4 20世纪数学论文最多的数学家
——纪念保罗·厄多斯

一个数学家必须是在每个星期都有一些新的研究工作才成为数学家。

——厄多斯

人类的任何活动，不管是好或坏，最后会终止，但数学是例外。

——厄多斯

数学是永恒的，因为它有无穷多的问题。

——厄多斯

上帝拥有一本包含非常漂亮证明的定理的书。

——厄多斯

财产是令人讨厌的事物。

——厄多斯

如果你想找一个问题，一百多年来还没法子解决，那你多数可以找到的是数论问题。

——厄多斯

如果你的结果是新的和正确的，就发表它。

——厄多斯

有三种迹象显示衰老。第一个迹象是，一个人会忘记他的定理。第二个标志是，他忘了把裤子拉链拉上。第三个标志是，他忘了把裤子拉链拉下来。

——厄多斯

在天上和地上没有正义，可是在数学上就有，因此尽量做好你的数学。

——厄多斯给南斯拉夫青年数学家伊维克（Aleksandar Ivic）的劝告

有位法国社会主义者说私有财产是窃取之物，而我认为私有财产就是累赘。

——厄多斯

保罗·厄多斯（Paul Erdös）是20世纪写数学论文最多的数学家（其实大概也是中文译名最多的数学家，有厄尔多斯、艾狄胥、安道什、爱尔特希、埃尔德什、爱多士、爱尔迪希等）。他于1913年3月26日在匈牙利的布达佩斯出生，于1996年9月20日心脏衰竭在波兰的华沙去世，享年83岁。2013年3月26日是他诞生100周年纪念，许多数学家怀念他。关于他的许多说法，其中之一是：“如果你不认识保罗·厄多斯，你就不是真正的数学家。”

他出色地证明看似无法解决的优雅的数学问题。他创立了离散数学领域，这是计算机科学的基础，而且是一个最多产的数学家。他撰写了1 525篇文章，有511个合作者。他写的论文涵盖实分析、几何、拓扑学、概率论、复分析、逼近理论、群论、图论、数论与集合论、数理逻辑、格与序代数结构、线性代数、拓扑群、多项式、测度论、单复变函数、差分方程与函数方程、数列、傅里叶分析、泛函分析、一般拓扑和代数拓扑、统计、数值分析、计算机科学、信息论等。《数学评论》（ Mathematical Reviews ）曾把数学划分为大约60个分支，厄多斯的论文涉及了其中的40%。

“组合数学”是极艰涩难懂的数学。目前，组合数学或许是数学中发展最快的分支，其中有一些部分要归功于厄多斯的先驱领导。

数学神童

厄多斯出身于一个犹太家庭，他的父母是犹太教师。他出生几天后两个姐姐——一个3岁，另外一个5岁——却因“猩红热”而失去生命，因此他是家中的独子，母亲安娜（Anna）把他当宝贝来哺养，据说他去世的两个姐姐比他还要聪明。

在他一岁半的时候，第一次世界大战爆发，数学家、物理学家的父亲拉约什·厄多斯（Lajos Erdös）被征当兵，不幸被俄国俘虏，送到西伯利亚的集中营囚禁6年。在这段时间，厄多斯和母亲及一个德国奶妈相依为命，因此他与母亲的感情比一般人与母亲的感情还要深厚。在蹒跚学步时，他就研究日历，计算母亲还有多久才能放假回家。母亲在学校教书，他由一名家庭女教师抚养。

厄多斯3岁时就能心算两个三位数的乘积。4岁时就自己发现了负数。在1979年他回忆童年的生活时这样说：“我在很小的时候就懂得计算。在4岁时我告诉母亲，如果你将250从100去掉，你会得到0底下的150。”在这之前，还没有人告诉过他负数的观念。他很高兴地说：“这完全是我自己发现的。”

