15 角动量，转动惯量

参阅《费曼物理学讲义（第1卷）》第18、19章。

15.1 一质点在有心力（力的作用线通过一固定点的力）的作用下运动。证明：质点的角动量守恒；这与行星运动的开普勒第二定律等价。

15.2 在考虑所有力的情况下，包括惯性（赝）力，命题 τ = 对于刚体普遍正确。如果在分析中没有考虑惯性力，则 τ = 在以下情况仍然成立：

（a）对于刚体外的任意固定轴；

（b）对于通过物体质心的任意固定方向的轴；

（c）对于给定时刻，刚体转动所绕的轴（瞬时转轴）。

对于以上情况，你能证明几条？

15.3 如图15-1所示，长度为 L 、质量为 M 的均匀直细丝，在其中点 A 处折成 θ 角。求相对于过 A 点、垂直于折杆所在平面的转轴的转动惯量 I 。

15.4 一扇薄而均匀的活板门宽为 l ，质量为 m ，其下沿与水平地板铰链在一起。活板门竖立。若门倒下，求落地时活板门的角速率 ω 。忽略铰链上的摩擦力。

15.5 如图15-2所示，质量为 m 的物体挂在绳子上，绳子缠绕在质量为 M 、半径为 r 的实心圆柱体上，在无摩擦的轴承上转动。求物体 m 的加速度 a 。

15.6 计算如图15-3所示的物体绕通过 A 点、垂直于图所在平面的轴的转动惯量 I 。物体为均匀细丝，由4个半径为 a 的半圆组成，总质量为 M 。

15.7 计算下列刚体的转动惯量 I ，每个刚体的质量为 m 。

（a）薄而均匀的直杆，长度 L ，绕通过一端端点、垂直于细杆的轴转动；

（b）薄而均匀的直杆，长度 L ，绕通过细杆中点、垂直于细杆的轴转动；

（c）半径为 r 的薄壁圆筒，绕其轴转动；

（d）半径为 r 的实心圆柱，绕其轴转动。

15.8 如图15-4所示，质量为 M 、长度为 L 的细杆水平放置，一端放于支点上，另一端用线悬吊。当线被烧断时，求杆施加在支点上的力 F 。

15.9 长度均为 L 、质量均为 m 的8根均匀细杆被固定在质量可以忽略的框架上，如图15-5（a）所示。正方形可以绕过 O 点、与框架所在平面垂直的无摩擦轴转动，角速率为 ω ₀ （rad s ^-1 ）。旋转中，装置在框架上的一个内部机械装置 K （具有绕 O 的补编转动惯量40/3m L ² ）将正方形收缩成图15-5（b）所示的十字架形状。求在此过程中，机械装置所做的功 W 。

15.10 （a）从静止出发一，对称物体从高度 h 的斜面滚下（没有滑动）。物体关于其质心的转动惯量为 I ，质量为 M ，与斜面接触的滚动表面的半径是 r 。求在斜面底部物体质心的线速度 V ₀ 。

（b）应用上面得到的一般方程来确定以下情况的质心速度：①物体是球；②物体是圆盘；③质量为 M ₁ 、外半径为 R ₁ 的圆盘，其中央是质量为 m ₂ 、半径为 r ₂ 的滚动轴。

15.11 一均匀圆柱体放于与水平方向成 θ 角的环形转送带上。圆柱体的轴沿水平放置，且与传送带的带边垂直。圆柱体在传送带上滚动，无滑动发生。问：传送带应如何运动才能使释放时圆柱体的轴不动？

15.12 质量相等、外表大小一样、看不出差别的两个圆柱体沿斜面往下滚。一个圆柱体比另一个先到达斜面底部。据此你能得出什么结论？

15.13 半径为 R 的球内含有一个半径为 r 的同心空洞（ r ＜ R ），如图15-6所示。在 r 与 R 之间，单位体积的质量是一常数 ρ 。求关于通过球心的转轴的物体转动惯量，分别以 r ， R ， ρ 和 r ， R ， M 表示。 M 为物体质量。

15.14 一均匀实心球放置在倾斜角为 θ 的斜面上，如图15-7所示。当球与斜面之间的静摩擦系数 μ 的最小值 μ ₀ 是多少时，球才可以无滑动地滚下斜面？

15.15 一个线筒由相同的两个圆盘和一个轴组成，每个圆盘质量均为 M ，半径均为 R ，轴半径为 r ，质量可忽略，如图15-8所示。有线缠绕在轴上，线的一端系在天花板上。线筒位于天花板下方 D 处，将其由静止状态释放。

（a）为了避免摆动，在释放线筒时，线与竖直方向的夹角 θ 应为多少？

（b）线筒中心的下落加速度 a 是多少？

15.16 如图15-9所示，半径为 r 的圆环 H 无滑动地沿斜面往下滚。为了使圆环恰好达到“翻圈”所需速度，即正好使环在 P 点保持与圆轨道接触，圆环的初始高度 h 应为多少？

