序言
学习数学前你需要了解的事

成年人学习初中数学的意义

根本没必要学数学吗

“根本没必要学习数学！踏入社会后，只要会加减乘除，再懂点比例之类的概念就足够了，中学学那么多复杂的数学知识简直是在浪费时间！”估计对数学抱有这种怨念的人不在少数。

然而，几年前国内开始掀起一股“成年人重修数学”的热潮，许多相关书籍竞相出版，这股热潮延续至今。如今，许多有一定规模的书店都有专为成年人重学数学设立的“数学书籍专柜”，而永野数学私塾开设的“成年人数学补习班”，近几年前来咨询的人数也呈明显上升趋势。

或许，大家已经发现了：“学习数学还是有必要的。”

如今我们的智能手机上都附带计算器功能，文具店也都能买到计算器，更不用说个人电脑了，Excel和账目管家这类软件能很快完成繁琐的计算，踏入社会后，你会感到几乎没有什么用纸和笔进行计算的机会。没错，这种现象说白了就是“优秀的计算能力”的价值在逐渐下降，而与之相反的是，“逻辑思考能力”“独立思考能力”的价值则越发突出。

如今的世界是多元化的，当初那种所有人坚持相同的价值观、盲目朝着一致目标努力的时代早已结束。现代社会有着庞大的信息网，所有人都可以通过博客、Twitter、Facebook等平台发表自己的言论，似乎人人都是评论员。在信息与个体意识交融的风暴中，人们不会再盲目地追求统一的价值观，也许到昨天为止还被认为正确的事，到了今天就变成错误的了。

其实在我们目前的生活中，需要的不是按部就班或是依照习惯处理事情的能力，而是要能自我思考并付诸行动，让他人认可自己的想法。换句话说，能以独到的视角看穿事物的本质，并有条理地向他人解释说明，这才是我们在现代社会需要具备的能力。

初中数学其实很有用

“说是那么说，但到底怎样才能具备这种能力呢？”

我想很多人都存在这样的疑问。既然你已经拿起这本书，就说明你已经找到这个问题的答案了。没错，通过学习数学能磨炼出你在现代社会生存所需的技能。

因式分解、二次方程、勾股定理在现实生活中确实没什么用处，但话又说回来，懂得因式分解，能解二次方程，其实都不是学习数学的真正目的。事实上，数学公式与解题方法背后暗含的处理问题的方法和思考方式，才是我们需要通过学习数学磨炼出的能力。在这里，我引用一下自己常常挂在嘴边的爱因斯坦名言：

“所谓教育，是忘却了在校学得的全部内容之后所剩下的本领。为了让这个本领能便利地解决社会中面临的诸多问题，教育应该培养的是能够独立思考和独立行动的人。”

其实你把之前所学的数学定理、公式、解题方法忘了也没关系，因为踏入社会后，大部分人是不会用到的。但如果你不仅把这些知识忘得一干二净，也没学到其他东西，恕我直言，那只能说明你的数学确实白学了……

其实这样学习的人不只你一个，当时我们忙着应付期中、期末和升学考试，根本没有功夫去思考学习数学的真正意义。为了通过连续不断的考试，我们一头扎进习题堆，认为只要努力就会有回报，谁又忍心去责备这样辛苦的学生时代呢？后来，当你走向社会，发现当初拼命记住的公式和解题方法全无用武之地，难免会觉得“数学一点儿用处都没有”。

为什么对于大多数人而言，数学是没用的呢？最根本的原因是我们从认识这门学科开始，就采取了错误的学习方法。在学习初中数学时，我们先学习负数和代数式，接着是方程、函数、几何图形的全等和相似……当我们按照“计算法则”学习这些知识的时候，就会渐渐朝着错误的方向前进，换言之，我们在这样的学习过程中已经忘掉了学习数学的真正目的。很多人认为算数和数学是一回事，其实不然，算术与数学的学习方法并不相同。