1920年厄多斯的父亲从俄国释放回来时，厄多斯已经是入学的适龄儿童了，但父亲没有把厄多斯送进学校读书而是留在家里，教他3年。保罗的父亲在西伯利亚长时间囚禁中学了英语，但由于没有英语老师教，不知道如何发音。他教厄多斯学英语，奇怪的英语口音传给了厄多斯，造成他以后讲英语有些怪怪的口音特点。

后来厄多斯进入中学，当年匈牙利有一种为中学生编写的数学杂志，里面时常有许多求解问题，解答者的名字在下一期会发表，而且他们的答案还会被公布。

厄多斯常常投稿，把解答寄去杂志社，因此他的名字在中学生中广为流传，人人都知道他很会解题，称他为神童。

安德鲁·瓦松尼（Andrew Vázsonyi，1916—2003）是匈牙利数学家，后来移民美国从事飞机和导弹设计。1930年，厄多斯第一次见到14岁的瓦松尼时才17岁，前者对后者说的第一句话是：“给我举出一个4位数。”

瓦松尼答道：“2 532。”

“它的平方是6 411 024。对不起，我老了，否则我会立即告诉你它的立方。”有点倚老卖老的口气。

厄多斯又问道：“你知道毕达哥拉斯定理的多少种证法？”

“1种。”瓦松尼说。

“我知道37种。你知道位于一条直线上的点不能构成可数集合吗？”继而厄多斯给出了一种证明方法，然后他说他必须跑了。

67年后，瓦松尼仍然清晰地记得当时的情形：“当厄多斯说他必须‘跑’时，他像只大猴子一样驼着背，侧着身子，摇摆着双臂，沿着街一溜儿小跑，引得行人时时回头观望……当他年纪稍大之后，他的步态不太像猴了，但仍有些奇怪。他老是走得很快，甚至发展到会向一面墙直冲过去，然后突然止步，猛然掉头，再往回跑。有一次他没能止住脚步，一下子撞到墙上，弄伤了自己。”

瓦松尼说：“从我们第一次见面，厄多斯一直不断启发我从事数学。当后来我考虑离开数学，转到技术大学成为一名工程师，厄多斯威胁说：‘如果你进入技术大学的门我会失望，我会打死你。’这解决了这个问题，我留下重新搞数学。”

尽管受到各种反犹太法律的限制，厄多斯还是得以在17岁那年进入布达佩斯的巴兹曼尼·彼得大学（University of Pazmany Peter）学习。他经常与朋友们在公园或广场里讨论数学问题和时事。

他在18岁读大学二年级时证明了著名的定理：对于任何整数n＞1，我们能在n与2n之间找到一个素数。

取n=2，我们看2和4之间3是素数。取n=5，在5与10之间有7是素数，取n=10在10与20之间有11，13，17，19这些素数。

这定理是俄国数学家切比雪夫（P.L. Chebyshev）所证明，本来这是一个猜想叫伯特朗猜想（Bertrand's Postulate），切比雪夫用深奥的数学工具证明，而厄多斯却用了简易的方法去证明，这使他在大二时获得博士学位。

他证明这个定理的消息很快传到德国，著名的德国犹太籍数学家朗道（Edmond Landau）在讲课时特别解释了厄多斯的证明。

有人特别编造了这样的故事：暴风雨来了，外面电闪雷鸣。小厄多斯非常恐惧，就像所有的母亲那样，妈妈安娜一面抚摸他的头，一面安慰他：“亲爱的，不要怕，我们能在n与2n之间找到一个素数。”于是厄多斯甜蜜地睡去。

1934年是他最值得纪念的一年，他不但大学毕业而且获得了博士学位！英国颁发给他奖学金，使他可以到曼彻斯特大学去和数论专家莫德尔（L. Mordell）教授一起研究。到了曼彻斯特，他转而研究极艰涩难懂的组合数学。

