2 能量守恒，静力学

参阅《费曼物理学讲义（第1卷）》第4章。

2.1 图2-1所示是一非等臂杠杆。利用 虚功原理 （Principle of Virtual Work），建立平衡状态时应满足的方程（忽略杠杆本身的重量）：

W ₁ l ₁ = W ₂ l ₂ 。

2.2 对于在离支点不同距离处悬挂多个重物的情形，推广习题2.1的结论。（对于支点一边的位置，距离取正值，对于支点另一边的位置，距离取负值。）

2.3 n 个力作用在一个物体上，物体处于静止状态。利用虚功原理证明：

（a） n =1的情形：力的大小为零。（一个显而易见的例子。）

（b） n =2的情形：两个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上。

（c） n =3的情形：三个力共面，且三个力的作用线交于一点。

（d）对于任意 n ：所有力的大小 F _i 及其与任意确定直线的夹角Δ _i 的余弦之积的总和等于0：

F _i cosΔ _i =0。

2.4 在无摩擦的情况下，有关静平衡的问题通过虚功原理可以简化为纯几何问题“当一点移动一确定距离时，另一点向何处移动？”运用下述三角形的性质（图2-2），很多情况下问题变得很容易回答。

（a）当三角形的两个边长 d ₁ 和 d ₂ 保持不变，而角 α 有一小的改变量Δ α 时，角 α 的对边 L 的变化量为：

（b）如果直角三角形的三边 a ， b ， c （ c 为斜边）的改变量分别为Δ a ，Δ b ，Δ c ，则

a Δ a + b Δ b = c Δ c 。

证明之。

2.5 长度为1.50m、质量为3.00kg的均匀平板，一端安放在支撑轴上，如图2-3所示。在重物和滑轮的作用下，平板平衡在水平位置。求为达到此平衡，求重物的重量 W 。忽略摩擦力。

2.6 如图2-4所示，半径为3cm、质量为1.00kg的球放在与水平方向成 α 角的平板上，同时和竖直墙壁相切。摩擦力可忽略。求球作用于墙上的力 F _W 和作用于板上的力 F _P 。

2.7 如图2-5所示，联结而成的平行四边形框架 AA'BB' 安放在枢轴 P 和 P' 上（在竖直平面内）。 A 、 A' 、 B 、 B' 、 P 、 P' 处的摩擦力都可以忽略。部件 AA'CD 和 B'BGH 是刚性的，尺寸相同。 AP = A'P' = PB = P'B' 。当不加负载 W ₁ 和 W ₂ 时，由于 w _C 的作用，框架处于平衡状态。如果质量为0.50kg的重物 W ₁ 挂在 D 点，为了达到平衡，挂在 H 点的重物 W ₂ 质量应为多少？

2.8 图2-6所示系统处于平衡状态。利用虚功原理求重物 A 和 B 的质量。忽略绳子的重量和滑轮上的摩擦。

2.9 如图2-7所示，质量为50lb的重物悬挂在金属丝 ACB 的中点。 AC = CB =5ft， AB =5 ft。求金属丝上的张力 T ₁ 和 T ₂ 。

2.10 图2-8所示的桁架由轻铝杆在各端点铰接而成在， C 点有一个可在光滑平面上滑动的滑轮。当一个工人加热部件 AB 时，观察到长度增加了 x ，并且负载 W 在竖直方向上移动了 y 。

（a） W 的运动是向上还是向下？

（b）求作用在部件 AB 上的力 F 。此力是张力还是压力？

2.11 如图2-9所示，为把重 W 、半径为 R 的轮子推上高度为 h 的障碍物，需要多大的水平力 F （作用在轮轴上）？

2.12 如图2-10所示，直径为 D 的水平转台安装在摩擦可忽略不计的轴承上。在转台平面内，两大小相等、相互平行、方向相反的水平力作用在转台直径相对两端。

（a）求作用在轴承上的力 F _B 。

（b）对于过 O 点的竖直轴，力矩 τ _P 是多少？

（c）对于过平面内任意一点 P 的竖直轴，力矩 τ _P 是多少？

（d）下面的命题正确还是错误？请解释。

“作用在同一物体上的任意两个力可以合成一个单一的合力，对于物体其和原来的两个力有一样的效果。”

