没有0的生活

关于0，其中很关键的一点是：

日常生活的运转其实并不需要它，比如，没有人会上街购买0条鱼。

从某种程度上说，它是最具文明的表现，

只有在塑造与培养思想时，其使用才会成为必然。

——阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德

作为现代人，我们很难想象没有0的生活会是何种光景，也许会像没有了数字7或者31一样举步维艰。不过，历史上的确有一段时期人们的生活中是没有0的。彼时尚未有文字载史，所以古生物学家们只能从一块块石头与骨骼中拼凑出关于数学起源的故事。研究人员从这些碎片遗痕中发现，石器时代的数学家要比现代数学家更为结实强壮，因为他们竟将狼群当作了黑板。

20世纪30年代后期，考古学家卡尔亚伯索隆在捷克斯洛伐克的泥土中经筛选发现了一块距今已有三万年历史的狼骨，其上凿刻着一系列圆形凹口，这是一个关键线索，可以让人一窥石器时代的数学特征。我们已经无法知晓这位被科学家命名为高格的穴居人究竟是用这块骨头来记录什么事物的数量，是他杀过的鹿、画过的画，抑或是没有洗澡的日子，但至少我们可以从中获得一个清晰的信息，那就是早期人类确实在计数。

狼骨相当于石器时代的超级计算机。高格的祖先甚至都难以数到2，因此他们肯定也不需要0。在数学萌芽的起步阶段，人们似乎只能区分“一”和“许多”，比如，拥有一个矛头或许多矛头，吃了一只碾碎的蜥蜴或是许多只蜥蜴，他们无力表达除了“一”和“许多”之外的其他数量。随着时间的洪流向前奔涌，原始人的语言慢慢发展到能够区分“一”“二”和“许多”，最后能够辨别“一”“二”“三”和“许多”，但对于更高的数字他们依旧无能为力。一些语言至今仍存在类似的缺陷，例如在玻利维亚的西里奥印第安人和巴西的雅诺马马人这两个部落的语言中，没有任何词语可用来指称大于“3”的数量，只有“许多”或“大量”这类字眼。

数字可通过叠加而得到一个新的数字，由于这一特性，计数系统绝不会只停留在数字“3”。所以在此之后，聪明的部落成员们开始使用数字串来表示更大的数字，巴西巴喀依瑞和博罗罗部落如今仍在使用的语言完整地展示了这个过程，他们的计数系统是这样的：“1”“2”“2加1”“2加2”“2加2加1”，并以此类推。他们以“2”为单位进行计算，现代数学家称之为“二进制”。

像巴喀依瑞和博罗罗人一样以二进制进行计算的人其实少之又少，那块古老狼骨才是古代计数系统的典型代表。高格的狼骨上共有55个小凹口，5个编为一组；在前25个凹口刻痕记号之后有一个次级凹口。看起来高格很有可能是以数量5为一组进行计数，然后又再以5为单位记录组别的数量。这样的方式很合乎情理，以小组为单位来统计记号数量要比逐个数快得多。在现代数学家看来，这位凿刻狼骨的穴居人高格采用的是以5为基准的五进制计数系统。

但是，他为什么会选择“5”作为计数单位呢？事实上，他的这个决定带有一定的随意性，假若高格选择以4为一组进行计数，而后再以4组（16）为一个集合体进行计算，他的计数系统同样能够有效运转，以6为计数单位的系统亦是如此。分组的方式并不会影响骨头上的记号数量，它只会改变高格算出总数的方式，而无论方式如何变更，他最后总能得到相同的答案。不过，高格更喜欢以5为计数单位，而世界上大部分人都与他不谋而合。人的一只手长有五根手指，这是大自然的偶然安排，正是由于这个偶然，“5”受到许多文化的青睐，成为其计数系统的计数基准。比如，早期古希腊人就用数字“5”（Five）的变形“Fiving”一词来描述计数的过程。