善于发现及解题

基本上厄多斯是一个问题解决者，而不是一个理论的建设者。这里介绍他21岁时与莫德尔发现的几何定理“厄多斯-莫德尔不等式”。

定理内容：设P为三角形△ABC内部或边上一点，P到BC、AC、AB的距离为PD、PE、PF，则PA+PB+PC≥2（PD+PE+PF）。

给定n个正数a 1 ，a 2 ，…，a n ，它们的算术平均数（arithmetic mean，简称A.M.）是指它们之和除以n，而它们的几何平均数（geometric mean，简称G.M.）则指它们之积的n次方根。

对于这两个平均数，我们有以下不等式： （即A.M.≥G.M.）。这是高中数学的重要不等式。

这里介绍厄多斯巧妙的证明，他观察到对于任何x≥-1，都有

e x ≥1+x

厄多斯令A n 是a 1 ，a 2 ，…，a n 的算术平均数，G n 是a 1 ，a 2 ，…，a n 的几何平均数，以 一一代入以上不等式，然后把n个不等式乘起来，可以得到

从这里得出

数学流浪汉

可以说，厄多斯是数学界的奇人，他拥有匈牙利科学院院士的头衔，但大部分的时间不在匈牙利度过。他没有家，但是“处处无家处处家”。在1973年麻省理工学院为了纪念他60岁生日出版了他的选集《计算的艺术》（ The Art of Counting ），读者可以看到他的各种各样的数学工作，英国著名数学家拉多（Rado）在序中说他是“流浪学者”（wandering scholar）。他时常横跨五大洲。他效忠的是“科学之后”而不是任何特别地方或研究所。他到处和人合作与研究，每到一地，人们不是安置他住在旅馆，就是安排他住在自己家，处处照顾他，他是名副其实的“vagabond”（法语：流浪汉）。

他在旅行的时候只带两个旧皮箱，一个皮箱装一些袜子、衣服和他的兴奋药，另外一个皮箱装他的一些纸张、文稿。他不在乎收入——实际上他一生没有固定在任何大学执教过，因此没有固定的月薪，他只靠人们给他的演讲酬金作为一点生活费用，他不愁吃、不愁穿，连报税、买飞机票的安排都由别人替他做。

厄多斯年轻的时候，朋友们劝他尽快找一份终身职位，他的同胞保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos）劝他：“你应该找一份实际的正经工作。”他们说：“保罗，你那走江湖数学家的生涯还要维持多久？”他竟回答：“起码40年。”他甚至拒绝了一些大学的终身职位的邀请。

他一心一意就是做数学研究。恩斯特·斯特劳斯（Ernst Strauss）是爱因斯坦的合作者，称赞厄多斯为“本世纪的欧拉”，风格迥异的数学家。斯特劳斯说：“爱因斯坦曾对我说过……对于一个科学家而言，首要任务是解决核心问题，而不为其他问题所动——无论那些问题多难，多么具有诱惑力。厄多斯完全违背了爱因斯坦的这一番话，但他却取得了成功。他几乎痴迷于他所遇到的每一个难题，并成功解决了其中的大部分。”

他的人生目标是“做数学，证明和猜想”。他常说：“我希望在我演讲时，在黑板上完成一个重要的证明之后，有人喊道：‘一般情况怎样？’我会面对听众，微笑着说‘我把它留给下一代’，然后就撒手而去。”

生活“无能”的人

厄多斯的妈妈非常溺爱他，从小就连鞋带也是妈妈替他系，一直到11岁他才第一次自己系鞋带，早餐是妈妈及佣人替他做，连面包上的黄油也是人家替他涂。

他21岁到英国留学，最初住在莫德尔教授的家，莫德尔太太早上替他准备早餐，却发现他不会在面包上涂黄油，要替他在面包上涂黄油，真是受不了。

保罗舅舅后来回忆道：“我到英国去做研究，那是喝茶休息的时候，面前有面包，可是我从来没有涂过黄油，我感到很不好意思，我不知道要如何涂面包。后来我自己试试，这不是太难的一回事。”

