3 开普勒定律与引力

参见《费曼物理学讲义（第1卷）》第7章。

3.1 椭圆的一些性质

椭圆的大小和形状可以由以下任意两个量的数值确定（如图3-1所示）。

a ：长半轴，

b ：短半轴，

c ：由椭圆中心到焦点的距离，

e ：偏心率，

r _p ：近日（地）距（从焦点到椭圆轨迹的最近距离），

r _a ：远日（地）距（从焦点到椭圆轨迹的最远距离）。

以上各量的关系如下：

试论证：椭圆面积 A =π ab 。

3.2 在近地点处月亮到地球中心的距离是363300km，远日点处是405500km。月亮绕地球旋转一周的时间是27.322日。某人造地球卫星在近地点时离地球表面高度为225km，远地点时为710km。地球的平均直径是12756km。求此人造地球卫星绕地球旋转一周的周期 T 。

3.3 地球轨道的偏心率是0.0167。求地球运动轨迹上最大速率与最小速率之比 v _max / v _min 。

3.4 地球（E）与月亮（M）的半径分别为6378km和1738km。两者质量之比为81.3∶1。计算月球表面的重力加速度 g _M 。（ g _E =9.81m s ^-2 。）

3.5 在1456年，人们首次发现了哈雷彗星（Halley's comet），当时人们对此充满了恐惧。自那以后，到1986年时，哈雷彗星第七次光临地球（来到近日点附近）。在1910年4月19日，当哈雷彗星位于近日点时，观测到其离太阳的距离是0.60AU（AU是天文学上所使用的长度单位，是太阳和地球间的平均距离）。

（a）在其轨道的远日点处，距离太阳多远？

（b）最大轨道速率与最小轨道速率之比是多少？

3.6 近地表面、以圆形轨道运行的人造卫星的周期大约是100min。对于周期为24h的地球卫星，求其轨道半径应该是多少？（以地球半径 r _E 作为单位。）

3.7 考虑两个轨道半径相同的人造地球卫星，其中一个的轨道平面经过地球两极，另外一个的轨道在赤道平面内。问：哪个卫星需要更强大的发射火箭？为什么？

3.8 理想的“同步”卫星随地球同步转动。相对于地球表面上的某点 P 一直保持固定位置。

（a）考虑地球中心与卫星的连线。如果 P 点是此连线与地球表面的交点， P 点可能位于地球的任意纬度 λ 吗？如果不是，纬度 λ 有什么限制，为什么？

（b）质量为 m 的地球同步卫星到地球中心的距离 r _s 是多少？请用地球到月亮的距离 r _E-M 为单位来表示。

注：把地球考虑为均匀球体。月亮绕地球转动周期取27天。

3.9 （a）比较地球绕太阳转动的运动轨迹数据和月亮绕地球转动的运动轨迹数据，请判断地球质量与月亮质量之比。

（b）木星的某个卫星Io的转动轨道周期是1.769日，轨道半径是421800km。用地球的质量 m _E 来表示木星的质量 m _J 。

3.10 两个星体 a 和 b ，在彼此的引力作用下，相互环绕运动。如果观测到它们相对运行轨道的长半轴为 R （以AU作为单位），运转周期为 T 年。求两者质量之和 m _a + m _b 的表达式（用太阳质量来表示）。

3.11 有一个庞大的球形天体，质量为 M ，有一颗质量为 m 的卫星围绕其转动。如果两者之间的引力为：

其中， R 是两者之间的距离矢量。那么，开普勒第二定律、第三定律应该如何修正？（讨论第三定律时，假设运行轨道是圆形。）

3.12 在实验室中进行 g 的测量，为了得到由于月球的引力所引起的 g 的日变化Δ g ，实验精度至少需要多少？为简单起见，假设实验室所在位置正好使得月亮从天顶和天底通过。潮汐的影响同样忽略。

3.13 交食双星系统（an eclipsing binary star system）是指这样的双星系统：双星的轨道面与视线几乎在同一平面上，因此，一个星体会周期性地遮掩另一个星体。两星体的相对轨道速度可以通过光谱线的多普勒效应测得。 T 是轨道的周期（以日为单位）， V 是轨道速度（单位是km s ^-1 ）。求此双星系统的总质量（以太阳质量为单位）。

注：地球到太阳的平均距离是1.50×10 ⁸ km。

3.14 一颗彗星绕太阳转动，近日距 r _p =1.00×10 ⁶ km，此时的运行速度是 v =500.0km s ^-1 。

（a）求轨道在近日点处的曲率半径 R _c （以km为单位）。

（b）对于长半轴为 a 、短半轴为 b 的椭圆，其在近日点处的曲率半径是 R _c = b ² / a 。在 R _c 与 r _p 已知的情况下，我们可以得到 a 与此两者的关系。试写出此关系式并求出 a 。

（c）如果你能够由以上信息求得 a ，那么你同样可以求得彗星的轨道运行周期 T _c 。试求出。

3.15 通过引力而相互吸引的两物体向彼此“坠落”，最终效果是：两者绕着某一固定点（它们的质心）运动。利用此想法证明：在两者保持距离不变的情况下，轨道的运行周期取决于它们的质量之和，与它们各自的质量无关。此结论对于椭圆轨道同样成立。假设物体运行的椭圆轨道的长半轴是 R 和 r ，求轨道周期 T 。

3.16 如何求得月球的质量？

3.17 天狼星的三角视差（即天狼星对地球轨道半径的张角）是0.378°arc。由此，并结合图3-2中的数据尽你所能推算天狼星的质量（以太阳质量作为单位）。

（a）假设轨道平面垂直于视线；

（b）轨道平面与视线有倾斜夹角的情况。

并回答：在（b）情况下所求的值是上限还是下限（或者两者都可能）？