只要选对学习方法，谁都能学好数学，不仅如此，数学还能让我们学会“自我思考”，帮我们找到处理日常生活中的问题的方法。懂得如何自我思考会让我们受益终生，一辈子也忘不了，这正是爱因斯坦所说的“忘却了在校学得的全部内容之后所剩下的本领”。

无论你是否擅长数学，只要你想通过学习数学掌握对今后生活有帮助的技能，我强烈建议你更正学习方法，从全新的角度重新学习初中数学。

有人可能会质疑：“初中数学能对人生起到多大的帮助？”也有些人觉得成年人再次学习初中数学是在绕远路，而且学习效率低下。我明白大家的顾虑，但任何事情都要从基本做起，打好基础才是通向成功的捷径。相较之下，你会发现在初中数学中，到处都是培养逻辑思考能力所需的基础知识，这才是重点。

我在前作《写给全人类的数学魔法书》中，提出“用正确的方法学习，任何人都能学好数学”，并针对正确学习数学的方法和“遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路”进行了阐述。托读者们的福，这本书的反响还不错，但由于书中内容是以高中一年级的知识为基础，有些人觉得“太难了”。因此，本书将从最简单的数学开始，以成年人的视角学习初中数学，并告诉大家如何走进数学世界，帮助大家从初中数学中获得逻辑思考的能力。

成年人学习数学的意义

不仅是数学，在学习任何新东西时，“画面感”都是最重要的。

简单来说，“明白”某件事是指你了解此事，并可以用自己的语言进行描述，只是知道事情的原委，并不代表真的明白。要想知道自己是否真的掌握了所学的知识，是不是真的明白了，不妨问问自己：“我能不能讲得让奶奶也能够理解呢？”我想此时你的理解一定会以画面的形式浮现在眼前。

要让一个人理解你的意思，你肯定得根据对方的理解能力选择措辞，还要尽量说得简单易懂，如果连你自己也只知道个大概，那对方也不会明白。就拿数学来说，书本上罗列的是枯燥无味的公式和几何图案，只有结合现实中的画面，我们才会发现它们的意义。如果你要通过自己的语言进行描述，必须以理解这个“意义”为基础，这样才能领悟出潜藏于公式和解题方法之中的真正涵义。是把数学作为单纯的背诵科目，让它沦为无用之物，还是让数学变成生存所需的无价智慧，关键就在于此。

那么，如何在学习数学的过程中产生画面感呢？这就需要你具有丰富的词汇积累和人生经验，而在这点上，成年人具备压倒性的优势。

毫无疑问，与成年人相比，初中生的词汇量和人生经验都明显不足，所以老师在教学中应该运用具体图片赋予数学生命力，然而这么做的老师并不多。如此一来，大多数学生只会觉得数学离现实生活越来越远，越学越摸不着头脑，数学考试也像酷刑，只会让人痛苦，这不禁让人有些痛心。

而成年人掌握了大量词汇，也在不知不觉中积累了丰富的人生经验，也就是说，成年人自然而然地培养出了数学学习中不可或缺的想象力。

成年人重学数学的优势很多，其中最大的优势就是“已经学过一次”。尽管你在当时可能学得不怎么样，但不是还能模糊地记得一些公式定理和概念吗？我认为，大多数人对这些学过的知识还是有些印象的，这就是优势所在。对初次学习数学的初中生来说，有些部分必须按照教育部规定的教学计划学习，但对于学过一次的我们来说，就能大胆地重新制定自己的学习计划了。

本书就是要帮你通过“画面感”和“重新制定计划”学到不一样的数学。

初中数学背后的7个技能

本书是我根据初中数学的知识框架，加入了内容和图片编写而成。为了让大家掌握思考问题的方法和技巧，我总结出了以下“7个技能”。

你一定没想到，初中数学中竟然隐藏着这么多逻辑思考的提示。

举个例子，初二学生学的“三角形的全等条件”可能在日常生活中完全用不到，这个知识如果只在解数学题时才会用到，那就是典型的“无用之物”。但是，如果我们以“如何判定两个三角形全等”为例，说明“如何高效收集信息”会怎么样？又或者尝试以此概念为基础，发掘出全等三角形的潜藏特性又会如何？你可能多少会觉得“有点儿用处”吧。