他也不会烧开水，连煮鸡蛋这轻而易举的事也不会做，他不会用罐头刀开罐头，有时想吃葡萄柚，也不知道怎样用刀把皮剥掉，需要人代劳。他也不会用洗衣机。

因此你认为正常人所知道的知识，他的确是不知道，他可以说是属于“无能”的人，然而他在数学上所拥有的知识却是无人可以匹敌。

一位数学家说：“厄多斯有一种孩子般的天性，要使他的现实取代你的现实。他不是一个容易对付的客人，但我们都希望他在身边——就为他的头脑。我们都把问题攒下来留给他。”

他的某些工作方式是他身边的朋友和同事们难以接受的——比如说他会在凌晨5点钟的时候打电话给他的同事，仅仅是因为他“想起了意欲与这位数学家分享的某个数学结果”；或者是在凌晨1点刚刚结束工作休息，4点半便又跑到厨房去把锅碗瓢盆弄得一阵响，以提醒同伴该起床了。他每天早上6点半起来就开始工作。有一次他住在一个美国教授的家里，他像往常一样6点半起床，然后他走进主人的睡房，说：“喂！我们可以开始工作了。”

厄多斯有两个著名同乡在斯坦福大学数学系教书：波利亚（G. Polya）和舍贵（G. Szego，1895—1985）。有一次，厄多斯到斯坦福大学住在舍贵教授家三个星期还不走。舍贵夫人找瓦松尼埋怨：“保罗三个星期前来我家，他仍不走。我快要发疯了。”

“没问题，”瓦松尼说，“让他滚蛋。”

舍贵夫人眼含泪水说：“不能做到这一点。我们爱他，不能侮辱他。”

瓦松尼说：“不要紧，这么做，他不会被侮辱。”

一个小时后，厄多斯来找瓦松尼，要求载他到一家汽车旅馆，在那里他会留下来。瓦松尼装聋作哑，问他发生什么事了。

“哦，舍贵夫人要我搬出去，因为我住得够长了。”他满不在乎地说，完全不受干扰。

厄多斯描述他的每天生活：“Another roof，another proof.”（另一个屋顶，另一个证明。）

1986年，美国科学记者保罗·霍夫曼（Paul Hoffman）第一次见到了数学家厄多斯。在此后的10年间，他一直追随着这位数学家，“一天连续19个小时不睡觉，看着他不断地证明和猜想”，直到厄多斯去世。

独创一些词汇

保罗舅舅独创一些词汇，在数学界广泛传播，例如他叫酒为“毒药”（poison），妻子为“主人”（boss），丈夫为“奴隶”（slave），离婚为“解放”（liberated），小孩儿童为“小不点”（epsilon），孙儿为“小不点的平方”（epsilon squared），斯大林的名字“Joe舅舅”代表苏联，古典音乐为“声音”（noise），不搞数学的人为“平凡人”（trivial being），上帝为“超级法西斯”（Supreme Fascist）——因为他不相信上帝。他对婚姻和配偶有奇怪的看法：一个结合的配偶包含一个“主人”和一个“奴隶”。主人是妻子，奴隶是丈夫。他们结合就意味奴隶被主人逮住了。如果离婚，奴隶就是被解放。如果一个男人还要再结婚，那么他就是要再被逮捕成为奴隶。因此他为了不做“奴隶”，一生不娶，专心搞他喜欢的数学。

他说：“超级法西斯（SF）创造我们就是为了拿我们的痛苦取乐，我们死得愈早，他的计划就愈早落空。”

德国发动二战后几周内厄多斯离开英国去美国，领取普林斯顿高等研究院的研究金。爱因斯坦的助手斯特劳斯回忆厄多斯在普林斯顿的大街上走来走去，挥舞着双手，旁若无人地比画着谈数学。在普林斯顿厄多斯希望他的研究金可以续订，但厄多斯并不符合普林斯顿研究的标准，普林斯顿高等研究院发现厄多斯大部分时间与人下棋及聊天，不是规规矩矩地做学问，哈代曾说：“下棋确确实实是一个数学问题，但从某种意义上说却是一个微不足道的数学问题。”高等研究院上层的人不喜欢他，认为他“……粗野和非常规……”所以他被提供仅6个月延长，而不是预期的一年。

