无限、虚无与西方世界

于是，博物学家们注意到，一只跳蚤，

其身上暗伏着更小的跳蚤，以它为猎物，

它们的身上又有更小的跳蚤，伺机张口咬噬，

如此往复，便是无限……

——乔纳森·斯威夫特《诗歌：狂想曲》

无限与虚无暗藏着令古希腊人惊骇乃至胆寒的威力。无限预示着一切运动都可能无法成行；而虚无则叫嚣着要将坚果状的宇宙碾压成上千碎片。通过把0拒之门外，古希腊哲学家们的世界观得以保全，又在世上绵延了两千多年。

毕达哥拉斯的核心思想成为西方哲学体系的中心支柱：数是万物的本原；各行星在天球中有序运行，和谐旋律也随之而起。但是，在这些天体之外呢？是否有更多、更巨大的天体？或者说，位于运行轨道最外围的那颗行星是否就是宇宙的尽头？亚里士多德和后来的哲学家们均坚称，不可能存在无限数量的嵌套天体。在这种哲学理念统治下的西方世界，无穷大或无限这一概念被完全弃置一旁，找不到生存与发展的空间。但是，由于芝诺这位在当时被评价为“最讨人厌”的哲学家，“无限”已然开始悄悄侵蚀西方思想的根基。

芝诺生于公元前490年左右，当时波斯战争刚刚打响，这是一场东方与西方的大规模冲突交战。古希腊人也许能够战胜波斯人，可古希腊哲学却永远不可能彻底征服芝诺——因为芝诺提出了一个悖论，在古希腊哲学家看来，这个逻辑上的难题相当棘手，可以称得上是古希腊史上最令人头疼的论证：芝诺证明了“不可能”的存在。

芝诺提出，世间无一物处于运动的状态。这一说法无疑是荒唐的，只消在房间里踱上几步便可驳斥。每个人都清楚这个观点的荒谬，但没有一个人能够从芝诺的论述中找出一丝裂隙瑕疵。他提出的这个悖论困住了古希腊的哲学家以及他们的后来者，在近两千年的岁月里，这个逻辑谜题如梦魇般纠缠着各大数学家。

芝诺提出了许多关于运动的悖论，其中最著名的是“阿基里斯跑不过乌龟”，他证明了，速度飞快的阿基里斯永远也追不上动作迟缓、但比他先一步出发的乌龟。说得具体些，假设阿基里斯的速度是1英尺（约305毫米）每秒，乌龟的速度是1/2英尺每秒，乌龟的起始出发点在阿基里斯之前1英尺。

阿基里斯起步追赶，仅1秒钟就到达了乌龟的出发点，但在这一秒钟里，乌龟也在向前移动，前进了1/2英尺。没关系，阿基里斯速度很快，1/2秒钟内便追上了这1/2英尺的距离，然而乌龟又已经往前爬了1/4英尺。一瞬间——仅过了1/4秒——阿基里斯再次追上了这段距离，可是，就在这稍纵即逝的时间里，乌龟又向前挪动了1/8英尺。阿基里斯脚步未歇，但乌龟总能制造出无穷个起点，且在起点与阿基里斯之间制造出一个距离，不管这个距离有多短，是1/8英尺、1/16英尺还是1/32英尺……只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远追不上乌龟，因为乌龟总是先他一步（见图表10）。

我们都清楚，在现实世界里，阿基里斯肯定能追上乌龟，但芝诺的论证结果却截然相反。当时的哲学家无法驳倒这个悖论，尽管他们知道，芝诺的这个结论肯定是错误的，但无法从芝诺的数学论证中挑出一丝错处。逻辑是哲学家手中的主要武器，但对于芝诺提出的这个悖论，逻辑推导似乎无能为力。芝诺这条逻辑链的每一环似乎都无懈可击，但如果环环相扣的论证都是正确的，为什么最后推导出来的结果却是错误的呢？

