负数（初中1年级）

在数字中思考“方向”

在日常生活中，描述温度时经常会用到“负数”。我们会在天气预报中听到“明天的最低气温为-3℃”，温度计的刻度上，也有带“-”号的负数。

想象一下，如果将温度计横放，你就会看到下图这种带刻度的直线，我们称其为数轴。

数轴上表示0的位置被称为原点。从0出发，正方向上的数为正数，反方向上的数为负数，即，负数是正数相反方向上的数。

为了描述“负债”的数量，负数在7世纪的印度诞生了。据说在当时的印度，正数代表“资产”，负数代表的是“负债、损失”。

比如，100万日元的负债，也可以用“有-100万日元的资产”表示。这是因为，资产和负债是完全相反的意思。除此之外，负数还可以用在很多地方。

比我矮10cm→比我高-10cm

向东前进2km→向西前进-2km

体重增加了10kg→体重减少了-10kg

有些情况用负数来描述确实有些别扭，但如果你能掌握负数的表现形式，就能从相反的方向看待问题。我们可以将其作为一项基础训练，锻炼我们从多个角度看待事物的能力。

“0”由“空”变为“平衡”

负数的出现，使我们能够通过一个概念看到事情的另一面。比如说，你在生意上某个月有300万日元的资产和100万日元的损失，如果不使用负数，那就必须考虑资产和损失这两个概念，这样计算每个月的收益或亏损时，就会变得繁琐而复杂。但是，如果你将100万日元的损失理解为“-100万日元的资产”，就能够在盈利为正方向、收支平衡点为原点的数轴上，讨论销售额和盈亏状况。

综上所述，在思考问题的时候，将意义完全相反的两个概念合二为一，是使用负数的最大优势。而在这个前提之下，“0”就不是“空”的意思，而是用来描述“正数”与“负数”同时存在且势均力敌的状态，即“0”表示“平衡”。物理学中力的平衡以及化学中正负离子的反应等，就是遵循的这个思路。

举个例子，绕着地球转的人造卫星相对于地球来说是静止的，这并不是因为人造卫星没有受到力的作用，而是人造卫星受到的万有引力和离心力达到了平衡状态。

另外，在20世纪中后期，东西方之间虽然也有持续的矛盾，却没有爆发大规模的正面武装冲突，这是因为双方阵营势均力敌、彼此牵制，将局面控制在了一种相对稳定的状态。

由于有负数的存在，我们可以将“0”理解为“中间数”。现在你应该能理解，很多事物虽然看起来风平浪静，实际上是有两个完全相反的力在相互作用。通过理解这个概念，我们不仅能培养出看穿事物本质的能力，同时还能预防“0”的平衡状态被打破从而引起的危机。

绝对值

负数让我们认识了数的方向性，但有时我们也需要忽略这种方向性，转而关注“量”。此时，“绝对值”闪亮登场，它表示数轴上的对应点到原点的距离。

绝对值表示“距离”，所以一定是正值。

比如，从原点到“3”的距离是3，即

|3|=3

原点到“-3”的距离也是3，即

|-3|=3

如果用高中所学的向量来表示，“3”可以表示为朝着正方向、长度为3的线段：

而“-3”是朝着负方向、长度为3的线段：

由于绝对值关注的不是线段的方向，而是用以描述长度的“量”（称作标量），所以绝对值永远是正值。

因此，简单来说，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它本身去掉“-”号。

例如：

|-10|=10←“-10”是负数，其绝对值要去掉“-”号

|5|=5←“5”是正数，其绝对值还是它本身

负数的加法运算

接下来，我们来一起看看负数的计算吧。为了方便理解，请大家把正数想象成资产，负数想象成负债。

首先，

5-3=2

我们可以把这个计算过程想象成：“5万日元的资产扣掉3万日元的资产，剩下2万日元的资产”。“减3”相当于“加-3”，所以减法运算也可以理解为负数的加法运算。

5-3=5+（-3）=2

算式变形后，我们可以将其想象为：“结算5万日元的资产和3万日元的负债后，剩下2万日元的资产”。

顺便说一句，

-5-3

可想象成“在5万日元的负债之上，又添加了3万日元的负债，共计8万日元的负债”，计算过程如下：

小数减大数

接下来，我们要针对小学没学过的“小数减大数”展开想象。例如：

3-5

首先，和前面提到的一样，我们可以把这样的计算想象成“减法运算=负数的加法运算”，因此算式可以这样变形：

3-5=3+（-5）

用文字来描述就是“3万日元的资产和5万日元的负债”。

这么一来，你就相当于共有2万日元的负债，而“2万日元的负债”相当于“-2万日元的资产”，所以计算结果如下：

3-5=3+（-5）=-2

如果资产比负债多，结算后剩余的是资产；反之，如果负债比资产多，结算后会剩余的就是负债。用文字进行描述就是：

正数和负数的加法运算乍看之下有些麻烦，但熟练以后你就可以直接跳过这些思考过程，运用自如。因此，在计算时，我们可以先确定答案是正数还是负数，也就是答案的符号是“+”号还是“-”号。接下来，我们只要算出资产和负债之间的差（准确地说，应该是两个数的绝对值之差）就可以了。为了帮助大家熟练掌握，我还是举几个例子吧。