乌拉姆（Stanislaw Marcin Ulam，1909—1984）是波兰数学家，被冯·诺伊曼请去洛斯·阿拉莫斯（Los Alamos）一起从事研制原子弹。乌拉姆是厄多斯在剑桥结识的朋友，厄多斯被高等研究院解聘后，他一度失去了生活来源，幸好乌拉姆向他伸出了援助之手。当他得知厄多斯的窘境后，便邀请厄多斯到他工作的麦迪逊大学来访问。

乌拉姆说厄多斯“来麦迪逊是我们友谊的开始。由于经济拮据，除他所说的穷，他常把他访问的日子延长到不能延为止。1943年他在普渡大学取得一个奖学金，这时他不再分文全无。就如他所说的‘还从举债的日子摆脱’。在这次及其他的访问，我们互相讨论合作——我们的数学讨论只有在读报纸或听收音机广播战争情况及政治分析时才中断。在去普渡之前，他仍在普林斯顿研究院一年，直到他的生活津贴被停止为止。”

在1945年乌拉姆脑部动手术之后，准备从医院回家，厄多斯在走廊见到他，兴高采烈地喊道：“斯坦，我高兴地看到你还活着。我想你快死了，我要写你的讣告及亲自完成我们合作的论文。”当时他手上拿了一个皮箱，没有其他地方可去，乌拉姆就邀他来他家里小住。

乌拉姆的同事载他们回家，在车上厄多斯就开始滔滔不绝地谈论一些数学问题，乌拉姆也发表一些看法。厄多斯就高兴地说：“斯坦，你还和以前一样！”这给乌拉姆心中很大的安慰，他担心自己的脑动手术后受损害。一到家，厄多斯就建议下国际象棋，乌拉姆很担心自己对象棋的一些规则及棋子的走法忘记了。第一盘棋厄多斯输了，厄多斯建议下第二盘，乌拉姆想可能厄多斯是要让他赢使他心里高兴，他感到疲倦，但是仍和厄多斯再下一盘。厄多斯努力奋战仍旧输，他说他感到疲倦不要下了，乌拉姆才相信厄多斯是很认真及诚恳与他下棋，他才对自己的脑没有完全损坏而高兴。

他们常在一起讨论数学或到海边散步。有一次厄多斯遇到一个小孩，他说：“看，斯坦！多么可爱的小不点儿（epsilon）。”一个非常漂亮的年轻妇女坐在附近，肯定是这小孩的母亲，乌拉姆就回答：“可以看那个大写的epsilon。”这令厄多斯马上脸红和难堪。

战争期间厄多斯一直得不到家人的讯息，很挂念他们。1945年8月，他终于收到了一封电报得知家庭的详细信息：他父亲在1942年心脏病发作去世，母亲仍然健在，表哥弗雷德罗（Fredro）被送到奥斯威辛集中营，但活了下来。然而厄多斯的4个叔叔和婶婶被杀害了。

因为德国希特勒法西斯把厄多斯的匈牙利犹太亲属差不多杀光了，因此他对法西斯深恶痛绝，各种形式的当权者或他们的统治工具他都不喜欢，大学的行政官僚、美国的移民局、匈牙利的秘密警察、洛杉矶的交通警察、无事不管的上帝都被他冠以“法西斯”！他不喜欢狗，看到狗走近他，他会说：“那只法西斯狗是否要咬我？”

有一次他和一个合作者亨里克森（Mel Henriksen）教授到一个教授的家去，刚好这家的猫生了几只小猫，保罗舅舅就好奇地抱一只小猫看，然后把它放回盒子，可是那小猫突然用爪刮伤他的手，保罗舅舅就大骂：“法西斯猫！”女主人不以为然地说：“这么小的猫怎么会是法西斯呢？”

