11 单位和量纲

11.1 写出下列各物理量的量纲：

（a）弹簧的弹性系数；

（b）功；

（c）力矩；

（d）表面张力；

（e）摩擦系数；

（f）黏滞系数；

（g）引力场强度；

（h）电场强度；

（i）磁感应强度；

（j） E / B 。

注：质量、时间、长度以及电荷分别用 M 、 T 、 L 、 Q 表示。

11.2 请证明 具有电阻的量纲，并计算其数值。

11.3 莫（Moe）和乔（Joe）是在不同行星上成长的两位宇宙物理学家。在一次旨在探讨建立普适单位制的“重力与测量行星际会议”上他们相遇了。莫骄傲地介绍了地球上所有文明区域间都使用的MKSA单位制的优点。乔同样自豪地描述了太阳系其他地方所使用的M'K'S'A'单位制的美妙之处。对于这两种单位制，质量、长度和时间如果存在如下关系：

那么，两种单位制中，速度 v 、加速度 a 、力 F 以及能量 E 存在什么关联？

11.4 使用量纲分析推导图11-1所示单摆的周期 T 与其各物理参数之间的关系。

11.5 如果长度以AU为单位，时间以年为单位，计算 GM _S 的数值。其中，AU是天文单位，表示地球距离太阳的平均距离， M _S 是太阳质量， G 是万有引力常数。

11.6 一个太阳系的标度模型如下构建：太阳和行星的各自平均密度和实际一样，而把所有的线度以尺度因子 k 约化。求行星的运转周期如何依赖于 k ？

11.7 从量纲分析来求图11-2所示的物体_弹簧系统的振动周期 T 与 m 、 k 等的依赖关系。（忽略摩擦力。）

11.8 质量为 m 的物体系在长度为 l 的绳子端部，以速率 v 做圆周运动。（忽略重力。）问绳子上的张力 T 和物体的法向加速度 a 如何依赖于所给的参量。

11.9 质量为 m 的物体被射出，初始速率为 v ，发射角度与水平方向成 θ 角。问物体飞行的水平距离 R 和时间 t 和已知量的关系。

11.10 一半径为 R 、密度为 ρ 的液滴，表面张力 σ 作为回复力而产生振动。问振动周期 T 如何依赖于 R 、 ρ 和 σ 。

11.11 一学生发现能通过改变金属线的张力来给钢琴调音。如果频率 ω 反比于线长，问频率如何依赖于线长 l 、张力 T 和线密度 σ 。

11.12 观测发现，深海中水波的传播速率依赖于波长 λ ，而与振幅无关。问速率 v 如何依赖于波长和水密度 ρ 。

11.13 容积为 V 的盒子内含有 N 个质量均为 m 的粒子，粒子运动速率为 v ，方向随机分布。利用量纲分析求这样的气体的压强 p 如何依赖于 N 、 V 、 m 和 v 。据此你能得出一些关于绝对温度本质的结论吗？

11.14 将牛顿定律 F = GMm / r ² 应用于运行轨道，来推导出开普勒第三定律 = c ，其中 c 为常量。 huP4xaNmFW49/rfthJpKmSZVG7ANnVJxLcpyWv0QW5X5heXfsnANOoLvufJ0ZwP0