4 运动学

参见《费曼物理学讲义（第1卷）》第8章。

4.1 （a）物体做匀加速直线运动。在时间 t =0时刻，位于 x = x ₀ 的位置，其速度为 v _x = v _{x 0} 。

求证：在时刻 t 时，物体的位置和速度分别是：

（b）在以上公式中，把 t 消去，并证明在任意时刻，以下关系成立：

= +2 a （ x - x ₀ ）。

4.2 把上述问题推广到三维的情况，沿三个坐标轴方向的加速度分别为常值 a _x ， a _y ， a _z 。

证明：

（a）

（b）

其中，

= + + 。

4.3 一段圆弧的长度可以用来度量与之对应的圆心角大小。如图4-1所示，设圆弧长度为 s ，圆半径为 R ，那么以弧度为单位，圆心角 θ 大小为：

（a）证明：如果 θ 1弧度，那么sin θ ≈ θ ，cos θ ≈1。

（b）利用以上结果以及正弦和余弦的两角和公式，求sin θ 和cos θ 的导数。导数的定义是：

4.4 如图4-2所示，一个物体沿半径为 R 的圆周逆时针以速度 V 匀速运动。圆心位于直角坐标系（ x ， y ）的原点， t =0时刻，物体位于（ R ，0）处。证明：

（a）

（b）

其中， ω = V / R 是角频率。

4.5 高空探测气球装载着科研设备以1000ft min ^-1 的速度升空。在30000ft的高度，气球破裂，科研设备自由下落。（这种事故确实会发生！）

（a）科研设备在下落过程中经历了多长时间 t ？

（b）科研设备与地面相碰撞时速度 v 是多少？

忽略空气阻力。

4.6 一列火车能以20cm s ^-2 的加速度加速，能以100cm s ^-2 的加速度减速。求火车在相距2km的两个车站之间运行所需的最短时间 t 。

4.7 在有阻力的真实空气中竖直上抛一个小球，是上升过程还是下降过程所需的时间更长？

4.8 考虑地球表面赤道上的某点：

（a）相对于地球中心，此点速度 v 是多少？

（b）角频率 ω 是多少？

（c）由于转动所引起的径向加速度 a 与引力引起的加速度 g 的比值是多少？

4.9 竖直发射的火箭，在其发动机燃烧工作的50s时间内，被观测到具有大小为2 g 的均匀向上加速度。忽略空气阻力以及 g 随高度的变化。

（a）画出全过程的 v-t 图。

（b）计算火箭所能达到的最大高度 H _max 。

（c）计算火箭从点火发射到返回地面所经历的总时间 T 。

4.10 在课堂演示中，一个小钢球在一块钢板上弹跳。小球下落到达钢板时的速度为 v _d ，被钢板反弹后，速度以因子 e 衰减为 v _u ，即 v _u = ev _d 。在 t =0时刻，小球于钢板上方50cm处下落，经过30s后，扩音器的声音消失（这意味着钢球停止了弹跳）。求因子 e 的大小。

4.11 在平坦的地面上，物体以初速率 v ₀ 发射，发射角度与水平面成 θ 角。（忽略空气阻力。）求：

（a）物体可以达到的最大高度 H _max 和射程 R 。

（b）为了获得最远射程，发射角 θ 应是多少？

4.12 射箭冠军射中靶心，靶被钉在与之相距 L 的墙上，靶心的高度比射箭者的弓高 h 。试推导箭离开弓时的初速度 v ，箭与水平面的初始夹角 θ ，高度 h 以及距离 L 的关系式。毫无疑问，射箭者知道这种关系。

注：射箭者不可能忽略掉空气阻力，但是你不妨这么做。

4.13 一个男孩以与水平成70°的仰角向上抛一小球。当小球经过位于男孩肩膀上方32ft的窗户时，小球速度恰好呈水平。

（a）当小球刚刚离开男孩的手时，小球速度 v 是多少？

（b）当小球穿过窗口时，运动轨迹的曲率半径 R 是多少？

你能求出运动轨迹在任何给定时刻的曲率半径吗？

4.14 一颗小卵石被嵌在轮胎胎面中，轮胎半径为 R 。车辆以速度 V 在水平路面上行驶（车辆轮胎只有滚动，没有滑动）。在 t =0时刻，小卵石与地面接触，取此时小卵石的位置坐标 x （水平坐标）和 y （竖直坐标）为零。求：

（a）在 t 时刻时小卵石的位置，即 x （ t ）， y （ t ）。

（b）在 t 时刻时小卵石的速度 v （ t ）。

（c）在 t 时刻时小卵石的加速度 a （ t ）。

4.15 一辆小轿车司机正尾随一辆卡车行驶，他突然发现一块石头卡在了卡车的两个后轮胎之间。作为一个小心谨慎的司机（同时也是一位物理学家），他立即把两车距离拉大到22.5米，以防万一石头掉下时击中轿车。求卡车的行驶速度是多少？（假设石头掉地后不会被反弹跳起。）

4.16 一个马戏演员设计了一套新的演出动作。他把“人间大炮”和高空秋千结合起来。他从炮口被发射出时的速度为 V 。他希望可以达到足以抓到秋千（ r =2m）的高度，然后继续上升荡到离地面 h =20m的平台上。如图4-3所示。（高空秋千不应松弛，即在 r 和 h 两处，马戏演员的竖直速度必须为零。）

（a）求发射器必须被放置的角度 θ 。

（b）发射器和平台的距离 x 应该如何？

（c）发射初速度 V 应该多大？

4.17 迫击炮炮台安置在离峭壁边缘水平距离27000ft处。以迫击炮炮台所在平面为基准，峭壁深度为350ft，如图4-4所示。现在试图炮击隐藏在峭壁后的目标。如果炮弹的射出速度为1000ft s ^-1 ，求炮弹可以达到的落点离峭壁边缘的最近距离 d 。

4.18 一个加州理工学院的新生（没有和郊区交通警察接触的经历）收到了一个超速罚单。于是，当他经过一段直道高速公路的“车速表检测”区间时，他决定检测一下自己的车速表读数。当他通过标示区间的“0”刻度点时，他按下加速器开始加速，并且在整个测试过程中，车辆保持匀加速行驶。他注意到，在开始测试16s后，他通过0.10mi路标；又过了8.0s，他通过0.20mi路标。

（a）在0.20mi路标处，他的车速表读数 v 应是多少？

（b）加速度 a 是多少？

4.19 在爱德华兹空军基地（Edwards AFB）的水平长实验轨道上，火箭发动机和喷气飞机发动机都可以进行测试。某一天的测试中，火箭发动机由静止开始进行匀加速运动，直到燃料耗尽后做匀速运动。观察发现，恰好当火箭通过试验距离的中点时，燃料耗尽。同样，一喷气飞机发动机从静止开始，在试验全程中保持匀加速运动。试验观测到，两者以完全相等的时间完成了整个测试。求喷气飞机发动机加速度 a _J 与火箭发动机加速度 a _R 的比值。 y5Ff5dMDT/+eZlMRW4rHdFAnVYY6xVU4eXrXXOuJyjEE4ka7fKNsMjTSnJ6+ZJge