保罗舅舅回答：“如果你是老鼠，你就知道了！”

他年老容易感冒，他就埋怨：“我不明白超级法西斯为什么让我感冒。他创造我们看着我们受苦他就快乐。”

他一生独身没有家累，可是他很喜欢小孩子，有时在餐厅看到小孩，他会跑过去说：“哈啰！”然后从他风衣的袋子拿出装安非他命的药罐，把它放到肩膀的高度让它落下，再迅速用手捉它回来，他用这种方式逗小孩，和他们做朋友。

对刚认识的人，他会问：“你什么时候来到？（When did you arrive？）”不知情况的人会以为他在问什么时候你来这里。实际上他是问你什么年份出生，然后他计算你年纪多大。

他说“我的大脑是敞开的”，就是表示“我要做数学”。

他说：“某某人死了！（died）”是指他已停止做数学研究。“某人离开了（left）！”那是指他死了离开人世间。因此有一次，他在巴黎演讲后，有个法国数学家问他关于他们英国的共同朋友、某个得爵士头衔的教授的近况。厄多斯回答：“这可怜的家伙两年前已死去了。”另外一位法国教授在旁边听到，马上说：“这是不可能的，我上个月还在罗马见到他。”而厄多斯却说：“啊！你应该明白我的意思，我是指他这两年没有搞出一些新东西出来！”

乌拉姆在1976年他的自传《一个数学家的冒险记》（ Adventure of a Mathematician ）曾经这么写：“数学的天地是大脑创造出来，可以视为不需外界的助力。数学家工作可以不像其他科学家那样需要仪器。物理学家（甚至理论物理学家）、生物学家和化学家都需要实验室——可是数学家能在没有粉笔、纸或笔的情况下工作，他可能在走路、吃饭甚至谈天时继续思考。这就或许可以解释为什么有许多数学家在从事其他工作时表现得内向（inward）及心不在焉，这和其他领域的科学工作者的形象最鲜明地不同。当然，这还要看具体情形。有些人像保罗·厄多斯具有极端的特点。他在清醒的时间里是把心放在数学构造和推理思考，把其他的事都搁在一边。”

乌拉姆这样描写厄多斯：

“他是比中等身材稍矮，非常神经质，当时他比现在还要活跃——常常跳上跳下或者拍打（flapping）他的双臂。他的眼睛常常显示他是在思考数学，这过程只有在他说出对世界事务、政治或人类悲观的论调时才中断。如果有一些有趣的想法从他头中产生，他就会跳起来，拍手掌，然后坐下。他专心搞数学及常常思索问题，很像我的一些波兰朋友。他的怪异的举动是太多了，不可能全写下来。一个方面（现在仍然保留下来）是他的特异的语言。如用‘epsilon’表示孩子，‘奴隶’是指丈夫，‘主人’是指妻子，‘捕俘’是指‘结婚’，‘讲道’（preach）是指演讲，还有其他现在数学界所知道他的独创名词。我们共同获得的数学结果，有许多到今天还没有发表。”

“……他真的是一个神童，在18岁时就发表他在数论和组合数学的结果。”

“由于是犹太人，他需离开匈牙利，而这反而救了他的命。在1941年他27岁，却不快乐、思乡，常常担忧他那留在匈牙利的母亲。”

与数学家合作写论文

他可以和任何大学的数学家合作研究，他每到一处演讲，就能和该处的一两个数学家合作写论文。据说多数的情形是其他数学家把一些本身长期解决不了的问题和他讨论，他可以很快就给出问题的解决方法或答案，于是对方赶快把结果写下来，然后发表的时候放上他的名字，厄多斯的新的一篇论文就这样诞生了。

