的现代建筑是数不胜数。这是因为几千年前的人类在当时的科技水平下，就能够创造这样的奇迹，我们为此而感到震惊。更进一步的说，在当时的时代背景之下，那些石头是怎样堆积上去的，这一点让人感到神秘和不可思议。要说金字塔真正的价值，无非就是它的建造方法。

那些数学公式和定义也是同样的道理。它们的本质并不在于结果的完美和得到结果的便捷，而是在于它是如何得出的，是如何推演的，这样一个验证的过程。

定理和公式是“人类智慧的结晶”

说起数学的历史，那是非常的久远。早在公元前7万年左右，人们的绘画中就出现了几何图案。而在公元前3万年左右留下的历史遗迹当中我们就可以看出，当时的人们已经掌握了时间。就拿我们日常生活当中耳濡目染的算术和几何学来说，都已经有5000多年的历史了。

从小学到初中再到高中，总共是12年。在这12年的教学计划当中，包含了数学史上5000多年以来的最重要也是最完美的数学定义和公式。每一个时代都有在当时世界上最顶尖的数学家，而我们在小学、初中和高中时代所学的数学定义和公式，实际上已经涵括了所有这些人的智慧的结晶。这些数学定义和公式的结果并不是智慧的本质，而本质的体现，就在于推算的过程。

在验证的过程当中有所感动

当我们聆听莫扎特的音乐，欣赏毕加索的绘画的时候，会为此而感动。同样，在数学定义和公式当中也有感动。然而这种感动，绝不是因为只看到了结果，或者是因为能够把这些公式和定义“运用”到数学题当中去，而是因为通过数学的验证，让我们感受到了前人的伟大。

“啊，真厉害啊！”

“啊，真是天才啊！”

在验证的过程当中，我们会发出这样的感慨。这种感动也是数学的趣味性所在，我们能够借此而感受到数学当中有趣的一面。不过遗憾的是，学校的教学安排总是让学生们一刻不停的写作业、考试，学生们根本就没有多余的时间让学生们来感受这些。如今日本的教学方式就是这样：

“看，这就是二次方程式的运算公式，你们要牢牢的记住它。”

遗憾的是，用这种方式来教学生的老师不在少数。故而有那么多的人在学生时代对数学产生了厌恶的情绪。正因为如此，我希望大家能够再次拿起数学，把当年老师要我们背诵的那些定义和公式进行验证，从中得出体会，并得到感触。希望有更多的人发现数学的乐趣，喜欢上数学。

通过验证提高“数学的能力”

如果说数学的能力就是逻辑判断能力的话，那么，如何才能提高逻辑判断的能力呢？在前文当中，我曾拿金字塔来举了个例子。 而逻辑判断能力，就好比是如何用一块块的石头来堆成金字塔一样，是一种对事物进行判断思考的能力。

说到金字塔的建造，在堆积石头的时候，如果只是这么随意的往上堆的话，那么金字塔很快就会倒下来的。必须要知道下一块石头该放在什么地方。而前人留下的金字塔，就是对这种逻辑的验证和实践，我们可以从中学习到逻辑性的堆积方法。同样，历史上的那些数学天才们留下来的定义和公式，我们拿来一一验证，就等同于在向那些前辈们请教数学。拿到一道数学题该如何着手，变换方程式的方法和窍门，如何作辅助线等等，有太多的地方值得我们去学习。对于我们来说，恐怕没有比这些数学天才们更好的老师了。

之前我已经说过许多次了，如果仅仅只是把每一种数学题的解题方法都记下来，这样对提高你的数学能力，是没有任何帮助的。至于死记硬背那些定理和公式，更是毫无意义。 在学习数学的过程当中，如果说有什么东西是值得背下来的话，那么就只有一个：对定义和公式的验证方法。

有一句话是我们耳熟能详的，无论多么天才的发明和创造，最初也是从模仿开始的。就算是公认的天才莫扎特，也需要海顿老师的教导。既然要模仿，那就应该模仿最好的、最顶级的。因此，我们才要去学会如何验证那些数学天才们留下来的定义和公式。在验证的过程当中，能够感觉得到，他们所留下来的逻辑理论，都会变成属于你自己的东西。到那个时候，你就真正的掌握了数学的能力。

对勾股定理的验证

在上一章节，我们讲到了对定理和公式的验证，那么接下来，我们举一个具体的例子，就拿著名的勾股定理来举例好了。首先我们来回忆一下，勾股定理指的是什么？

就算你忘了勾股定理也不要紧，要紧的是，对这个定理进行验证之后，你感受到了什么，又学到了什么。

如上图所示，将四个直角三角形拼接在一起，形成了一个边长为（a+b）的大正方形，当中还有一个边长为c的小正方形。让我们来看一下它们的面积：

大正方形的面积=小正方形的面积+直角三角形的面积×4……☆

我们可以得出如上这样的一个答案。

接下来，让我们用英文字符来表示面积，

大正方形的面积为：（a+b） 2

小正方形的面积为：c 2

直角三角形的面积为：a×b÷2=

我们将这些面积代入到☆号方程式当中去，得出

然后我们再将等号左边的（a+b） 2 进行展开：

（a+b） 2 =a 2 +2ab+b 2

如果你没有掌握乘法公式的话：

（a+b）（a+b）=a 2 +ab+ab+b 2

那么你可以像这样，实际计算一下，从而得到确认。

接下来将展开之后的（a+b） 2 代入到☆号方程式当中去：

a 2 +2ab+b 2 =c 2 +2ab

从而最终得出：

a 2 +b 2 =c 2

至此，勾股定理的验证就完成了。

怎么样？现在是不是感觉到心情舒畅？至此，你有没有感觉到，勾股定理不仅仅只是一个单纯的定理，还包含了很多的意思。与此同时，我们也感受到了最初的那个拼接图形的巧妙，顺便还复习了一下乘法公式。