负债多的例子

资产多的例子

负数的减法运算

如果一个人目前拥有3万日元的资产，债主将其5万日元的负债一笔勾销，那他现在总共有多少资产？没错，8万日元。用算式来表示，可以把“5万日元的负债一笔勾销”用“-（-5）”表示，也就是；

3-（-5）=8

这是因为，“5万日元的负债一笔勾销”=“增加了5万日元的资产”

3-（-5）=3+（+5）=8

这绝对是一件好事。也就是：

-（-5）=+（+5）

综上所述，一个数减去负数相当于加上正数。

记住这个口诀，下面的计算就变得容易多了：

-8-（-10）=-8+（+10）负数的减法运算→正数的加法运算

因此，

3个以上正负数的加法运算

接下来让我们试着进行一些复杂的计算吧。

-3+5-7+9

如果我们把这样的计算也想象成资产和负债，就是：起初欠了3万日元，然后增加了5万日元的资产，后来又欠了7万日元，最后增加了9万日元的资产……听起来是不是很复杂？遇到这种情况，我们可以用一个小窍门，也就是分别归纳增加的资产和负债。

资产是5万日元加9万日元，共14万日元。

负债是3万日元加7万日元，共10万日元。

分别归纳正数和负数后再进行计算，计算过程如下：

为什么（-1）×（-1）=+1

接下来我要介绍的是负数的乘法运算。

（-1）×（-1）=+1

这个等式恐怕没人不知道，但能准确将它解释清楚的人并不多。在此你要特别注意，那就是负数是正数相反方向上的数，这一点一定要理解透彻。让我们一起看看下面的例子。

假设你每月要支付1万日元的电费，每月月底付完电费后，你的存款为-1万日元（为方便起见，假设你每个月没有收入）。在支付了3个月的电费后，你的存款共少了3万日元，用算式来表示就是：

即

（-1万日元）×3个月=-3万日元

（-1）×3=-3（负数×正数=负数）

那你在未支付电费前1个月的存款是多少呢？在这里，我们将1个月前想成“-1个月后”，“-1个月后”的存款按照上述过程计算的话，可用算式表示为：

（-1万日元）×（-1个月）

因为1个月前你支付的电费比现在少了1万日元，所以存款金额应该比现在多1万日元。综上所述，答案为+1万日元。

换言之，

（-1万日元）×（-1个月）=+1万日元

即，

（-1）×（-1）=+1

当然，计算你在未支付电费前3个月前（-3个月后）的存款也是一样的道理，

（-1万日元）×（-3个月）=+3万日元

由此可知，你3个月前的存款就是多出的这3个月的电费（+3万日元）。

再强调一次，上述内容关注的是数的方向性。在时间方面，我们把时间前进的方向设为正方向，那么x个月前就是“-x个月后”；而在存款金额方面，我们把存款增加的方向设为正方向，那么减少x万元就是“-x万元”。一旦你理解了数的方向性，就能明白下面的等式为什么成立。

（-1）×（-1）=+1

负数的乘除法运算

（-1）×正数=负数

（-1）×（-1）=+1

如果你理解了上述等式，后面的知识也就不难理解了。例如，

（-3）×（-5）

可进行如下计算：

同样，

（-2）×（-3）×（-4）

也可以通过相同方式进行计算：

但是，这么思考这道题实在费事了，因此我们只需要记住，2个负数相乘得正数就行了。

只要在计算前先确定这一点，我们就可以先忽略正负号，直接进行计算了。

根据这个规律，下面的计算

（-3）×（-5）和（-2）×（-3）×（-4）

可以理解为

运算过程是不是简便了很多？关于负数的计算我们就说到这。

或许你会觉得奇怪：怎么不介绍除法运算？其实，只要把除以一个数当成乘以其倒数进行运算就行了。

即，

16÷（-2）

解答方法如下： 1TByDWRGJKGO/qKtSfnE1w4/9U4CDbD/3VAkpYLLAISvU6QXwSeDmA2iSKo8jYjH