他是一个富有传奇色彩的人，人们甚至谣传（当然这不是真的）：他有一次从一个地方要到另外一个地方的大学演讲，竟然在旅途中和查票的火车查票员合写了一篇数学论文！

在普林斯顿，厄多斯有一次听马克·卡克（Mark Kac，1914—1984，一个波兰裔美籍数学家，也是犹太人）的演讲。卡克回忆道：“厄多斯在我报告的前大半部分时间都在睡觉，因为我讲的东西和他的兴趣不沾边。后来我讲到我在素因子方面遇到的困难，因为牵涉数论，厄多斯马上来了兴致，他让我解释一下到底困难在什么地方。之后不到几分钟，我的报告还没有讲完，他就打断我并且宣布问题解决了。”

卡克是概率论的大师，后来和厄多斯一起发展用概率论工具研究数论。数学往往是要求精确的，厄多斯发现概率论存在于数论的核心之中，但厄多斯开创了一种存在性问题的概率证明方法，把随机性引入证明之中。他可以证明许多现象存在的概率很大，甚至是1，但不给出构造。这种办法在图论和计算机科学里经常会用到。

厄多斯能在他本来一无所知的领域做研究。有一个叫胡列维茨（Witold Hurewicz，1904—1956）的波兰裔美籍数学家，是维数理论和同伦论的开创者。胡列维茨提过这个问题：“希尔伯特空间中有理点集合的维数是多少？”

厄多斯听到这个问题后，觉得很好奇，就问什么是希尔伯特空间，维数是什么意思。有人告诉了他，于是他很快就得到了答案。这是厄多斯对一个他几乎一无所知的领域做出的贡献！

1966年，约翰·塞尔弗里奇（John Selfridge）和厄多斯解决了数论中的一个著名问题，已经100多年没人解决。这问题是说连续正整数的乘积（如4·5·6·7·8）从来没有一个是平方数、立方数或任何更高次方数。

例如1，2，3，4的乘积是24，它的任何开次方都不是整数。

3，4，5的乘积是60，它的任何开次方都不会是整数。

8，9的乘积是72，它的任何开次方都不会是整数。

这问题看来是很容易，但证明不简单。

厄多斯说：“我的母亲说，‘保罗，就算你在某一个时刻也只能在一个地方出现。’可能过不久我就没有这种限制。可能当我去世之后，我可以在同一个时刻在不同地方出现。我或许可以和阿基米德及欧几里得一起合作研究。”

与塞尔伯格的宿怨

塞尔伯格（Atle Selberg，1917—2007）是挪威数学家，1947—1948年在普林斯顿高等研究院研究，然后到锡拉哥大学当助理教授，在1949年又回高等研究院成为永久成员。后得菲尔兹奖并被普林斯顿大学聘为正教授。

对正实数x，定义π（x）为素数计数函数，亦即不大于x的素数个数。25以下的素数是2，3，5，7，11，13，17，19和23，所以π（3）=2，π（10）=4和π（25）=9。

高斯在1849年圣诞前夕给天文学家恩克著名的信中提到，他致力找到一个π（x）渐近公式的历史可以追溯到1792年或1793年（当他为15岁或16岁），高斯找到了一些函数来估计π（x）的增长：

其中lnx为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π（x）与x/lnx的比值趋近1。

写成分析式子就是高斯著名的“素数猜想”：

1793年高斯提出这猜想，但没法证明。独立于高斯，法国数学家勒让德（A. Legendre）也提出这猜想。1896年法国数学家阿达马（J. Hadamard）与比利时数学家普桑（Charles Jean de la Vallée Poussin）用复变函数论工具证明这猜想，1903年德国数学家朗道（E. Landau）给出一个较简单的证明。哈代1921年在哥本哈根做报告的时候说素数定理不大可能会有初等的证明：“断言一个数学定理不能用某种方法证明，这可能显得过于轻率；但有一件事（素数定理没有初等证明）却是清楚的。如果有谁能给出素数定理的初等证明，那么他就将表明，我们过去关于数学中何谓‘深刻’、何谓‘肤浅’的看法都是错误的。那时我们就不得不把书本都抛在一边，重写整个理论。”如果真的出现了初等的证明，那么数论会迎来巨大的革命。