15.17 质量为 m 的物体由系于其上的细绳控制，细绳穿过桌面上的小孔伸到桌面下方。起初，桌面上的绳长为 r ₁ ，物体以此为半径做速率为 v ₁ 的圆周运动。然后，通过孔向下拉绳，使桌面上的绳长为 r ₂ 。

（a）物体的末速率 v ₂ 是多少？

（b）桌面上绳长从 r ₁ 到 r ₂ 的过程中，拉绳所做的功 W 是多少？

（c）利用能量守恒定律求为了保持桌面上绳长不变所需力 F 的大小。

15.18 质量为 m 、外径为 R 、转动惯量为 I 的空心圆柱可以在桌面上无滑动地滚动。力 F 与水平方向成 α 角，作用在内径上，内径大小为 r 。见图15-10。

（a）在圆柱不离开桌面的情况下，求其加速度 a 。

（b）为了提起圆柱，使其离开桌面，与水平方向成 α 角的力 F 需多大？

15.19 如图15-11所示，为使球以纯转动碰到台球桌内侧边的弹性衬里时以纯转动弹回，台球桌的边高 h 和台球半径 r 的比值 h / r 应为多少？假设在碰撞时台球边弹性衬里施于台球的力沿水平方向。

15.20 厚度均匀、质量为 M 的不规则金属板质心位于点 C ，如图15-12所示。已知绕通过 A 点、垂直于金属板的轴的转动惯量是 I _A 。当 r ₁ = 、 r ₂ = 、 r ₃ = 满足什么条件时，绕通过 B 点、垂直于金属板的轴的转动惯量 I _B 符合以下表达式：

I _B = I _A + 。

15.21 图15-13是印刷机上的加墨装置。 K 是支撑牢固、可自由转动的墨辊，转动惯量可忽略不计。 P 是支撑牢固的印滚。 T 是可在 K 和 P 之间自由浮动的传递滚。 T 是半径为 r 、质量为 M 的实心圆柱，总在 K 和 P 之间无滑动地滚动。 T 、 P 的中心连线与水平方向成 θ 角。在保持 T 和 P 接触的情况下，求 P 的最大角加速度 α _max 。

15.22 长度为2 l 的均匀细杆绕通过其中心的固定竖直轴在水平面内以角速度 ω ₀ 转动。将其轻轻地放在摩擦系数为 μ 的水平桌面上。假定桌面对细杆的支撑是均匀的，问需要多少时间 t 细杆停止转动？

15.23 投掷一半径为 R 、质量为 M 的保龄球，使其初始时以速率 v ₀ 在摩擦系数为 μ 的球道上无滚动地滑行。

（a）多远以后，保龄球开始无滑动地滚动？

（b）求那时的速率 V 。

15.24 一个有趣的小游戏是将手指按压在水平桌面上的弹子上，弹子以图15-14所示射出，初始线速率为 V ₀ ，初始向后的转动角速率为 ω ₀ （绕与 V ₀ 垂直的水平轴转动）。弹子与桌面间的滑动摩擦系数是常数，弹子的半径为 R 。

（a）弹子的 V ₀ 、 R 和 ω ₀ 满足什么关系时，弹子将滑动至完全停止？

（b）弹子的 V ₀ 、 R 和 ω ₀ 满足什么关系时，弹子将在停止后又向初始位置返回，最终的线速度为3 V ₀ /7？

15.25 一半径为 R 、质量为 M 的均匀圆盘被设计为以其中点 P 为支点在水平面内以角速率 ω 自由转动。两小质量物体 m 用长为 l 、环绕在圆盘沿上的绳子系在盘沿上，如图15-15所示。当圆盘旋转时，同时释放两物体，而不干扰系统的角动量。当绳子向外展开到沿着径向时，立即将绳子从钉子 H 和 H' 上松开，两物体飞离圆盘。为了使圆盘在上述作用下停止运动，绳长 l 应为多少？

15.26 A （坐标为 x' ， y' ）相对于静止的 B （坐标 x ， y ）旋转。

（a）以 A 的视角看，写出作用于一质量为 m 的粒子所受到的外力分力的方程。

（b）证明：这些力除了包括 B 所看到的实际力 F 的各分量外，还有两个赝力：径向离心力和科里奥利力（Coriolis force）。

15.27 求在半径为 R 的圆轨道上运动的、质量为 m 的行星的角动量。利用此结果，推导：由于潮汐拖曳，经过漫长时间，月亮到地球的距离将增加。

同样，从月亮逃逸可能性的角度来讨论地球-月亮系统的能量守恒。 HlyNqaxM1fa4ApJmDsFNisK+YcwpFRda6Cc6jikVJJESysPTk4UTEBuHdmbX8tNf