这个问题彻底难住了古希腊人，但他们其实已经捕捉到了这团迷雾的源头：无限。芝诺悖论的核心就是无限：芝诺将连续运动过程分割成无穷多的小段间隔，由于间隔的数量无限大，于是古希腊人就认为，尽管间隔距离越来越小，但阿基里斯和乌龟总是在不断运动。也就是说，在有限的时间里，追赶的过程永不停歇——至少他们是如此认为的。古人难以应对“无限”这个概念，好在现代数学已经掌握了其中的要领。对于无限的理解与处理需小心谨慎，但在0的帮助下，这个问题已然迎刃而解。经过数学界2400年的努力，今天的我们已可轻松准确地击中芝诺悖论的阿基里斯之踵。

古希腊数学没有0，但我们有，而它恰恰是解决芝诺悖论的关键所在。在某些情况下，无穷个数字项的累加是有可能得到一个确切的数值的——但这些累加的数字项必须趋近于0 。阿基里斯与乌龟的情况便是如此。若把阿基里斯的跑动距离从1开始累加，即（1 + 1/2 + 1/4 +1/8…），其后的项数值越来越小，越来越趋近于0，每一个项都相当于阿基里斯与乌龟之间的距离，而追赶的终点则是0。然而，由于古希腊人已将0推拒门外，所以他们始终无法理解，阿基里斯与乌龟的这段追赶之旅是有终点的。在古希腊人看来，1、1/2、1/4、1/8、1/16…这个数列无穷无尽，没有终点，只是数字项的数值会越来越小，直到跨出他们掌握的数字范畴。

现代数学则清楚地知道，这些累加项是有一个极限的，1、1/2、1/4、1/8、1/16…，最终趋近于0，这就是它们的极限。换句话说，这趟追赶的旅程是有终点的。一旦确认了终点的存在，人们自然会发问，这个终点到底有多远？多久能到达这个终点？将阿基里斯跑动的距离相加起来并非难事：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … + 1/2n + …，而随着阿基里斯的跑动距离越来越小，越来越趋近于0，其累加的结果就越来越趋近于2。这个结果又是如何得到的呢？假如从2开始，一一减去累加的各数字项：2−1自然等于1；然后再减去1/2，得到1/2；再减去下一项，即减去1/4，得到1/4；再减去1/8，得到1/8。于是，我们可以再次得出一个熟悉的数列。如前所述，1、1/2、1/4、1/8、1/16…这个数列的极限是0，因此，若由2减去这些项，结果应该是0。因此（1 +1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … + 1/2n + …）的极限就是2（见图表11）。也就是说，阿基里斯在跑动2英尺之后，就能赶上乌龟，尽管他需走过无限多步。再来计算一下阿基里斯追赶上乌龟所需的时间：1 + 1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 + … + 1/2n + …=2秒。阿基里斯需要走过无限多步才能跑完这一段有限的距离，但他所需的时间仅为2秒。

古希腊人无法识破这个小小的数学诡计，因为在他们的知识海洋里不具备极限的概念，但究其根源，还是在于他们对0的不信任。他们认为，这个无限数列中的项是没有极限，或者说没有终点的，项的数值越来越小，目之所及，似乎望不到尽头。他们反复琢磨虚无的概念，却拒绝承认0是一个数字；他们费心思忖无限的定义，却不肯接受无穷（数值为无穷大或无穷小的数字）的存在。这便是古希腊数学界最大的失败之处，而古希腊数学家发明微积分的可能性也就此摒绝。

无限、0、极限的概念，三者联系紧密，难以分割。古希腊哲学家无法揭破它们之间的联系，因而也就错失了解决芝诺悖论的关键要点。芝诺悖论影响力甚大，古希腊人前赴后继地尝试对其做出解释，但这些尝试注定失败，因为此时的他们并不具备相应的知识概念，可谓手无寸铁。