2.13 浮在水银上的钢质平板受到三个力的作用，力作用点位于边长为0.100m的正方形的三个顶点，如图2-11所示。为了保持平板平衡，求第四个力 F （单一的一个力）。给出大小、方向以及沿直线 AB 的作用点。

2.14 在没有摩擦的情况下，图2-12所示的重物 W ₁ 和 W ₂ 由静止开始，运动了距离 D 后，速度 v 是多少？

2.15 在图2-13中，两物体重量相等，摩擦可忽略。如果系统由静止释放，在移动距离 D 之后，物体的速率 v 是多少？

2.16 物体 M ₁ 在高为 H 、倾斜角为45°的斜面上滑动。一根柔软的绳子跨过一个小滑轮（质量不计）把 M ₁ 和同样质量的 M ₂ 相连。 M ₂ 被垂直悬挂，如图2-14所示。绳子的长度恰好能使两物体都静止在 H /2的高度。与 H 相比，两物体和滑轮的尺寸可以忽略。在 t =0时刻，两物体被释放。

（a）对 t ＞0，计算物体 M ₂ 的垂直加速度 a 。

（b）哪个物体向下运动？

（c）求（b）中物体落地时的时间 t ₁ 。

（d）当（b）中的物体落地停止运动后，另一物体继续运动，它将碰到滑轮吗？

2.17 如图2-15所示，起重机由长度为 L 的均匀吊杆和重物 w 组成，吊杆的下端安装在轴承上。在水平绳子的作用下（绳子系在吊杆上离轴承距离为 x 的一点），吊杆与竖直方向成 θ 角。重物 W 悬吊于吊杆顶端的绳子上。求水平绳子上的张力 T 。

2.18 长度为10ft、顶部带有滚轮的均匀梯子斜靠在光滑的竖直墙壁上，如图2-16所示。梯子的质量为30lb。一个质量为60lb的重物挂在梯子的阶梯上，此阶梯离梯子顶部距离为2.5ft。

（a）求滚轮对墙所施加的力 F _R 。

（b）梯子对地面的水平力 F _h 和竖直力 F _v 。

2.19 质量为 W 、长度为 R 的木板躺在半径为 R 的光滑圆槽里，如图2-17所示。木板的一端有一质量为 W /2的重物。计算木板平衡时其与水平方向的夹角 θ 。

2.20 长度为 l 、质量为 W 的棒两端由两个倾斜面支撑，如图2-18所示。利用虚功原理求棒平衡时的角度 α 。（摩擦力不计。）

2.21 半径为4.5cm、质量为 W 的实心小球通过一根弦悬挂在一半径为49cm、光滑的半圆形碗的上沿，如图2-19所示。一旦弦短于40cm，弦就断裂。利用虚功原理，求弦可以承受的最大力 F 。

2.22 世界展览会院子里的一个装饰物由四个一样的无摩擦金属球组成，每个金属球质量为2 吨。球的位置如图2-20所示：三个球放于水平面上，相互接触；第四个球自由地放于前三个球上面。为了避免分开，对下面的三个球的接触点进行焊接。安全系数取3，求焊点所能承受的张力 T 。

2.23 一个刚性金属线框呈直角三角形，放置在竖直平面内，如图2-21所示。质量分别为 m ₁ =100g和 m ₂ =300g的两个有孔小珠无摩擦地在框线上滑动，两小珠由一根绳连接。当系统处于静态平衡时，求绳上的张力 T ，以及绳与第一根框线的夹角 α 。