不管怎么说，用面积来验证关于边长的定理，这不失为一种奇思妙想。我们可以看到，在勾股定理的方程式当中出现了三个平方，而平方，就是相同的两个数字相乘，从而得出的积（乘法运算）。也就是说，通过对这个定理的验证，我们可以知道用乘法运算来得出面积。

实际上，对勾股定理的验证，有100种以上的方法。

【介绍勾股定理验证方法的网页】

PythagoreanTheorem

Http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

在这个网页当中，还有很多验证的方法，都会让你不由自主的发出感慨：“原来还可以想到这么多啊！”

虽然我有把这些验证方法都介绍给大家的冲动，但是这并不是我的主要目的。相对于勾股定理的验证来说，我更想告诉大家的是，通过对定理和公式的验证，能够将那些乏味枯燥的知识变成具有新鲜感，能够带来感动的智慧，从而实现知识的升华。

对2次公式的验证

在学生时代，我们学到了许多数学定理和公式。这当中有一些虽然能够背下来，却不能够验证。而其中具有代表性的例子就是2次公式。现在就让我们来试着验算一下2次公式。而在验算之前，先让我们来确认一下2次公式是什么：

如上所述，这就是2次公式。（啊，如果你不记得了也没有关系！）

在验算2次公式之前，我们先来回想一下，2次方程式的运算究竟是怎样的。我们拿2次方程式当中最简单的类型来举例子，比如：

就是最简单的一个2次方程式。我们即使不用任何公式，也能够得出：

如果我们把ax 2 +bx+c=0按照：

的形式进行变形，那么就应该可以得出：

然而，真的可以得出这样的结果吗？

在变形之前，我先给大家介绍一个非常重要的运算技巧，那就是“平方的转换”。

平方的转换，绝对不是简单的方程式变形就可以完成的，接下来请大家仔细阅读。

首先，让我们来学习一下“平方转换的基本公式”（这个是我自己命名的）。当你把：

（x+m） 2 =x 2 +2xm+m 2

当中的m进行移项，就可以得出“平方转换的基本算式”。

例）

接下来，我们就用“平方转换的基本公式”对ax 2 +bx+c进行平方的转换。

这样一来平方的转换就搞定了！

肯定有人会觉得，这真的是太难了。就像我之前所说的那样，这绝不是简单的变形，因此，在一开始的时候，你肯定会感到不知所措（我一开始也这样）。但是无论如何你都要习惯它。

找一张白纸，尽量把这个算式多练习几遍，这只是一个纯粹的技巧，你肯定能掌握的。

回过头来再说，通过上述平方的转换，从而我们得出了

当ax 2 +bx+c=0的时候：

然后对方程式进行移项，将 移到等号右边：

接下来，将等号两边同时除以a，得出：

这样一来，就达成了一开始的想法，将方程式ax 2 +bx+c=0按照

的形式进行了变形。接下来，我们将☆号方程式进行开平方：

对等号左边的 进行移项，得出：

至此，2次公式的验证的就算完成了！

感觉怎么样？当然，的确是费了一番周折。要想完成这样一个验算，首先得掌握平方的转换的技巧，然后再去考虑2次方程式究竟该如何去解，于是就想到了（　） 2 =p这么一个形式，并且把方程式按照（　） 2 =p的形式进行变形，这一连串下来，让我们积累了许多有关于数学方面的宝贵经验。

找到灵光一闪的原因

当我们面对前人所留下来的这些数学定理和公式，就会不由自主的感觉到，先辈们在验证这些定理和公式的过程当中，那种灵光一闪般的神奇灵感。你千万不可以认为，“啊，反正换了我是怎么也想不出来的～”，然后就这么放弃了。就像前文当中所说的那样，你可以先从模仿开始。

你还要思考一下：为什么那些先辈们就能够想得到呢？肯定有原因在里面。比如说，在先前三角形勾股定理的验证过程当中，我们就想到了用2次方乘法运算来得出面积。 而对那些定理和公式进行验证，其最大目的就在于，弄明白那些灵感和奇思妙想得来的原因。 在这些原因里面，就包含了用数学的方式来思考问题的实质。我们可以从那些定理和公式的验证方法、解题方法当中，找出潜在的实质性的思考问题的方法，以及恰当的解题思路。

话虽这么说，但是要想自己一个个的去找出解题思路也并非易事。因此，本书罗列了10种解题思路，在第3部分会有详细的介绍。 ltw3NPbAeCoskBJH8Zh3G8X9YqQ/NKS32McRNiURUL5mXUmmYbSANyUrGziS9BU4