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参阅《费曼物理学讲义（第1卷）》第20章。
16.1 三个矢量 A 、 B 和 C 可以构成一平行六面体，见图16-1。证明平行六面体的体积为：
V = | A ·（ B × C ）|。
图16-1
16.2 通过写下矢量的分量表达式，或用其他办法证明以下矢量方程：
16.3 刚体以角速度 ω 绕一固定轴转动。证明：刚体内的任意一点 P 的速度为
v = ω × r ，
其中， r 是转轴上任意一点到点 P 的矢量。
16.4 有质量分别为 m i ，位置分别为 r i ，速度分别为 v i 的 N 个质点组成的体系具有角动量
L =∑ r i × p i =∑ m i r i × v i 。
另一方面，当从质心坐标系观察，体系的角动量为 L CM 。若体系质心的位置和速度分别为 R CM 和 V CM ，体系的总质量为 M =∑ m i 。证明：
L = L CM + M R CM × V CM 。
16.5 刚体绕某转轴旋转无限小角Δ θ 1 ，然后再绕与前轴相较于 O 点的另一轴旋转无限小角Δ θ 2 。证明：有一旋转轴，使得刚体内任一点的总角位移都和刚体绕此轴旋转某一无限小的角位移相等。如何找到这一旋转轴以及旋转角？并由此进一步证明：当刚体同时绕不同的轴，以不同的角速度转动时，刚体就如同以一个角速度转动，此角速度等于各个角速度的矢量和，即
ω = ω 1 + ω 2 。
16.6 如图16-1所示，平行六面体的一个顶点位于原点，与其相邻的三顶点坐标（ x ， y ， z ）分别为（10，-5，3）、（3，-4，7）和（-5，-6，3），单位为米。求这个平行六面体的体积 V 。
16.7 如果地球极地的冰盖融化了，地球的转动周期将如何变化？解释之。
16.8 不敲破蛋壳，你如何区分生鸡蛋和熟鸡蛋？
16.9 一个喷气式飞机的所有发动机沿飞行方向按右手螺旋方向转动。当飞机左转时，发动机的旋进效应（gyroscopic effect）将引起飞机
（a）右滚？
（b）左滚？
（c）向右偏转？
（d）向左偏转？
（e）上仰？
（f）俯冲？
为什么？
16.10 质量相等的两个小球由一柔软的绳子连接，绳长为 l 。实验者握住其中一个小球，并使另一小球从静止开始，越来越快地绕第一个小球在水平面内作圆周转动。直至角速度达到 ω 0 ，然后松手放开小球。
（a）实验过程中，如果绳子断裂，那么绳子是在放开小球之前还是之后断裂的？
（b）如果绳子没有断裂，描述松手后物体的运动。
16.11 两个一样的均匀硬杆 AB 和 AC 在 A 点被自由地铰链在一起，并且位于光滑的水平桌面之上， AC ⊥ AB ，如图16-2所示。一水平方向的打击垂直于 AC 且作用在 C 点。求打击后的瞬间， AC 的质心和 AB 的质心的速率之比 v AC / v AB 。
图16-2
16.12 质量为 M 、长度为 L 的一均匀细杆和质量为 m 的冰球在水平平面上无摩擦地滑动。在某一瞬间，细杆方向与其质心速度（ V CM =+ V i ）的方向垂直，并具有绕质心的角速度 ω =- ω k ，如图16-3所示。在此瞬间，细杆被速度为 v =- v i 的冰球撞击。求撞击后使细杆静止的球速 v ，以及撞击点到细杆质心的距离 a 。碰撞为弹性碰撞。
16.13 质量为 m 、半径为 R 的圆形薄木环静止在无摩擦的水平面上。质量为 m 、以水平速度 v 运动的子弹打在木环上并嵌在其中，如图16-4所示。计算：
（a）质心速度 V CM 。
（b）系统关于质心的角动量 L 。
图16-3
图16-4
（c）环的角速度 ω 。
（d）碰撞前和碰撞后系统的动能 T 。
16.14 如图16-5所示的4个物体（ m a = m b = m c = m d /2）位于无摩擦的水平表面上矩形的4个顶点上。4个物体通过质量可忽略的硬杆连接。另一以沿 x 轴方向的速度 v 运动的质量 m = m a 的物体与 m a 相撞，并黏附在 m a 上。描述相撞后物体的运动。
图16-5
16.15
长度为
L
、质量为
M
的均匀杆静止在无摩擦的水平表面内。杆在
P
点受到作用时间很短、方向与杆垂直的冲量
J
=∫
F
d
t
。
=
r
。见图16-6。
图16-6
（a）碰撞发生后的瞬间，质心 O 的速度 V O 是多少？
（b）关于 O 的角速度 ω 是多少？
（c）端点 A 的瞬时速度 V A 是多少？
（d）求距离
，对于
A
点，碰撞后的瞬间其速度为零。