通过本书的重新编写，你会发现课本中原先七零八落的知识点，彼此之间的关系瞬间明朗，整个初中数学就如同一棵脉络清晰的大树。只要你抓住主干，深入理解各个单元的内容，学习速度也会显著提升。

我们时常能听到这些话：“数学是有用的。”“社会人士也需要具备与数学相关的逻辑思维能力。”然而对于不擅长数学的人来说，他们也许完全不明白数学的用处在哪里。因此，我之前提到的“7个技能”正是为这些人准备的。

这里说的“技能”并非解答数学题的窍门，它可以运用在与数学毫无关系的日常生活和工作中，是事情的处理方法、思考方法和解决方法。如果这本书让你觉得“原来数学是有用的”，那么作为本书的作者，我会感到无上喜悦。

10种思路与7个技能

我在前作《写给全人类的数学魔法书》中列出了“遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路”，这是我从高中数学约700个典型解题方法中，总结出的数学共通性基本思考方式。“擅长数学的人是如何思考并解决问题的呢？”我相信你能从这本书中找到答案，我在此只简单将这些办法罗列出来。

就算遇到以前没见过的新问题，使用这些思路也可以想出解决方案。就如同高尔夫球赛中的制胜战术，这种思考方式也是无价的。

由于“10种思路”具有实战性，需要你做好一定程度上的准备，这与高尔夫球教练在球场上说“遇到这种情况要用5号球杆”一样。相对而言，“7个技能”是熟练运用“10种思路”的必要基础，如果还以打高尔夫球为例，“7个技能”就相当于选手比赛前必须熟悉的战术和方法。掌握这“7个技能”，你便能自如地运用“10种思路”，让数学从此跟你“化敌为友”。

对于不擅长数学的人来说，计算公式和几何图形可能如同路边的无声石子般可有可无。然而，数学的语言是极其有力的，其中还可能隐藏着宇宙中的诸多真理。人类的历史几乎没有离开过数学，几乎所有国家都将数学作为义务教育课程也说明了它的重要性。只要拥有“7个技能”和“10种思路”，你就可以通过数学语言，掌握无穷尽的信息。

为什么你学数学的方法不对

算数是结果，数学是过程

很多人认为数学就是算数，而在我看来，这个想法也许正是让他们弄错数学学习方法的罪魁祸首。

再重申一次，数学和算数看似相同，实则不然。算数的目的是得出正确的结果，而数学更注重得到结果的推理过程，换句话说，算数追求的是计算的正确性，而数学追求的是逻辑的正确性。

比如，在计算23×15时，如果心算算不出来，我们就会列出下面的算式进行笔算：

在做算数题的时候，为什么用这个方法可以得到正确答案呢？我想大部分人都不会去思考这个问题，也同样没人考虑过为什么小学生能通过笔算得出正确答案。我们之所以会忽略这些问题，就是因为我们只注重结果，认为只要答案正确就达到了解题的目的。学珠算的孩子会借助口诀进行计算，有些知识面较广的孩子还可能会用印度式计算法进行计算，但不管用什么方法，只要23×15的答案是“345”，就能得分。

计算是数学的一部分，我们都知道用某个计算方法能得出正确结果，但思考不能就此停止，我们还要明白其中的来龙去脉。

为了找出上述问题的答案，首先我们要了解什么叫十进制。如果没有特殊标注，“23”指代的就是“2个10和3个1”。你可能会觉得：这不是明摆着的吗？有什么好解释的。但是，数学中并不是只有十进制，比如，古苏美尔和古巴比伦时期使用的就是六十进制；即便是现代，尼日利亚和尼泊尔等地也在使用十二进制。在我们的日常生活中，也有许多非十进制的单位，比如尺寸（1英尺=12英寸）；时、分、秒（六十进制）等。

