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14 二维转动,质心

参阅《费曼物理学讲义(第1卷)》第18、19章。

14.1 半径为 R 的刚性轮子在水平面上无滑动地滚动。轮面竖直,轮轴相对于水平面以速率 V 水平移动。如果轮轴平行于 z 轴, V 沿 x 轴正方向,自从轮子 P 点与地面接触起,轮子已经转过 θ 角度,证明: P 点的瞬时速度(大小和方向)为

v = V [(1-cos θ i +sin θ j ]。

14.2 平面曲线(或面积)扫过的表面面积(或体积)的有关知识可以被用来寻找薄膜、弯曲的均匀细丝、均匀平面薄板的质心。

(a)如图14-1(a)所示,证明平面曲线 C 绕其所在的平面内的转动轴 O 转过 α 角所扫过的面积 A 等于曲线 C 的长度 l 乘以质心CM所移动的距离 αr ,即

A = αrl

(其中, r 是质心CM到转动轴 O 的距离。)

图14-1

(b)如图14-1(b)所示,证明平面 A 绕转动轴 O 转过 α 角所扫过的体积 V 等于平面面积 A 乘以质心CM所移动的距离,即

V = αrA

14.3 证明任意粒子体系的质心的运动就像一个单一粒子的运动一样,这个单一粒子的质量等于粒子体系中所有粒子的质量之和,所受的力等于作用在各个粒子上的力的矢量和,即:

= f i

14.4 F =30 i +40 j (N)作用在 r =8 i +6 j (m)处的一点上。求:

(a)关于原点的力矩 τ

(b)力臂大小 l

(c)垂直于 r 的力分量 F

14.5 悠悠球(yo-yo)可以在水平桌面上无滑动地自由滚动。当水平力 F 作用于其上,如图14-2所示,悠悠球将沿力的方向还是沿力的相反方向滚动?为什么?

图14-2

14.6 在什么维度 λ 上,由于地球自转地球表面上一点的切向速率比洛杉矶(维度34°N)的切向速率小200m s -1

14.7 如图14-3所示,与轴 AA ′相切的圆半径为 R ,圆绕轴旋转形成环,求环的体积 V

图14-3

14.8 相隔距离为 R ,质量分别为 M 和2 M 的物体绕它们的质心以角速度 ω 旋转,求它们的转动动能 T

14.9 (a)长度为 L 的均匀细丝被弯曲成半径为 R R )的圆弧,求其质心。如图14-4所示,坐标系原点位于圆心, x 轴通过细绳中点。

(b)用以上结果,求均匀金属薄片制成的扇形的质心。如图所示,扇形半径为 R ,圆心角为 α

14.10 如图14-5所示,均匀密度的圆盘被切掉一个洞。求其质心。

图14-4

图14-5

14.11 一实心圆柱体如图14-6所示,圆柱体在不同的象限内具有不同的密度,数字表示各象限内的相对密度。坐标轴的选择如图所示,求通过原点和质心的直线方程。

图14-6

14.12 将一个半径为πcm、质量为3kg的圆柱体切成三等分;另一个半径为πcm、质量为6kg的圆柱体同样被切成三等分。从两个圆柱体中各取一分,用胶黏合在一起,位置如图14-7所示。半径 OA 处于水平。地板的摩擦力足够大,不会发生滑动,墙的摩擦力则可忽略。

图14-7

(a)圆柱体对墙面的力 F 是多少?

(b)如果将墙移去,为了保持平衡,需要在 OA 上离 O 点多远处安放质量为 M 的质点?

14.13 长度为 R 的棒由两段长度都为 R /2、质量各自均匀的棒组成,其中一个棒的质量是另一个棒的2倍。棒的两端用绳系住,悬挂在 P 点上,两段绳长都为 R ,如图14-8所示。当系统达到平衡状态时,棒与水平方向的夹角 α 是多少?

图14-8

14.14 如图14-9所示,L形物体由厚度均匀的金属片组成,静止地处在无摩擦的水平桌面上。物体的 P 点遭到图示方向的力的突然撞击,观察发现物体移开,没有发生转动,问受力点 P 离顶点 O 多远?

14.15 从一个边长为 a 的正方形均匀金属薄片的一边切掉一个等腰三角形,如图14-10所示。将余下的部分在等腰三角形的顶点 P 悬起来,将随遇平衡。求切掉的等腰三角形的高 h

图14-9

图14-10

14.16 质量分别为 M 1 M 2 的两物体,处于刚性杆的两端。杆的长度为 L ,质量可忽略不计,两物体的大小相比于杆可忽略。杆绕着一个与其垂直的轴转动,为了以最小的功使杆以角速度 ω 0 旋转一,转动轴应穿过杆上哪点,写出其距离 M 2 的距离 x

14.17 一种简单调速器的基本要素如图14-11所示。水平杆对称地安装在竖直轴上,在杆的两端有两块可自由滑动的刹车蹄。当轴转动时,刹车蹄挤压在圆筒状刹车鼓的内表面上。假设每个刹车蹄的质量为 m ,其大小与刹车鼓的内径 r 相比可忽略。刹车蹄和刹车鼓之间的滑动摩擦系数是 μ 。试用 r m μ f (轴的转动频率)写出使调速器运转所需功率 P 的表达式。

图14-11

14.18 均匀砖块长度为 L ,放于一光滑平面。若干相同的砖块如图14-12所示叠堆其上。砖块的侧面形成连续平面,端部则依次错开 L / a 的距离( a 是整数)。问:如此,最多可以堆放多少块砖块?

图14-12

14.19 如图14-13所示,旋转调速器设计目的是:当其直接相连的机器转速达到120 rpm速率时,切断电源。操作圈 C 重10.01lb,可在竖直轴 AB 上无摩擦滑动。当 减小到1.41ft时, C 切断电源。如果调速器构架的四个连接臂(连接点是无摩擦的枢轴)长度均为1.00ft,质量可忽略。问为了满足设计要求, M 应多大?

图14-13

14.20 处于无场空间中同一平面上的4个质量为 M 的物体通过很轻的、弹性系数为 k 的弹簧相连,如图14-14所示。系统以角速度 ω 绕通过对称中心且垂直于系统所在平面的轴转动。弹簧的自然长度为 L

图14-14

(a)问系统平衡时弹簧伸长量Δ L 是多少?

(b)什么条件决定系统是否可以达到稳定平衡? LHnZikKdlMKfCj9p5JOWvolHku1mgLd2E6VgeDPxd6+dya6SraF5aQTVmqW1rgOI

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