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一个学生，从数学成绩不好到有所提高，必然要经过一个特殊的阶段，就是产生疑问并解答。如果你能产生疑问，那就说明你知道你自己“哪里不明白，什么地方弄不懂”，这一点是极为重要的。
在学术界有一种论文被称之为观察（Survey）论文，说的是，通过作者自己的观点，对某一研究领域内的研究动向进行观察、整理和评价的论文。关于该项研究，都有了哪些进展和突破？这句话也可以反过来说，在此之前，研究者们对于哪些地方还有疑惑？此后是不是都得以解决？如果用这种方式来写，那么我想这篇论文一定是成功的。为什么这样说呢？ 因为当你弄明白哪些地方是你不明白的时候，那么这就意味着，答案已经离你不远了。
“可是问题是，我也不知道我哪里不明白，我觉得我好像哪里都不明白～”
我想肯定有人会这么说。要想知道自己到底哪里不明白，有一个办法，那就是 多问问自己“为什么？”
小孩子就经常会问一些这种在大人眼里看起来是理所当然的事情。
比如说：
“天空为什么是蓝色的啊？”
当你遇到不甚了解的事情时，会不会去试着去搞清楚呢？
“啊～原来是这么一回事！”
大家不妨去试一试，不要盲目的去相信书上说的话，或者是老师教给你的东西，要时刻保持着疑问的精神，多问一问自己“这是为什么？”就像是小孩子缠着大人不停的问“为什么”一样，这是一种良好的学习习惯。
“为什么，在这个地方要作辅助线？”
“为什么，方程式要这样变形？”
“为什么，要用这种解题方法？”
从现在开始：
“啊，就这么办吧！”
“这不关我的事，这是那些数学天才们才要考虑的事情。”
“只要记住解题方法就好了。”
你一定不能再有这样的想法了，相反，还要不断的问自己“这是为什么，为什么要用这种方法答题”。这样一来，你不但能够搞清楚自己还有哪些地方不明白，同时也激发出了求知欲，迫切的想要知道答案。然后你可以通过上网、翻书或者问人的方式来寻找答案。如此，你就发挥出了学习的主观能动性。
学习，必须要是主动的去学习。 不能像是雏鸟一样，呆在窝里面等着母鸟来喂食。光是等着别人来教你这是不行的。只有张开了翅膀，主动去探寻自己想要的东西，这才是长大了的鸟儿。想要知道些什么，掌握些什么，只有自己去寻找，这样找来的东西才真正是属于自己的。
顺便说一下，天空为什么看上去是蓝色的。众所周之，在太阳光当中包含了“赤橙黄绿青蓝紫”七种我们肉眼能够识别的颜色，而在这当中，蓝色光（波长较短的光）因空气的折射而扩散开来，被我们的视线所发觉，所以天空看上去是蓝色的。
我经常问学生这样一个问题：
“镰仓幕府是哪一年建立的？”
学生们这样回答：“我知道！‘建立清平国度（日文当中与1192谐音）镰仓幕府’是1192年建立的！”
“是的，那么江户幕府又成立于哪一年呢？”
“呃……是哪一年来着？”
从2006年前后开始，历史学界的主流说法就发生了转变，认为镰仓幕府的建立时间不应该从1192年源赖朝担任征夷大将军的时候开始计算。实际上在1185年坛浦之战胜利之后，源赖朝就实际上掌控了全国，并且，幕府僚臣的设置也得到了天皇朝廷的承认。所以，现在几乎所有的教科书都把镰仓幕府的建立时间改在了1185年。就连顺口溜也都改成了“建立清平政府（日文当中与1185谐音）镰仓幕府”。
为什么大多数的学生都仅仅只能记住镰仓幕府成立的时间，却记不住江户幕府成立的时间呢？实际上在日本的历史当中，江户幕府的建立与镰仓幕府的建立，是同样重要的历史事件，甚至前者比后者更为重要。学生们却只能记住镰仓幕府的成立时间，记不住江户幕府的成立时间。
这主要还是因为有“清平国度”这么一句顺口溜。然而这句顺口溜不是胡说八道的，在短短的一句话当中，它包含了一扫政治弊端，建立清平社会的执政思想在里面。虽然这句顺口溜很短，但是却包含了一种能够让人理解的“语意”在里面。通过那些以镰仓幕府时代为背景的故事以及反映当时社会情景的影视片，我们可以得知，这的确是一句不错的顺口溜。至于1603年江户幕府的成立，虽然也有“一片惊扰（日文当中与1603发音相近）”这么一句顺口溜，但是没有“清平国度”给人的印象深刻，因此也就很少有人能记得住。
这就是我要说的重点，关于“镰仓幕府的成立时间——1192年”，你是不是觉得印象深刻，想忘也忘不掉了？就好像是日本人当中，有谁能够忘掉桃太郎的？在学习上，给了我们这样一个启发，凡是有含义在里面的，包含了故事情节的，我们都很难忘掉它。