在南美的二进制计数方案中，语言学家也发现了五进制的萌芽迹象。在博罗罗语中，另一个用来表示“2加2加1”的短语是“我的手全加起来”（就是它）。显然，古人很喜欢借用身体的某个部位来记录数量，其中，“5”（一只手）、“10”（一双手）和“20”（双手和双脚）最受欢迎。英语中的“11”（eleven）和“12”（twelve）似乎是衍生于“十（ten）分之一”与“十（ten）分之二”，而“13”（thirteen）、“14”（fourteen）、“15”（fifteen）等则是“3（three）加10”（ten）、“4（four）加10”（ten）、“5（five）加10”（ten）的缩写。语言学家由此推定，“10”是日耳曼原始语中的基础单位，英语属于日耳曼语系，自然也不例外。从中我们又可推断出，使用这些语言的人们采用的是十进制的计数系统。另一方面，在法语中，数字“80”由“4个20”（quatre-vingts）表示，“90”由“4个20加10”（quatre-vingt-dix）表示，也许这意味着，古时定居于今日法国境内的人采用的是以20为单位的二十进制计数系统。像“7”和“31”这样的数字在所有的计数系统中——无论是五进制、十进制抑或是二十进制——均占有一席之地，但“0”则不然，所有计数系统里都难觅它的踪影；或者说，这个概念压根就不存在。

人们根本无须记录“0”头羊或“0”个孩子，就如杂货商只会说“我们这儿没有香蕉”，而不会说“我们有‘0’个香蕉”。人们也不会用一个数字来表示缺失的东西，因为没有人会给不存在的事物赋予标记。这就是长久以来人们能够在没有“0”的环境中自如生活的原因——因为人们并不需要它，所以它也就未曾显露身姿。

事实上，在史前时代，能够透彻了解数字着实是一项了不起的能力，单是能数数的人就已经被视为天才。在人们眼中，他们就和那些懂得施展巫术、对神灵直呼其名的人一样神秘莫测。据埃及亡灵书的描述，在黄泉阴界有个摆渡人，专渡亡灵过河，每有亡魂进入阴间，他就会问他们一个问题：“人一共有多少根手指？”若答不上来，便不得上船，此时亡魂须背诵一首计算韵文，数出手指总数，方能令摆渡人满意。（希腊的阴间摆渡人则会收取过路费，钱币一般藏于死者的舌底。）

尽管计数技能在古代社会较为稀罕，但数字与计数基本原理的发展总是早于读写能力。当先民方才开始压制芦苇制作写字板、在岩石上凿刻图形、在羊皮纸和纸莎草上涂画墨汁，数字系统早已稳固确立。将口头的数字系统转录为书面形式并非难事，人们只需找到一种方便抄写员将数字记下并长久保存的编码方法。有些文明甚至在发明书写之前就已经想出了记录数字的编码方法，比如，没有发明文字的印加文明通过排列各种带有颜色的小绳结来记录计数过程与结果，后人称之为结绳语（quipu）。

最初，抄写员一般使用与数字的基础体系相吻合的方法记录数字，可以预见的是，他们肯定尽可能地采用简洁的方式。自高格所处的时代起，人类社会一直在进步发展，抄写员们创造了各式符号来代表不同类型的分组，而不是将各个小组的记号一再重复记录。若采用的是五进制系统，抄写员也许会用一种符号表示数量1，用另一种符号表示数量为5的组别，再用第三种符号表示数量为25的组别，并以此类推。

古埃及人便是这样做的。在金字塔建成的五千多年之前，古埃及人就设计了一套图形，用来表征他们使用的十进制计数系统：一个直角符号表示1个单位数量，一个根骨形状表示10，一个旋涡状的陷阱图案则表示100，以此类推。埃及抄写员在记录数字时只需写下这些符号，例如，若想记录数字“123”，抄写员无须重复勾画123个标记，只要记录6个符号：1个陷阱、2个根骨和3个直角。这是古代数学记数的典型方式。和大多数早期文明一样，古埃及同样没有——或者说不需要——0。

不过，古埃及人绝对称得上是优秀的数学家。他们掌握了大量天文学知识，能够准确地记录时间。考虑到天文历法的飘忽不定与难以捉摸，他们必定运用了相当先进的数学知识，方能达到如此成就。