芝诺自己也没有对这个悖论做出恰当的解释，或者说，他从未寻求得到解答，因为这个悖论的内涵十分契合他的哲学思想。他是古希腊埃利亚学派的成员，这一学派的创始人巴门尼德认为，宇宙的本质是固定不变的。芝诺提出的这些悖论展现了变化与运动的矛盾性，恰好支持了巴门尼德的观点，他尝试说服人们相信，世间万物的存在是唯一且永恒不变的。芝诺也笃信，“存在”不动，即运动是不可能的。而他提出的这些悖论就是这一理论的主要支撑论点。

其他思想理论亦层见叠出。比如，持原子论者认为，宇宙万物是由一种叫作“原子”的微小物质粒子构成的，原子不为人眼所察，既不能创生，也不能毁灭，自古便存在；所谓运动，实则就是这些微小粒子的运动。如果原子要四处游移，就必然有供其运动的空间存在，如果没有类似虚空 的事物将它们分隔开，它们就只能挤作一团；也就是说，所有一切事物都将困在同一位置，无法动弹半分。因此，原子论的主张成立的前提是，宇宙间必然充斥着容纳原子运动的空间——无限的虚空。原子论的推崇者欣然接纳了“无限虚空”这一概念，它既囊括了无穷，也包含了0。这个结论震惊世人，但其提出的“原子不可再分”的内核思想却能够在某种程度上拨开芝诺悖论的迷思。原子是宇宙间不可分的最小粒子，即是说，存在这样一个临界点，一旦过了这个临界点，事物便不可再分。于是，芝诺认为的无止境向前将不再成立，因为在一个最小的不可再分的时间点上，运动的物体一定要穿越至少一个不可再分的原子的距离，否则即可被视为静止。阿基里斯在一个时间点上穿越的原子数量一定比乌龟多，这样一来，他也就能够成功追上乌龟了。

在另一个与原子论相抗衡的哲学体系中，没有诸如无限虚空这类怪诞离奇的概念，它把宇宙描绘成舒适安逸的坚果形状，没有无限，没有虚空，只有美丽的天体围绕着地球旋转，位于宇宙中心的自然是我们赖以生存的地球。这便是亚里士多德的宇宙模型，后来，居住于亚历山大城的天文学家托勒密对其进行了修正补充。亚里士多德把0与无限推拒门外，并在此基础上对芝诺悖论做了一番解释。

亚里士多德认为，数学家“既不需要也用不到无限”。也许“无限”的概念会潜匿于数学家的思想深处，比如，将线条划分成无限多的小段，但没有人能真正做到这一点，所以，无限在现实生活中是不存在的。阿基里斯无疑能够轻松地超过乌龟，因为所谓的无限个起点其实只是芝诺的臆想造物，并不存在于现实世界。亚里士多德将无限挥置一旁，并轻描淡写道：“无限只不过是人类思维的构想。”

以毕达哥拉斯的宇宙模型为基础，亚里士多德（以及后来的改进者天文学家托勒密）提出，各天体在球体宇宙中沿正圆形轨道运行。既然无限已不复存在，天体的数量自然也非无限，所以，一定存在一个最后的天体。这颗最外围的球体是深蓝色的，带着午夜的幽深，镶嵌着星辰的点点辉光，宇宙就在这里戛然而止。宇宙被惬意地包裹在一个坚果形状的有限空间里，恒星安稳地绕地球而动。宇宙是一个有限大的球体，其中充满了物质，既不存在无限，也不存在虚空；既没有无穷大，也没有0。

这一连串的推导过程产生了另一个推论，而这个推论也是亚里士多德哲学得以长久延续的主要原因，那就是，他的哲学体系检验并证明了上帝的存在。

天上群星沿着各自的轨迹悠然旋转，产生的曼妙乐声漫溢天际。但是，一定是有什么东西造就了这些运动。静居于中的地球不可能是这股动力的来源，因此，最内层的天体肯定是在下一层天体的带动下运动的，并以此类推。然而，无限是不存在的，天体数量有限，所以，一定存在一个最终动因，推动着这些恒星的运转。而这个原动力，就是上帝。基督教自席卷西方世界之时起，就与亚里士多德的宇宙观及其证明上帝存在的凭据牢牢捆绑在一起，原子论则与无神论者紧密相连。质疑亚里士多德的哲学信条就是在质疑上帝的存在。

