18 代数

参阅《费曼物理学讲义（第1卷）》第22章。

满足基本代数规则的最一般的数的形式是复数。复数可以写成一个纯实数（正或负）和一个纯虚数之和。虚数是实数与单位虚数i（i= ）之积。（单位实数是1= 。）

u （复数）= x （实数）+i y （虚数）。

对于任何代数方程，若所有i的符号都改变，则新的代数方程仍然正确。这一操作叫作取复数共轭。若 u = x +i y ，则 u 的复数共轭，记为 u *，是 u *= x -i y 。

将代数规则应用于复数，有：

I. （ a +i b ）+（ c +i d ）=（ a + c ）+i（ b + d ）

II. （ a +i b ）·（ c +i d ）=（ ac - bd ）+i（ ad + bc ）

III. | u |= = 。此为复数 u 的模。

实数的虚数次幂是复数，其模为1。随虚数幂次的大小增加，复数的实部和虚部像正弦和余弦函数一样变化。具体为：

IV. e ^{i θ} =cos θ +isin θ 。

18.1 在方程

u +i v =（ a +i b ）（ c +i d ）

中，记 =tan α ， =tan β 。利用上面的式II和三角公式证明：

（a） = ，

（b） =tan（ α + β ）。

18.2 利用式IV完成习题18.1。

18.3 证明：

cos θ =（e ^{i θ} +e ^{-i θ} ）/2，

sin θ =（e ^{i θ} -e ^{-i θ} ）/2i。

18.4 证明：

18.5 定义如下的两个量cosh θ 和sinh θ 分别被叫作 θ 的双曲余弦和双曲正弦：

证明：

cosi θ =cosh θ ，

sini θ =isinh θ ，

cosh ² θ -sinh ² θ =1。

18.6 利用微分基本公式

证明：

18.7 （a）通过逐次求导或其他方法，证明e ^x 可以表示为以下无穷级数：

（b）证明cos x 和sin x 可以表示为以下无穷级数：

（这些级数对所有 x 都收敛，特别当 x 1时，这些级数对于计算e ^x ，cos x ，sin x 很有用处。）

18.8 求方程 的全部代数根，其中 n 为整数。

18.9 利用e ^{i nθ} 的性质和二项式定理，证明：

18.10 （a）从关系式e ^{i（ θ + φ ）} =e ^{i θ} e ^{i φ} 出发，证明两角和的正弦和余弦公式。

（b）一复数 A e ^{i θ} 被另一复数 B e ^{i φ} 相乘，从几何的角度解释其意义。

18.11 由下方的11的逐次平方根表，计算log ₁₁ 2和log ₁₁ 7，精确到3位有效数字。

（利用log _a N =log _a b log _b N 检验计算结果。 a 、 b 是任意对数底。） rv3EG5gyWphcfrlttb0zXdYVbkgScrjbBQ0xos4wIpzWgWgyiQzQmKT6W5pnTdM0