综上所述，在十进制中，23×15的意思是：用23（=10×2+1×3=20+3）与15（=10×1+1×5=10+5）相乘，可先将23×15分解为（20+3）×（10+5），再用我们在后面会学到的乘法分配律进行计算，

3×5=15

20×5=100

3×10=30

20×10=200

经过简化，就变成了下面的列式。如此一来，大家就明白为什么通过笔算能得出正确的答案了吧。

简单计算两个数相乘，就蕴含着如此复杂的逻辑推理过程。在数学中，为了让别人了解得到正确答案的解题过程，我们就需要有逻辑地证明出来。

再举个例子，比如著名的龟鹤算（译者注：源于中国《孙子算经》中的鸡兔同笼问题，后来传入日本，演变成了“龟鹤算”）。

这道题的标准解题方法如下。

首先，假设8只全是鹤：8×2=16，那么脚的数量就是16只。

可是，这比题目中的20只脚少了4只。如果1只鹤换成1只乌龟，脚的数量就增加了2只。通过替换来弥补4只脚的差距；4÷2=2，那么只要将2只鹤换成2只乌龟即可。

因此：

8-2=6

0+2=2

答案为鹤有6只，乌龟有2只。

下面的面积图解法也是龟鹤算常用的解题方法之一。

怎么样？学会了吗？不过你现在要考虑的问题并不是是否学会了龟鹤算，而是思考“为什么这样解题”。

当然，无论是在学校还是补习班，都有在课上积极讲解解题思路的老师，这样的老师在解题时可能会先假设一个极端的例子（假设全部是鹤），然后再根据实际的题目加以增补或减免等。

但是不夸张地说，大部分老师只会用算数的方法来教“数学”。如果把数学当成算数，或是为了应付中考只告诉学生解题方法，那么学生们只要掌握了标准的解题方法，在其基础上稍加活用就能得出问题的标准答案。

顺便说一句，我当初读的是小初高一体化的学校，并没有学过龟鹤算，因为这种需要使用特殊算法解开的问题，都能通过初中数学中的方程来解答（具体内容我会在第3章“合理解题”中进行讲解）。

那么，我们为什么要学习这类特殊的算法呢？我认为，也许只有这种需要用特殊算法解决的问题，才能在初中入学考试中体现出学生的能力差距吧（我不是考试研究专家，纯属个人推测）。另外，在初中入学考试中，好学校不仅会出需要用标准解题方法解答的问题，还会出一些能够测试学生“思考能力”的问题。

为什么乘法运算存在运算顺序问题

你知道乘法运算存在运算顺序吗？1972年的《朝日新闻》中首次提出了这个问题，虽然已经过去了这么久，但至今尚未完全解决。2011年年末，网络媒体博主白川克先生发表了一篇帖子，在网上引起了不小的争论。帖子的标题是：《6×8是正确的，8×6却是错误的？算数中的加拉帕戈斯化》（译者注：加拉帕戈斯化是日本的商业用语，指在孤立的环境[日本市场]下，独自进行“最适化”而丧失和区域外的互换性，面对来自外部[外国]适应性[泛用性]和生存能力[低价格]高的品种[制品或技术]，最终陷入被淘汰的危险，以进化论的加拉帕戈斯群岛生态系作为警语）。其登在1972年《朝日新闻》上的问题大致如下：

成年人都觉得这样的判定太不合理，我也有同感，因为乘法运算中有交换律：

a×b=b×a

如果“4×6”是正确的，“6×4”却是错误的，那么这的确让人匪夷所思。

为什么小学老师会纠结于乘法运算的顺序呢？那是因为老师希望学生们按照下面的方式进行思考：

“单位数量”ד人数”