16.16 如图16-7所示，长度为 L 、质量为 M 的细杆静止在无摩擦的水平表面内。质量同样为 M 的油灰，以与细杆垂直的速度 v 打在细杆的一端并黏附在细杆上（这一非弹性碰撞持续时间很短）。
（a）求碰撞前和碰撞后的系统质心速度 V CM 。
（b）碰撞前，关于质心的系统角动量 L 。
（c）碰撞后瞬间，系统的角速度 ω （关于质心）。
（d）求碰撞中动能的损失比例。
图16-7
16.17 两个长度均为 L 、质量均为 M 的硬杆在水平面上无摩擦地自由运动。初始时，一杆静止，另一杆以速率 V 沿与两杆相垂直的方向运动，如图16-8所示。两杆碰撞一，杆的中心正好碰到另一杆的一端，碰撞后黏在一起。求碰撞后，系统的线速度 V f 和角速度 ω f 。
图16-8
16.18 质量为 M 、长度为 L 的均匀杆 AB 可以在竖直平面内绕过端点 A 的水平轴转动，如图16-9所示。一质量同样为 M 的油灰在杆静止时，以水平速度 V 投掷到杆的下端 B 点。油灰黏附在杆上。要使细杆可以绕 A 完整的旋转一圈，碰撞前油灰的最小速度应为多少？
图16-9
16.19 如图16-10所示，质量为 M 、宽度为 w 、长度为 l 的刚性薄板竖直悬挂，其顶边是无摩擦的水平轴。一质量为 m 、速率为 v 的子弹垂直射到薄板上，击打点是薄板中心。
图16-10
（a）碰撞后的瞬间，子弹的速度 v f 是多少？
（b）求系统将转动的角度 θ 。
（c）求轴承受到的冲量 J 。
16.20 如图16-11所示，一水平挺杆，半径为 r ，绕轴的转动惯量为 I 0 ，一绳系于其上，绳端有一质量为 m 的物体，与问题中的其他尺度相比，该物体的尺度可忽略不计。起初，挺杆绕水平轴以恒定的角速率 ω 0 转动，物体 m 以相同的角速率在竖直平面内作半径为 R 的圆周运动。 ω 0 足够大，重力的影响可以忽略。在 t =0时刻，制动器启动，挺杆经过几度后停止转动。
（a）制动器施加的角冲量（angular impulse） J 应达到多少？
（b）当绳子在挺杆上绕了正好十圈时，绳子断裂。求使绳子正好断裂所需的力 F 。
16.21 长度均为 l ，一端均系有质量为 m 的物体的两个杆子，如图16-12所示与轴成 θ 角被固定在轴上。（轴和杆在同一平面内。）如果 θ 可在0°到90°间任意取值，轴的最大角速度可达到 ω ，求轴承所能承受的转矩 τ max 。
图16-11
图16-12
16.22 如图16-13所示，质量为 M 、长度为 l 的均匀细杆的质心被固定在轴上，细杆与轴成45°倾斜角。
图16-13
（a）求角动量矢量相对于转轴方向的角度 θ 。
（b）求以角速度 ω 转动时，轴承所承受的转矩 τ 。
16.23 如图16-14所示，一水平轴上的薄实心轮子被限制在水平桌面上作半径为 R 的圆周运动。水平轴可绕竖直轴顶部的固定点 A 自由转动。如果轮子的质量是 m ，半径是 r ，绕轴的角速度是 ω ，求轮子对桌面的压力 F 。
图16-14
（ m =1kg， R =50cm， r =10cm， ω =12000 rad min -1 。）
16.24 如图16-15所示，静止的转盘 T 1 上安装另一以角速度 ω 2 转动的转盘 T 2 。在某一时刻，内置离合器作用在 T 2 的轴上，使其相对于 T 1 静止，但 T 1 可自由转动。 T 1 的质量为 M 1 ，关于 A 1 轴（过 T 1 的中心，且与 T 1 所在平面垂直）的转动惯量为 I 1 ； T 2 的质量为 M 2 ，关于 A 2 轴（过 T 2 的中心，且与 T 2 所在平面垂直）的转动惯量为 I 2 。 A 1 与 A 2 的距离为 r 。求 T 2 停止后， T 1 的角速度 ω 1 。
图16-15
16.25 一人站在转动平台上，到中心的距离为 R 。他以速率 V 把球扔给与他处于同一直径上对面位置的另一人（到中心的距离也为 R ）。如果转台以角速度 ω 转动，则
（a）从转台上看，球运动轨迹的曲率半径 r 是多少？
（b）为使另一人接到球，求抛出方向与直径的夹角 θ 。
（c）对于静止观测者，球的运动轨迹如何？
注：假定
V
ωR
，这样离心力（赝力）可以忽略。
16.26 某卫星发射火箭近似是一均匀圆柱体，质量为 m ，半径为 a ，长度为 L （ L =6 a ）。起初，火箭绕其长轴以角速度 ω 0 旋转。由于微小的内振动，能量逐渐转化为热。因此，卫星逐渐“减慢”。如果能量尽可能转化为热，请描述唯一可能的转动末态以及相应的角速度 ω f 。