亚里士多德的思想体系成就辉煌。他最著名的学生，亚历山大大帝（逝世于公元前323年）生前将他的思想向东远播至印度。亚里士多德思想的生命力远比亚历山大的帝国强大，一直绵延发展至16世纪的伊丽莎白时期。亚里士多德思想长期处于统治地位，与之相伴的便是都对无限以及虚空的排斥。对无限的否定必然伴随着对虚空的否定，因为虚空本身就意味着无限的存在，毕竟，虚空的本质决定了，其存在只有两个逻辑上的可能，而这两个可能性都蕴含了无限的存在。第一个可能性，宇宙中容纳原子运动的空间是无限多的，因此无限是存在的。第二个可能性，宇宙中容纳原子运动的空间非无限多，即虚空是有限的，但是，由于虚空是没有任何物体存在的空间，那么，就必须存在无限多的物体，以确保虚空的数量是有限的，于是，无限同样存在。两种可能性下，虚空的存在都暗含着无限的存在。虚空或者0粉碎了亚里士多德高妙的思想论述，同时也摧毁了他对芝诺悖论的驳斥和对上帝存在的证明。于是，人们在接受亚里士多德思想的同时，也被迫伸手推开了0、虚空与无限。

但是，仍有一个问题：同时驳倒无限与0并非易事。回溯过往岁月，沉淀在历史长河中的往事一一浮现，但是，倘若无限是不存在的，那么也就不会有无穷多的历史事件，因此，历史的河流必有一个起始的源头——创世。然而，创世之前呢？是一片虚无吗？显然，亚里士多德无法接受这个答案。相反，如果没有所谓第一个历史事件，那就意味着宇宙自古便有，并将亘古长存。于是，要么存在0，要么存在无限，不存在两者都不具备的宇宙。

亚里士多德对虚空这一概念嫌恶入骨，取舍之间，他宁愿相信宇宙的永恒无限，也不愿认同宇宙充斥着虚空。他认为，时间的无穷无尽与芝诺悖论的无限分割一样，都只是一种“潜在的”无限（无限是连续性的一种体现，这种说法得到了许多学者的赞同，甚至有一些人还将创世故事当成佐证上帝存在的进一步证据。中世纪的哲学家与神学家注定要因这个难题展开一场持续几百年的持久论战）。

亚里士多德关于物理学的思想虽错漏颇多，但影响深远，在一千多年间，所有与之相反的见解都在它的耀眼光芒下黯然失色，其中不乏一些更加务实的观点。在世界将亚里士多德的物理学思想——包括他对芝诺的无限概念的排斥——抛诸脑后之前，科学难以迈出前进的步伐。

尽管聪慧盖世，芝诺还是陷入了难以挣脱的困境。大约在公元前435年，芝诺密谋推翻埃利亚的僭主尼阿库斯，并协助走私武器，但计划不幸败露，芝诺被捕入狱。为找出同谋者，尼阿库斯对芝诺严刑拷问。芝诺很快便招架不住，乞求停止审讯且答应供出同谋。尼阿库斯走到他的跟前，芝诺却一再坚持要他再贴近一些，因为他只想对尼阿库斯一人吐露秘密。于是，尼阿库斯弯下身子，将头靠近芝诺，就在这电光火石之间，芝诺一口咬住了尼阿库斯的耳朵。尼阿库斯惊声尖叫，芝诺却如何都不肯松口。一旁的审讯人员无奈之下，只能将芝诺乱刀捅死。一代“无限”大师就此陨落。