也就是所谓的“水道方式”。在上面的例子中，“单位数量”=4（个/人），“人数”=6（人）。

“水道方式”是指上世纪50年代后期，由东京工业大学教授远山启先生（已故）提倡的“算术数学”教育法。提出乘法运算顺序是因为只要习惯这个运算顺序，将来孩子们在面对“×0”“×小数”“×分数”等复杂情况时，更容易理解算式的意义，同时也能更清楚地意识到单位体系。

水道方式的利弊我在此就不讨论了，问题是，连成年人都认为不合理的评分方式，至今还残留在小学的评分体系中。话说回来，算数注重的是记住方法并正确地加以应用，从这一观点出发，课堂上教的公式是：

“每个人的量”ד人数”

那么，没有遵照这个公式计算的孩子就不能得分，也没人会去讨论“为什么那样算就能得出答案”。但是数学则不然，数学可以不论条理和顺序，只要逻辑正确便能得分。

比如，像发牌一样，分给6个孩子每人1个橘子，4轮后每人各有4个橘子，即：

“单位数量”=“6个/轮”

“人数”=“4轮”

如此一来，这道题即使和水道方式用同样的算式“6×4”也可以得出答案，但显然乘法运算的顺序变得更复杂了。

当然，我个人非常希望学生在进行计算时能思考“为什么那样算能得出答案”，让他们领悟到逻辑思维的重要性，但遗憾的是，目前的教育现状不允许。

尽管如此，接受了这种算数教育的孩子们还是能升入初中，继续学习数学，但他们难免会误以为数学就是要牢记公式，拘泥“套路”。

算数为生活服务，数学为解决问题服务

“乘法运算的顺序问题”是个极端的例子，笔算和龟鹤算也一样，只要按照算数的方式，快速而正确地得出答案的孩子就能得到优异的成绩。

算数是生活的必需能力，特殊算法即便能在考试时考察学生的学习能力，但只要在这个社会上生存，就必须要掌握笔算、分数、比率、比、面积、浓度以及平均等相关的知识和概念。

“今天打七折哟！”“返还20%的积分！”“这块土地每坪（译者注：日本的面积单位，约3.3㎡）80万日元。”“今天的日经平均收盘价是12435日元。”能否理解（更准确地说是瞬间理解）这些话的意思，会直接影响一个人的生活。

综上所述，学习算数的关键是：

不可否认，这种方法确实快捷有效。

然而，数学就不同了。我这么说可能不太恰当，但我认为学习数学不是为了生活，而是为了锻炼逻辑思维能力，从而解决各种未知的问题。相比而言，算数锻炼的则是我们“解决模式化问题的能力”，我认为这就是二者之间的差别所在。由于学习目的完全不同，因此学习算数和数学的方法也应该不同。

孩子们在小学期间一直认为数学就是算数，已经养成了习惯，当他们翻开初中数学课本，一看到例题的解法就会按照算数的模式解答，自然而然地认为“这种题目就应该这么解”，甚至开始死记硬背那些解题模式。虽然相同的解法能解开很多相似的题目，但是遇到未知的问题你就不知该如何是好了。如果你能根据一道题目的解法，延伸出适用于各种问题的解决方法，这才是学习数学的意义。

美国麻省理工学院媒体实验室的所长伊藤穰一先生，在一次采访中说了这么一段话：

“世界变化的速度如此之快，地图已经毫无用处。我们需要的是指南针，更需要耿直谦虚、敢于怀疑权威的态度。”

在现代社会，工作模式化的人往往不会得到太高的评价，因为许多这样的工作可以借助电脑自动处理，即使需要人力，这些无需动脑和变通的工作者也只能作为廉价劳动力。

另一方面，现实社会中的新问题总是接踵而来，我们需要的是解决这些新问题的能力，也就是伊藤先生所说的“指南针”。这种能力在飞速变化的现代社会中变得愈发重要，而学习数学，就是为了发展这种解决各种新问题的能力。

