9 力

参考《费曼物理学讲义（第1卷）》第12章。

9.1 由于表面张力，肥皂泡内部压力 P +Δ P 大于外部压力 P 。请证明：半径为 R 的球形肥皂泡的表面张力以压力微分Δ P 表示是

9.2 某物体质量为3kg，处于运动状态，其运动过程由运动方程 x =6 t ² -2 t ³ 描述（ x 以m为单位， t 以s为单位）。问：在 t =4（s）时，物体所受力 F 为多少？

9.3 两个物体 m ₁ =4kg和 m ₃ =2kg通过质量可以忽略的细绳（细绳经过完全无摩擦的滑轮，如图9-1所示）与物体 m ₂ =2kg相连接。物体 m ₂ 在长桌上运动，摩擦系数为 μ =0.5。系统由静止释放，问物体 m ₁ 的加速度 a 是多少？

9.4 半径相同的两个肥皂泡通过细管相连，如图9-2所示，请描述将有什么现象发生？

9.5 在轨道上快速行驶的火箭滑车，在滑车和轨道之间装配有带枢轴的刹车板，如图9-3所示。刹车板两端装有可更换的摩擦垫。摩擦垫和轨道之间的摩擦系数是 μ 。在火箭滑车运行过程中，摩擦垫材料的磨损速率正比于施加在摩擦垫上的摩擦力。假设刹车板枢轴中心点 P 位于轨道平面上方高 h 处，为使得两摩擦垫以同样的速率磨损， P 点与两摩擦垫间的竖直中心线的水平距离 x 应为多少？

其中，

W ：刹车板上所承载的火箭滑车的重量

H ：刹车板枢轴中心点所受力的水平分量

l ：两摩擦垫中心之间的总长度

9.6 能在竖直柱上上下滑动的可调节支架在很多实际应用中都有用处。图9-4是一种这样的支架，实际尺寸在图中具体标出。竖直柱与支架之间的静摩擦系数是0.30。如果把一个支架重量50倍的负载放在支架的 x 位置处，在支架不发生滑动的条件下， x 最小应是多少？

9.7 质量为 M 的立方体静止斜靠在墙壁上，如图9-5所示。不计墙壁和立方体之间的摩擦力，地面和立方体之间的摩擦力恰好维持立方体不发生滑动。在0＜ θ ＜45°的条件下，求最小摩擦系数 μ _min 关于 θ 的函数关系。计算 θ →0和 θ →45°的 μ 值，以及 μ =1所对应的 θ 值，以验证你的答案是否合理。

9.8 （a）以低速 v 运动的绳子摩擦一圆柱，绳子偏离直线一个小角度Δ θ 1，如图9-6所示。设绳子在圆柱一边的张力为 T +Δ T ，而在圆柱另一边的张力为 T 。求由于摩擦而导致的张力差值Δ T 。

（b）对上面所得方程进行积分，以求得当绕在圆柱上的绳子两端成一有限夹角 α ，并且拉动绳子使其滑动时，绳子两端张力之比 T ₂ / T ₁ 。

9.9 质量为5g的子弹水平射入静止于水平面上的木块中，木块质量为3kg。木块与水平面之间的摩擦系数为0.2。子弹嵌入木块后，观测到木块沿水平面滑行25cm。求子弹的入射速度 v ₀ 。

9.10 在汽车事故现场的调查中，通过测量，警察发现汽车 A 在与汽车 B 发生碰撞之前留下了长度为150ft的刹车痕迹。已知车轮与事故现场路面之间的摩擦系数不小于0.6。试求恰好在事故发生前汽车 A 的速度 v ，论证其一定超过了限定的极限速率45mph。

注：60mph=88ft s ^-1 ，重力加速度 g =32ft s ^-2 。

9.11 一物体静止处在长1.00m、倾角20°的光滑斜面的底端。若斜面沿桌子以 a =4.00m s ^-2 的加速度做加速运动，求物体滑到斜面顶端所需时间 t ？

9.12 质量为 m 的滑块沿与水平面成 θ 角的斜面滑行。滑块与斜面之间的摩擦系数 μ ＜tan θ 。令 m =1.00kg， μ =0.20， θ =30°。如果滑块沿斜面上抛的初速度为3.00m s ^-1 ，