古希腊终于迎来了一位智者，在无限这一研究问题上超越了芝诺，他就是阿基米德，一个来自锡拉库扎的古怪数学家，他也是那个时代里唯一一位对无限投去审视一瞥的思想家。

锡拉库扎是西西里群岛中最富饶的城市，阿基米德的家庭在当地属名门望族。人们对阿基米德的年轻时期知之甚少，只大致知道他生于公元前287年左右，与毕达哥拉斯一样，出生于萨摩斯岛，后移民至锡拉库扎。阿基米德帮助锡拉库扎的国王解决了许多工程问题，这位国王还请求阿基米德帮他鉴定其纯金打造的王冠是否被工匠掺杂了铅，这可是一项难度远超当时科学水平的任务。一天，阿基米德坐在自家浴缸里，注意到缸里的水正往外溢，他突然悟到，可以通过测定王冠在水中的排水量来确定金冠的密度及纯度。于是，他欣喜若狂地跳出浴缸，跑到锡拉库扎的大街上高声呼喊“尤里卡！尤里卡！”（Eureka，希腊语，意为‘我知道了’），全然忘了自己还没穿上衣服。

阿基米德发挥自己的才能，为锡拉库扎的军队做出了许多贡献。公元前3世纪，古希腊的霸主地位已然式微，亚历山大的庞大帝国崩塌瓦解为若干小国，这些势力长期处于斗争状态，此时的西方世界，有一股新生力量正崭露头角，那便是罗马共和国。罗马将征服的目光投向了锡拉库扎。相传，阿基米德为锡拉库扎军队发明了多种强劲武器用以抵御罗马人的进攻，如投石器、巨型起重机（可以将敌人的战舰吊到半空中，然后重重摔下使其在水面粉碎）、聚光镜（把强烈的阳光一齐反射到远处的敌舰上，使其着火）等。这些武器弄得罗马士兵惊慌失措、草木皆兵，一见到城墙上挂着根绳子或竖着块木头，就以为又是阿基米德发明的什么新武器，于是仓皇逃走。

为聚光镜抛光触发了阿基米德对于无限的思考。几个世纪以来，古希腊人一直沉迷于圆锥曲线的研究无法自拔。取一圆锥体，切成两半，根据切割方式的不同，分别可得到圆形、椭圆形、抛物线和双曲线。其中，抛物线有一个特殊的性质：抛物镜面能够将阳光或远距离光源的光线聚于一点，换句话说，能够通过聚光点燃船帆的镜子必须为抛物镜面。阿基米德苦心钻研抛物线的性质特征，就是在这期间，他开始了对无限的第一次思索。

为了了解抛物线，阿基米德必须先掌握测量它的方法。在此之前，无人知晓究竟该如何准确计算抛物线所围成的面积。三角形与圆形的面积测定已驾轻就熟，但一些稍不规则的曲线，如抛物线所围成的面积测量则不然，其难度超出了当时古希腊数学可及的知识范围。不过，阿基米德想到了一个方法，而这个方法中隐匿着无限的身影。第一步就是在抛物线内部画一个三角形，然后在两边剩余的空白地带再画上两个三角形，此时余下四个空隙，便再添画更多的三角形，并以此类推（见图表12）。就像阿基里斯与乌龟一样，这一系列步骤同样没有止境，构画的三角形越来越小，其面积很快便趋近于0。经过一串漫长而复杂的运算，阿基里德把无穷多的三角形的面积累加起来，并巧妙地估算出了抛物线所围的面积。当时的数学家都对这个推导思路不以为然，因为阿基米德采用无限作为工具，这一点招来了他的数学同行们的反感。为了说服他们，阿基米德运用当时为人接受的数学知识，在所谓阿基米德公理的基础上又总结了一套证明方法，不过他自认，前一种方法更值得称颂。我们先前业已提到，阿基米德公理的内容是，任意给定两个正实数a、b，必存在正整数n，使na＞b，而0显然不包括在内。