那么，如何学习数学才能培养我们的逻辑思维，从而拥有解决未知问题的能力呢？

其实我在前作《写给全人类的数学魔法书》中已经解答了这个问题。我在书中整理了多年来的学习经验，为大家介绍了与算数完全不同的数学学习窍门，欢迎有兴趣的朋友阅读，在下一节中，我也会对前作中的数学学习法做一个简单的介绍（篇幅有限，以摘要形式介绍）。

数学学习方法摘要

切勿死记硬背

如果用一句话概括数学学习的窍门，那就是切勿死记硬背。一旦死记硬背，你就不会去思考为什么，而且即便能靠死记硬背定理、公式、解题方法等得到好成绩，也无法培养逻辑思维能力。我认为在学习数学的过程中，遇到问题一味生搬硬套是最烂的一种方法，因为死记硬背会让学生们养成逃避的毛病，认为就算不懂也没关系，只要记住就行。在培养逻辑思维能力的过程中，这个毛病会是一个非常大的障碍。因此，通过死记硬背学习数学是百害而无一利的。

当然，我这么说并不意味着学数学可以什么都不用记，理解新学的知识和已学的知识，主动“思考”不去死记硬背的方法才是学习数学的基础。面对新知识，如果你不想死记硬背，就要抓住其中的“玄机”，理解这个知识点的深层意义。如果能做到这一点，那么对你而言，数学就不只是知识，而是能让你受用一生的智慧。

多问“为什么”

既然学习数学的目的是解决各种未知的问题，那么你只用常规方法解决常规问题就不会有所进步。我们应该做的是从常规性问题的解题方法中，总结出适用于任何问题的解决技巧和捷径，而这些重要的技巧和捷径很难通过定理、公式和解题方法加以表现，这也正是学习数学的难点所在。

我曾多次受邀编撰习题集答案，在接受委托时，出版社常常会提出各种要求，比如“篇幅控制在XX页”，更严格的时候甚至要求控制“在XX行”。当然，出版社的要求也可以理解，为了在有限的篇幅内撰写内容，我有时只能把答案的精髓总结出来，可结果却不尽人意：在不知情的人看来，不完整的答案会让他们如丈二和尚般摸不着头脑；本身就不擅长数学的人会因此气馁，认为“这种问题谁能想得出来啊”；也有人会陷入死记硬背的漩涡，认为“这道题就应该这么解”，而不去理会为什么……如此一来，这些“参考答案”反而成了导致数学学习方法错误的罪魁祸首。

实际上，很多教材、教辅中的答案，字里行间都隐藏着严密的思考过程，所以在阅读答案时，你应该像读诗那样品读“字里行间”的意思，想象答题者是如何思考的，这一点很重要。

数学本身是有魔力的，它能让人不自觉地去思考并提出疑问：

“为什么？”

“为什么算式要这样变形？”

“为什么要在这里画辅助线？”

面对不断涌现的问题，你无需感到不安，对那些书中给出的法则提出疑问，就说明你找到了学习数学的关键，换言之，这些问题能让我们发现隐藏在解题过程中的数学式思维方法。如果你以前看到答案觉得不知其所云，认为靠自己永远也解不出来，那么你现在只要勇于提出一系列“为什么”，相信总有一天你会觉得“原来如此”了。

重新定义

假设有人突然要拜托你买猪肉、洋葱、胡萝卜、马铃薯、月桂、苹果还有蜂蜜，可你既没带便条，也没带手机，该如何记住这些东西呢？有点儿不自信？我倒是有自信至少忘掉一两个（笑）。

但是，如果你知道这些东西都是做咖喱的材料，又会如何呢？

做过咖喱的人，通常都知道做咖喱需要哪些材料（超市里的咖喱酱包装背面也有），基本上可以一项不漏地买回来。乍看之下毫不相关的食材，如果打上“咖喱材料”的标签，彼此之间就建立了联系，相信你一下子就能记住了。