当我们在学习新知识的时候，想一想如何才能把新学到的知识和已经掌握了的知识联系起来，这样你就不容易忘掉它。 要想把某一个知识单独的从脑海当中提取出来并不容易。然而，如果你能把这个知识和其他的知识联系起来，那么想起来就容易得多。
这就像是钓鱼，一杆一杆地钓是要不得的，要想拉网一样，一网下去大鱼小鱼全都拽上来。
给学到的知识添加“恰当”的语意，使得它和别的知识联系起来，这就是从知识到智慧的升华（关于知识和智慧的区别，我将在下一个小章节中详细说明）。
我们来举一个例子，关于一次函数的图像，大家还记得吗？我们简单的复习一下。
【一次函数】
为x的相关系数，当
y=ax+b
的时候，图像为直线，这个时候，a表示斜率，b表示与y轴的切线截距。
我们要掌握的知识就是，当图像为直线的时候，a表示斜率。然而，如果将这点单独来记忆，或许用不了多久就会忘记。
为了不至于忘记，我们不妨添加一些语意进去。首先斜率的表示方法有很多，在此，我们将斜率进行如下定义：
比如说，如下直角三角形的“斜率”为
：
接下来，我们把这个斜率运用到一次函数的图像当中去试试看。
在这里，“底”为x的变量，“高”为y的变量。那么，根据图像我们可以得出：
那么，当变量x在数值p到数值q的区间之内，会怎么样呢？
因为y=ax+b
所以：
当x=p的时候，y=ap+b
当x=q的时候，y=aq+b
在此，我们根据定义来求斜率：
由此我们可以得出，a的确表示斜率。
我们还可以从中得到启示，当斜率a为固定值的时候（与变量x没有关联），图像为直线。
然而这个话题并不是到此就结束了，实际上：
并不仅仅只限于一次函数，在任何函数当中都可以运用得上。只不过，在一次函数之外，我们一般将它称之为“平均变化率”。当变量x无限接近于0的时候，牛顿和莱布尼茨（Leibnitz）又从中得出了微分学的基本定理。
怎么样？没想到从一个简单的知识当中能够引申出这么多的含义吧？从初中数学当中的一次函数图像，一直联系到微分学！（我这么说可不是为了炫耀……）
在数学当中，有许多的定义、公式和解法，如果你把它们都当作一个个单独的知识来记忆的话，等到用的时候就拿不出来了。你要想一想它们都能引申出哪些含义来，最好是能够和其他的定义、解法联系起来……这样你不仅仅能够记住所学的知识，还能够抓住它的本质。
在这里，我给大家介绍一下19世纪下半叶的著名心理学家艾宾浩斯的忘却实验。在实验的过程当中，艾宾浩斯让实验对象去记一些诸如“jor, nuk, lad”等毫无意义的字母组合。当实验对象记下来之后，经过一段时间，来检测一下这些记忆的内容有多少被遗忘了。
试验结果表明，在20分钟之后，实验对象忘掉了42%的内容，1个小时之后忘掉了56%，1天之后忘掉了74%，1周之后忘掉了77%，1个月之后忘掉了79%。
由此我们可以看出，如果你不了解数学公式和定义背后的含义，就这么死记硬背的话，那简直就是徒劳无用的事情。
“知识”和“智慧”，这两个词汇看上去好像是差不多，实际上却是完全不同的两个词。简单地说吧， 人们可能会忘掉知识，却不可能忘掉智慧。
我们来看一下“老太太眼中的智慧”吧。“纱布上蘸上盐，可以去除茶垢”，“清扫榻榻米的时候，用醋来擦拭会比较好”，这就是生活当中的“智慧”。为什么说这是“智慧”，而不是“知识”呢？对于这些生活当中的智慧，老太太即使是想忘也忘不掉，这又是什么原因呢……因为这些都是生活当中的体验和感触。在一开始的时候，老太太肯定也是听谁说了，“纱布上面蘸上盐，可以去除茶垢”（在这个阶段，还属于“知识”）。老太太在听了建议之后，回去肯定试了一下。有了体验和感触，“啊，确实弄干净了”，这就是从知识到智慧的升华。
在数学当中，定义也好，公式也好，这些都是知识。那么，怎样才能把定义、公式这些知识向智慧升华呢？那就是验证。在验证的过程当中，你能够体会到，前辈们在发现定义和公式的时候那种惊讶和感触。自己亲自动手来验证，你就会有所感触。
“啊，真厉害。还真是这样啊！”
而这种体会，就是知识向智慧的转变。
知识就仅仅只是从别人那里学来的单纯的知识。但是，通过验证，体会到它的正确性之后，这就不仅仅是知识了，而变成了智慧。因此，我总是不厌其烦的对学生们说：
“请验证一下！”
学生们的耳朵都听出茧子来了。
关于验证这个话题，我们到下一章节再详细讨论。