（a）滑块沿斜面上行的距离 d 是多少？

（b）滑块上行到最高点，再滑落到起点总共所耗时间 t 为多少？

（c）求在此过程中，转化为热量的能量损耗Δ E 。

9.13 在图9-7所示的装置中，斜面长130cm，其上端高于下平面50cm。滑块 m ₂ 静止在平面上，质量为60g。滑块 m ₁ 质量为200g。两滑块之间的静摩擦系数是0.50；滑块 m ₂ 与斜面之间的摩擦系数是0.33。平行于斜面向上的力 F 作用在滑块 m ₂ 上。

（a）求滑块 m ₁ 刚要滑动时，滑块 m ₂ 的加速度 a 。

（b）求滑块 m ₁ 相对于滑块 m ₂ 静止时，力 F 的最大值。

9.14 质量为 m 的冰球以速度 v ₀ （cm s ^-1 ）在冰面上无摩擦滑行，如图9-8所示。当它进入一小段宽 L （cm）的断冰区时，所受摩擦力与速度成正比： F =- kv 。求速度 v 关于位置 x 的函数表达式，并完成图9-8中的 v-x 曲线图。

9.15 如图9-9所示，当肥皂泡的半径有一微小增量Δ R 时，为了克服表面张力 σ ，必须有外力做功，从而导致表面能增加Δ E 。每改变单位表面积所产生的表面能变化 =Δ E /Δ A ，称为比表面能（specific surface energy）。从虚功原理求比表面能关于肥皂泡半径 R 、增压Δ P 等的依赖关系。求比值 。

9.16 一辆空调校车正在往一个铁路交叉口行驶。车上一个孩子把氢气球系在了椅子上。观测到，气球的拉线与竖直方向呈30°角向车行驶的方向倾斜，如图9-10所示。问司机是在加速还是减速，加速度是多少？（铁路巡视人员将会因司机的驾驶技术而表扬他吗？）

9.17 质量为 m ，电量为 q 的粒子在垂直于磁场 B 的平面内运动，速率为 v 。

（a）证明：粒子在平面内做圆周运动。

（b）求圆周半径 R 。

（c）求粒子围绕圆周运行一周的时间 T 。

对于回旋加速器的运作，这个结果有重要意义。为什么？

9.18 质量为1000g的物体悬挂在长5.0ft的绳子上，绳子的另一端系在可在水平杆上自由移动的圆环上，如图9-11所示。圆环与杆之间的静摩擦系数是0.75。另有一根绳子系在此物体上，绳子绕过一个滑轮另一端可以加载重物。滑轮固定在水平杆上，位于圆环左方8 ft处。不断加载重量，直至圆环刚刚要开始滑动。

（a）此时，重量 W 为多少？

（b）长度为5.0ft的绳子上的张力 T 。

（c）求角 θ （如图所示）。

9.19 竖直门闩简化结构的侧视图如图9-12所示。下方部件 A 可以在水平槽内向前推进。槽表面光滑，摩擦力可以不计；部件 A 与部件 B 界面具有静摩擦系数 μ ，界面与水平面呈45°夹角。部件 B 质量为 m ，为了使门闩启动，施加在部件 A 上的水平力 F 至少是多少？

9.20 重 W 的粒子静止在粗糙斜面上，斜面与水平面夹角为 α ，如图9-13所示。静摩擦系数为 μ =2tan α 。

（a）水平力 H 沿斜坡横向方向作用在粒子上，为使粒子运动，力 H 的最小值 H _min 是多少？

（b）求粒子的运动方向与作用力 H 方向的夹角 φ 。

9.21 某瓶密闭的苏打水内部的计示压力为3.00×10 ⁵ Pa。水的表面张力是73mN m ^-1 。（假设CO ₂ 气体和水交界处，水的表面张力也是此值。）当缓慢打开瓶子时，如果在局部成核中心开始形成的气泡初始半径大于某一临界值 R ，一个气泡就会在液体内生成。计算在上述条件下，气泡生成的临界半径 R 。

9.22 电量为 q 、质量为 m 的粒子在同时存在的电场 E _y 、磁场 B _z 中运动。（其他场分量都为零。）

（a）写出粒子的运动方程。

（b）对该坐标体系进行如下伽利略变换：

（c）对于在相互垂直的电场和磁场中运动的自由粒子，你有何结论？ 0QkB3fHNX0UGfShpn23B1oey50bZgVFJdIiGJ+qq0Ue8EuYLMgIn0NZZnzq8HbrD