对大多数古人来说，制定一套稳定的历法绝非易事，因为制定者通常会先想到阴历，即以两个满月之间的间隔时间为一个月。这是一个自然而然的选择，天上月亮的盈亏圆缺十分明显瞩目，是人们用来标记时间周期的方便之选。不过，阴历的一个月在29至30天之间，不管如何腾挪，12个月份加起来也只有354天左右——比公历的太阳年少了约11天；若按13个月份计算，又会多出来19天。作物栽种收获的时间周期依照的是公历的太阳年，而非阴历的太阴年，因此，如果根据并不十分准确的阴历来计算时日，人们也许会有一种错觉，认为每个月份所处的季节似乎总在缓慢变更，并不固定。

修正阴历绝对是一项复杂艰巨的任务。如今一些国家，如以色列和沙特阿拉伯，仍在沿用昔日的改良阴历，而6000年前的古埃及人就已经发明了一套更加优良简便的计时系统，这套历法以数年间的四季更替时间为基准，与其保持同步。也就是说，古埃及人与当今大多数国家一样，利用太阳来追踪时间循环的规律，而非月亮。

古埃及历法1年有12个月，这一点与阴历并无二致，不同的是，古埃及历法中每个月有30天（因采用十进制计数法，他们制定的历法中，1个星期有10天）。且每年的最后一个月会多出额外5天，如此一来，一年就总共有365天。此套历法可以看作如今通行公历的始祖，后来为希腊、罗马相继采用并再次订正，增加了四年一遇的闰年，而后正式成为西方世界的标准通用历法。不过，由于埃及人、希腊人和罗马人均没有起用0，因此西方历法中也便没有出现0的踪影，而这一疏忽将成为千年之后一系列问题爆发的导火索。

古埃及人发明阳历是人类的一次重大革新与突破，但它在青史上留下的印迹绝不仅于此，它还标示着几何学这门堪称艺术的学科的出现。即便没有0，埃及人依旧迅速成长为数学专家，或者说，由于尼罗河的汹涌波涛，他们不得不加紧脚步。尼罗河每年都会泛滥并淹没沿岸的三角洲，好在洪水会将肥沃的河底淤泥冲上河岸并堆积于田野，尼罗河三角洲也因此成为古代最肥沃的耕田区。但是，漫溢的河水同时也会摧毁沿岸各家农田的界限标记（古埃及人非常重视产权归属问题，据埃及亡灵书记载，刚死之人须在天神跟前起誓，保证自己从未窃取过邻居的土地；若犯过此罪，则必受严惩，心脏会被挖出，喂给名唤吞噬者的凶猛巨兽。在古埃及，夺取邻居的土地是十分严重的罪行，量刑与违背誓言、谋杀他人、在寺庙手淫等不相上下）。

古代的法老常派遣调查员前往评估土地损失，并帮助农户重新设置农田界标，几何学就此应运而生。这些调查员（或可称之为绳索使用者，因为他们以长绳为量度工具，并用结节的绳索来标记角度）将土地划分成大小不等的矩形和三角形，以此来确定地块面积。古埃及人还掌握了测量物体（如金字塔）体积的方法。古埃及数学在整个地中海地区享有盛名，连古希腊早期的数学家和几何学大师，如泰利斯、毕达哥拉斯，都极有可能前往埃及求过学。古埃及几何学焕发出了熠熠光辉，但0依旧杳无踪迹。

其中部分原因在于，古埃及人喜欢追求实用价值，他们发展的脚步从来没有踏出过体积测量与时间记录的范畴。除了占星术这一例外，其他不具实用性的领域都未曾窥见数学的身影。因此，即便是最好的数学家，也不曾尝试运用几何原理解决任何与现实世界无关的问题。他们既没有将发明的数学体系转化为抽象的逻辑体系，也没有想过可以将数学与哲学理念结合贯串。古希腊人则不同，他们敞开怀抱，欣然迎接那些极富抽象性与哲思性的概念，古代数学也由此发展至巅峰。然而，古希腊人也没能揭开0的神秘面纱，它源自东方，而非西方。 8H6IdFJsLNdMW0p1xoa5ap3ngUfbiJse7mRH0lfhEKKSDpUFmhSr1oTY6xJVtWSR