14 二维转动，质心

参阅《费曼物理学讲义（第1卷）》第18、19章。

14.1 半径为 R 的刚性轮子在水平面上无滑动地滚动。轮面竖直，轮轴相对于水平面以速率 V 水平移动。如果轮轴平行于 z 轴， V 沿 x 轴正方向，自从轮子 P 点与地面接触起，轮子已经转过 θ 角度，证明： P 点的瞬时速度（大小和方向）为

v = V ［（1-cos θ ） i +sin θ j ］。

14.2 平面曲线（或面积）扫过的表面面积（或体积）的有关知识可以被用来寻找薄膜、弯曲的均匀细丝、均匀平面薄板的质心。

（a）如图14-1（a）所示，证明平面曲线 C 绕其所在的平面内的转动轴 O 转过 α 角所扫过的面积 A 等于曲线 C 的长度 l 乘以质心CM所移动的距离 αr ，即

A = αrl 。

（其中， r 是质心CM到转动轴 O 的距离。）

（b）如图14-1（b）所示，证明平面 A 绕转动轴 O 转过 α 角所扫过的体积 V 等于平面面积 A 乘以质心CM所移动的距离，即

V = αrA 。

14.3 证明任意粒子体系的质心的运动就像一个单一粒子的运动一样，这个单一粒子的质量等于粒子体系中所有粒子的质量之和，所受的力等于作用在各个粒子上的力的矢量和，即：

= f _i 。

14.4 力 F =30 i +40 j （N）作用在 r =8 i +6 j （m）处的一点上。求：

（a）关于原点的力矩 τ 。

（b）力臂大小 l 。

（c）垂直于 r 的力分量 F _⊥ 。

14.5 悠悠球（yo-yo）可以在水平桌面上无滑动地自由滚动。当水平力 F 作用于其上，如图14-2所示，悠悠球将沿力的方向还是沿力的相反方向滚动？为什么？

14.6 在什么维度 λ 上，由于地球自转地球表面上一点的切向速率比洛杉矶（维度34°N）的切向速率小200m s ^-1 ？

14.7 如图14-3所示，与轴 AA ′相切的圆半径为 R ，圆绕轴旋转形成环，求环的体积 V 。

14.8 相隔距离为 R ，质量分别为 M 和2 M 的物体绕它们的质心以角速度 ω 旋转，求它们的转动动能 T 。

14.9 （a）长度为 L 的均匀细丝被弯曲成半径为 R （ R ＞ ）的圆弧，求其质心。如图14-4所示，坐标系原点位于圆心， x 轴通过细绳中点。

（b）用以上结果，求均匀金属薄片制成的扇形的质心。如图所示，扇形半径为 R ，圆心角为 α 。

14.10 如图14-5所示，均匀密度的圆盘被切掉一个洞。求其质心。

14.11 一实心圆柱体如图14-6所示，圆柱体在不同的象限内具有不同的密度，数字表示各象限内的相对密度。坐标轴的选择如图所示，求通过原点和质心的直线方程。

14.12 将一个半径为πcm、质量为3kg的圆柱体切成三等分；另一个半径为πcm、质量为6kg的圆柱体同样被切成三等分。从两个圆柱体中各取一分，用胶黏合在一起，位置如图14-7所示。半径 OA 处于水平。地板的摩擦力足够大，不会发生滑动，墙的摩擦力则可忽略。

（a）圆柱体对墙面的力 F 是多少？

（b）如果将墙移去，为了保持平衡，需要在 OA 上离 O 点多远处安放质量为 M 的质点？

14.13 长度为 R 的棒由两段长度都为 R /2、质量各自均匀的棒组成，其中一个棒的质量是另一个棒的2倍。棒的两端用绳系住，悬挂在 P 点上，两段绳长都为 R ，如图14-8所示。当系统达到平衡状态时，棒与水平方向的夹角 α 是多少？

14.14 如图14-9所示，L形物体由厚度均匀的金属片组成，静止地处在无摩擦的水平桌面上。物体的 P 点遭到图示方向的力的突然撞击，观察发现物体移开，没有发生转动，问受力点 P 离顶点 O 多远？

14.15 从一个边长为 a 的正方形均匀金属薄片的一边切掉一个等腰三角形，如图14-10所示。将余下的部分在等腰三角形的顶点 P 悬起来，将随遇平衡。求切掉的等腰三角形的高 h 。

14.16 质量分别为 M ₁ 和 M ₂ 的两物体，处于刚性杆的两端。杆的长度为 L ，质量可忽略不计，两物体的大小相比于杆可忽略。杆绕着一个与其垂直的轴转动，为了以最小的功使杆以角速度 ω ₀ 旋转一，转动轴应穿过杆上哪点，写出其距离 M ₂ 的距离 x ？

14.17 一种简单调速器的基本要素如图14-11所示。水平杆对称地安装在竖直轴上，在杆的两端有两块可自由滑动的刹车蹄。当轴转动时，刹车蹄挤压在圆筒状刹车鼓的内表面上。假设每个刹车蹄的质量为 m ，其大小与刹车鼓的内径 r 相比可忽略。刹车蹄和刹车鼓之间的滑动摩擦系数是 μ 。试用 r ， m ， μ 和 f （轴的转动频率）写出使调速器运转所需功率 P 的表达式。

14.18 均匀砖块长度为 L ，放于一光滑平面。若干相同的砖块如图14-12所示叠堆其上。砖块的侧面形成连续平面，端部则依次错开 L / a 的距离（ a 是整数）。问：如此，最多可以堆放多少块砖块？

14.19 如图14-13所示，旋转调速器设计目的是：当其直接相连的机器转速达到120 rpm速率时，切断电源。操作圈 C 重10.01lb，可在竖直轴 AB 上无摩擦滑动。当 减小到1.41ft时， C 切断电源。如果调速器构架的四个连接臂（连接点是无摩擦的枢轴）长度均为1.00ft，质量可忽略。问为了满足设计要求， M 应多大？

14.20 处于无场空间中同一平面上的4个质量为 M 的物体通过很轻的、弹性系数为 k 的弹簧相连，如图14-14所示。系统以角速度 ω 绕通过对称中心且垂直于系统所在平面的轴转动。弹簧的自然长度为 L 。

（a）问系统平衡时弹簧伸长量Δ L 是多少？

（b）什么条件决定系统是否可以达到稳定平衡？ 4UuJH70Ljl62VjZJZXilwFJNdt3xCLWbKdN3i6NWC4TRY5cV9wNEc7z7ZyI0H7iD