学习也一样，自己觉得有意义的东西不容易忘记，反之，那些你完全不明白的事物，不管做多少次，转头就会忘掉。在学习新东西时，一定要先思考一下它的“意义”。就拿学习数学来说，你可以给每个定理、公式、解题方法都赋予新的定义，尽可能思考能否将新的知识点与其他已学的定理、解题方法联系起来。这样做不仅能帮助记忆，还能让你抓住知识点的本质。

证明定理和公式

定理和公式在解题时用起来非常方便，但你要知道，结果并不是最重要的。正如我之前反复强调的，数学最重要的是过程，记住定理和公式虽然可以为你带来便利，但知道这些定理和公式从何而来才是最重要的。

初、高中学习的定理和公式，凝聚了5000多年数学史中的精髓，它们可以说是各个时代数学天才们的智慧结晶，而这些智慧的本质，则潜藏在证明的过程中。

数学能力是一种逻辑思维能力，而逻辑思维能力也就是思考问题的能力。罗马不是一天建成的，数学问题也绝不是灵光一闪便能解决的。在解决未知的问题时，如果你只是原地等待灵感突现，就一定会落空，只有一步一个脚印步步推进，才可能得到答案。

话虽如此，但我们仅凭自己的知识可能无法一下子找出答案，这时就需要借助过去数学天才们遗留下来的定理、公式、逻辑思维方法等慢慢积累。对我们而言，这些留下智慧结晶的天才无疑是最好的老师，那他们又是怎样思考得出这些定理和公式的呢？

当你通过认真研究这些已得出结论的定理和公式，独立完成证明，就会感觉自己变聪明了。相信我，这不是错觉，因为你确实已经掌握了一流的数学能力！

“闻→思→教”三步走

孔子在《论语》中说：“默而识之，学而不厌，诲人不倦。”

这里所说的“闻→思→教”，是学习的基本态度。在学习新知识时，重点是抛弃成见，多听他人教诲（或自己读书）。面对新的知识，无论是认为“小菜一碟”，还是觉得“谈何容易”，都会妨碍到你的学习，所以我们首先要以开放的态度去吸收新知识。

其次，正如前面所说的，面对新知识应该多问“为什么”，然后认真思考自己提出的问题。许多人到这步就会停止，认为经过仔细思考，疑问已经基本解开，觉得自己都明白了，于是满足现状。

然而，我接下来要讲的内容才是最重要的。这一步要求你转换角色，当一回老师，将自己刚刚“明白”的知识传授给不懂的人，如此一来，你理解得不充分的部分就会突显出来。俗话说的好，教会他人是最好的学习方法。

关于上述数学学习法的详细内容和具体例子，请阅读前作《写给全人类的数学魔法书》。

等一下，我又要说“但是”了！但是，以我的经验来看，只是把数学当作数学来教，除非对方非常喜欢数学，否则根本没人愿意听，更糟的是，也许只要一提到算式，对方就会皱起眉头……虽然你想尽可能讲得有趣，但如果发现自己并未充分理解问题，无法调动对方的兴趣，一定会觉得非常遗憾。

在教导他人时，本书中的“7个技能”就会显得非常实用。教会他人是最好的学习方法，要想激发学习者的好奇心，只是传授公式、定理和解题方法是远远不够的，一定要活用身边的事物，借助这些东西巩固知识。

我在这一节说得有点多，序章就到此为止吧。终于要重新打开初中数学的大门了，作为成年人，如今你已经不用再应付考试了（也许吧），也不用再考虑“出题范围”的问题，更无需反复做那些毫无意义的题目。那么，就请你站在全新的高度，调动自己的兴趣读完这本书吧，相信你一定会时不时发出这样的感慨：

“啊！原来如此！”

那么，接下来就让我们倾听数学的故事，学习数学中蕴藏的智慧吧！ E7dWKKtZu11zJL0lIy9VW7edLEINqx/AQOJFSL+37S4iyJAVJ7uY9kd9/hgkzhDl