2.24 为使图2-22所示的推车保持平衡，张力 T 应为多少？摩擦力不计。

（a）运用虚功原理求解。

（b）用力的分解来求解。

2.25 质量 M =3kg的线轴由半径 r =5cm的中心圆筒和半径为 R =6cm的两个端板组成。线轴放置在开有槽沟的斜面上，在斜面上线轴只能滚动而无法滑动。质量 m =4.5kg的物体用绕线轴的绳子悬挂，如图2-23所示。观测到系统处于静止平衡，求斜面的倾斜角 θ 。

2.26 总重量为 W 的柔软链环放于底面半径为 r 、高为 h 的光滑正圆锥体上，如图2-24所示。链静止在圆锥的一个平行圆截面上，其轴是竖直的。求链上的张力 T 。忽略摩擦力。

2.27 斜面上的小车在重物 w （如图2-25所示）的作用下保持平衡。所有部分的摩擦均可忽略。求小车的重量 W 。

2.28 一座桥的桁架结构如图2-26所示。所有的连接点可以看作是无摩擦的轴承。所有部件等长，都是刚性的，重量可忽略。求反作用力 F ₁ 和 F ₂ ，以及部件 DF 所受到的力 F _DF 。

2.29 在图2-27所示的桁架中，所有的斜杆长度都为5个单位，所有平行杆的长度都为6个单位。所有的连接点都是自由链接的。桁架的重量忽略不计。

（a）对于图示负载的位置，哪个杆子可以由柔软的绳子替代？

（b）求作用在杆 BD 和 DE 上的力。

2.30 在图2-28所示的系统中，在细线 A 的作用下，重量为 w 的摆锤的摆线起初处于竖直状态。当这一细线被烧断后，摆锤释放向左运动，在最高点几乎触及天花板。（忽略摩擦、滑轮的半径、摆锤的有限尺寸。）

2.31 两个质量都为 m 的物体分别通过等长的细线与质量为2 m 的第三个物体相连。细线通过两个相隔100cm的小滑轮（摩擦忽略不计）。如图2-29所示。质量为2 m 的物体初始时处于两滑轮的中间，由静止开始释放，当物体下降50cm触及桌面时，其速率 v 是多少？

2.32 横截面积为 A 的桶盛有密度为 ρ 的液体。液体从水面下方处面积为 a 的小孔自由喷出。如图2-30所示。如果液体没有内摩擦（黏滞性），求液体的喷射速率 v 。

2.33 货运卡车上装载相同的光滑原木。卡车驶离高速公路，停靠在路基上，其底部与水平方向成 θ 夹角，如图2-31所示。卸车时，当把图中虚线所示的原木卸掉后，剩余的3根原木正好处于将要滑动的状态，即：如果 θ 任意变小一些，原木将要掉落。求 θ 。

2.34 重 w 、内外半径分别为 r 和 R 的线轴上缠有细线。通过缠绕在内径上的细线，线轴被悬吊在固定支持物上。重量为 W 的物体被缠绕在外径上的两根细线悬吊。如图2-32所示。 W 的选取正好使得线轴处于平衡。求 W 。

2.35 吊桥横跨54m宽的深谷。桥面由间距为9.0m的六对竖直缆绳悬吊的钢桁架构成，如图2-33所示。每个缆绳承重相同皆为，4.80×10 ⁴ kg物体。靠中的二对缆绳长2.00m。假定纵向缆绳的末端与水平方向的夹角是45°，求其他缆绳 A 和 B 的长度，以及纵向缆绳上的最大张力 T _max 。

2.36 串联范德格拉夫起电机（Tandem Van de Graaff）的绝缘支撑如图2-34所示。密度均匀、长度为 L 、高 h 、重 W 的两个组件由竖直侧壁上的轴承点支撑，在两者中间的螺旋千斤顶的作用下保持分离。由于两组件不能承载张力，千斤顶必须调制而使上面轴承点所受的力为零。

（a）求千斤顶施加的力 F 。

（b）求下面其中一个轴承点所受的合力 F _A （包括大小和方向）。 Ja2T1jAvz4wnXPnbOl46jH68Jx05/q0g2NBcxRd9exdWOtFL77wcFPJ1jKuBA/x5