16.27 如果地球上所有的冰都融化了，海平面的平均高度将上升200ft。现存冰盖的平均纬度取为80°，忽略海洋的不规则分布，求一天时间的增加量Δ T 。
注：假定地球半径为6370km，转动惯量为 8.11×10 37 kg m 2 。
16.28
两个质量均为
m
的物体固定在一质量不计、相距2
r
的杆的两端。它们被质量为
M
的物体吸引。
M
到杆中心
O
的距离为
R
（
R
r
）。如图16-16所示，杆与
R
的夹角为
θ
。求作用在杆上相对其中心的转矩
τ
的近似值。
图16-16
16.29 扭丝（torsion fiber）的弹性恢复力矩与其转角成正比，即
τ fiber =- kθ 。
（a）证明：转角为 θ 的扭丝的势能为
U
=
kθ
2
。
（b）作用在电流计线圈上的转矩由下式给出：
τ = nABi 。
其中，
i =通过线圈的电流
n =线圈绕线匝数
A =线圈的横截面积
B =电流计永久磁铁产生的磁场
在实验室实验中，电容器上电荷的测量方法是：电容器通过电流计线圈放电，记录下线圈的最大偏转角。这里，| i |=|d q /d t |。由于放电发生得很快，在电流流过期间电流计线圈没有明显偏离 θ =0位置。摩擦力不计，证明：电流计的最大“冲击”偏转与电容器上的初始电量成正比。
16.30 如图16-17所示，质量为 M 、长度为 L 的竖直杆在底部受到一个冲量 J 而飞起。 J 斜向上与水平方向成45°角。问：若杆落地时仍然竖立（受到冲量的一端着地）， J 应该多大？
图16-17
16.31 转动惯量为 I 0 的转台绕中空竖直轴自由转动。质量为 m 的滑块在转台上沿直径轨道无摩擦地滑动。系在滑块上的绳子如图16-18所示绕过小滑轮再向下通过中空竖直轴。起初，整个系统一角速率 ω 0 转动，滑块到轴的距离为 R 。然后滑块被外力通过绳子向里拉动，最终距轴为 r 。
图16-18
（a）求系统新的角速度 ω 。
（b）详细论证，两种状态下系统的能量差等于向心力做的功。
（c）如果松开绳子，则滑块经过半径 R 处时的径向速率 r · 是多少？
16.32 如图16-19所示，质量为 M ，边长为 a 、 b 的矩形薄板绕沿其对角线的轴以角速度 ω 转动。
图16-19
（a）求作用在轴承上的力 F 。
（b）转动薄板的动能 T 。
16.33 均匀薄圆盘形状的飞轮，质量为10.0kg，半径为1.00m，被固定在过其质心且与其平面成1°0′角的轴上。如果飞轮绕轴以角速度25.0 rad s -1 转动，求轴承必须提供的力矩 τ 。
16.34 半径为 R 、质量为 M 的均匀薄圆盘安装在可绕任意轴转动的万能轴承上。起初，圆盘以角速度 ω 0 绕竖直轴（ z 轴方向）转动，如图16-20所示一。小质量物体（质量为 m ）以 z 轴正方向的速度 v 0 与圆盘边缘发生弹性碰撞，然后沿 z 轴负方向弹回。
图16-20
（a）求碰撞后，圆盘角动量 L 的方向。
（b）描述轴的运动。
16.35 无摩擦轴承上的一对半径为10cm、质量为2kg的圆盘飞轮以1000 rad s -1 的角速度转动。飞轮以棒 AB （半径很小）作轴，支撑在万能轴承上。两个飞轮离 AB 的两端点分别为 d =15cm。 AB 棒质量 M =1kg、长度 l =4 d 。如图16-21所示。
图16-21
（a）如果一质量 m =10g的球从高度 h =5cm处落到棒的一端 A 上，并被弹回。求此时飞轮角动量 L 的各分量，并画出从 x 轴正方向看到的棒端运动图。同样，给出这一运动的角速度 Ω n ，以及完成一次圆周运动，棒端经过的圆轨迹的半径 r 。
（b）如果同样的球不被弹回而是黏附在棒端 A 上，那么进动角速度 Ω P 是多少（忽略章动）？相应的角动量 L P ，转动动能 T P 是多少？当端点降落到 xy 平面以下时，势能损失Δ E 是多少？
16.36 由于地球是扁球形，太阳和月球都对地球施加一转矩。问哪个对地球施加更大的转矩？是另一个施加的多少倍？
提示1：从地球上看，太阳和月球在天空的视角几乎一样。
提示2：太阳的平均密度是1.41g cm -3 ；月球的平均密度是3.34g cm -3 。
16.37 地球的赤道半径是6378.388km，极半径是6356.912km。地表下不同深度 D 的比重 ρ （specific gravity）如下表所示（*表示不连续值）：
利用这些值，估算：
（a）地球的转动惯量 I E 。
（b）地球的转动角动量 L E 。
（c）地球的转动动能 T E 。
（d）求由于月球和太阳所施加的力矩，地球的转轴绕黄极进动所需时间 T 。
提示：地轴的倾角是23.5°。