阿基米德的三角形证明方法已相当接近极限的基本思想（或者说微积分的基本思想，此处不作过多的细致区分）。在后来的著作中，阿基米德算出了抛物线与圆形绕直线旋转形成的物体体积，对如今学习微积分的学生来说，这样的题目已是小菜一碟。但是，阿基米德公理将0排斥在外，而0恰恰是沟通有限与无限的桥梁，是走向微积分与高等数学的必由之路。

即便阿基米德聪明绝顶，他间或也会与人一同嘲弄无限这个概念。他对亚里士多德的宇宙观深信不疑，认为宇宙就是一种巨大的有限球体。有一次，他心血来潮，想尝试计算出需要多少数目的沙粒才能填满整个宇宙。他首先计算了充填一颗罂粟籽需要多少沙粒，然后计算多少罂粟籽能填满一浮 的宽度，再由一浮扩展至一斯塔德 的长度，以此类推，一直拓展至宇宙量级。经过运算，阿基米德得出，需要10 ⁵¹ 颗沙粒才能填塞满整个宇宙，直到最边缘的恒星球体。（10 ⁵¹ 是一个极大极大的数字，如果地球上的男女老少，每人一秒钟喝一吨水，也需要 15万年才能喝完10 ⁵¹ 摩尔的水。）由于这个数值过于巨大，古希腊计数系统已无能为力，阿基米德不得不重新创造了一套记大数的方法，以简化记数方式。

万（myriad）是古希腊计数系统中最大的计数单位，此系统的计数上限只能到万万（myriad myriads，即100,000,000）以及比万万更大一点的数。但阿基米德的计算结果已然超过这个界限，于是，他只能按下了重启键，建立新的记数法。他以1亿（原文是万万，myriad myriads, 这里按照中文的习惯改称为亿——译注）为基础单位，设定100,000,000等于1（阿基米德没有设定100,000,001等于1、100,000,000等于0，这是现代数学家的做法，当时的阿基米德不曾意识到，从0入手其实更为合理），而后再进行记数，把从亿到亿亿之间的数叫作第2级数（second order），从亿亿到亿亿亿之间的数叫作第3级数，并以此类推，直到第1亿级数。他把上述从第1级数到第1亿级数的所有数字称为第1周期（the first period）的数。这样的方法虽略显笨拙，但足以帮助阿基米德完成他的思维实验，其记数范围甚至大大超过了阿基米德原先的需求。这些数字尽管数值巨大，尽管远超足以填满宇宙的沙粒数目，但它们依然是有限的。古希腊世界不需要无限。

如果给阿基米德更多时间，或许他也能感受到无限与0的魅力，但是，这位计算出宇宙容沙量的数学家注定要在数学的陪伴下，在沙地中接受命运的最后安排。罗马人攻破锡拉库扎是大势所趋，罗马士兵潜行通过一座管理松弛的瞭望塔，轻松翻越城墙，进入内城，锡拉库扎人发觉时已无力回天。罗马人侵城而入，阿基米德却对周遭此起彼伏的恐慌置若罔闻，他席地而坐，在沙地上画着圆圈，正试着证明某条数学定理。一个罗马士兵瞥见了这个满身泥污的75岁老人，便上前命令他离开。阿基米德严词拒绝了他的要求，因为他的证明推导尚未完成。士兵勃然大怒，立马一刀将他刺死。罗马人挥手一刀，世界便就此失去了一位伟大的思想家。

杀死阿基米德是罗马人对数学做出的最大贡献之一。罗马帝国延续七百年之久，在这段漫长的岁月里，数学的发展停滞不前。历史的车轮滚滚向前：基督教在欧洲迅速传播蔓延，罗马帝国终分崩离析，亚历山大图书馆烈火滔天 ，黑暗时代 拉开序幕。年月又更迭了7个世纪，0方才重新出现在西方世界。在此期间，两个修道士创造了一部没有0的历法，并将人类引入了迷雾笼罩的无底深渊。 CkssSzoBd1dG6IHDHfZemLO+CEx/AljbtQnldnizsTrG8vPoJmLoEoaAg5pyAGq/