就在哈代去世的两年后，1949年35岁的厄多斯来普林斯顿研究院与31岁的塞尔伯格合作用数论方法给出了这定理的初等证明。

1948年，普林斯顿研究院的塞尔伯格对于任意实数x，定义函数：

和号表示所有素数p≤x的和。素数猜想等价于证明：

1948年3月塞尔伯格证明渐近公式：

他称之为“基本公式”（the fundamental formula）。他准备去加拿大，不得不放下手头的研究工作。当时在普林斯顿访问的匈牙利数学家图兰（Turan）是塞尔伯格的好朋友，他快要离开普林斯顿了，他请求塞尔伯格去加拿大之前把那个基本公式告诉他。塞尔伯格同意了，他知道图兰的水平不足以对他构成任何威胁，而且他以为图兰很快就会离开。

9天后塞尔伯格离开加拿大返回，图兰还没有走。更可怕的是图兰将基本公式告诉了厄多斯。脑子反应快的厄多斯立刻便利用这个公式推出了一个重要的结果。而最让塞尔伯格担心的是，厄多斯跟他说这个可以导出素数定理的初等证明。厄多斯在很多地方反复强调“是我告诉塞尔伯格可以证明素数定理，而他根本不相信，甚至还举了这个反例给我看”。

塞尔伯格起初让厄多斯帮忙写出一个证明，然后自己加上其他证明来最后给出素数定理的初等证明。本来他们是决定一起发表素数定理的初等证明，后来塞尔伯格在一次聚会上，听到一个数学家告诉他说“听说厄多斯和一个叫什么名字的人证明素数定理，用的是初等方法”。他决定甩开厄多斯单独发表。

塞尔伯格发现了一种不需要厄多斯那部分证明的证明，从而将这个结果单独署名发表在《数学年刊》（ Annals of Mathematics ）——世界上最权威的三本数学杂志之一。厄多斯自然也不爽，于是他写了论文，也投给普林斯顿的《数学年刊》。主编外尔在充分听取了双方的陈述之后，决定不发表厄多斯的论文。之后，厄多斯将论文投给了《美国数学会公报》（ Bulletin of the American Mathematical Society ），在外尔的授意下，编辑雅各布森（N. Jacobson，1910—1999）也做出了退稿的决定。

外尔

雅各布森

厄多斯立即将论文又投给了《美国国家科学院院刊》（ Proceedings of the National Academy of Sciences ），这次很快就发表了。塞尔伯格的文章迟了一些时候，发表在了普林斯顿的《数学年刊》上。由于这项工作很重要，塞尔伯格在第二年获得菲尔兹奖，而厄多斯却失去机会，这件事情让他非常伤心。1952年美国数学学会颁科尔（Cole）奖给厄多斯。这件事情给两个人都造成了深深的伤害，塞尔伯格也从此与厄多斯反目。

卡普兰斯基（I. Kaplansky，1917—2006）那些日子在普林斯顿，亲眼目睹了厄多斯和塞尔伯格的过节。他对厄多斯说：“保罗，你总是说，数学是人类的财富。没有人拥有定理，他们是从那里学习和发展。那么，为什么你还要与塞尔伯格有纠结和仇隙？你为什么不让它成为过去？”厄多斯的答复是：“啊，但是这是素数定理！”

有兴趣的读者可以上网看相关资料。

http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf

http://www.math.ntnu.no/Selberg-interview/selberg.pdf

对年轻数学工作者的爱护

厄多斯有一种激励人的本领，他能把人们带到一个全新的水平。他的数学世界是我们都能够进入的。

——乔尔·斯宾塞（Joel Spencer）

厄多斯比任何人都知道更多的问题，他不仅知道各种问题和猜想，还知道不同数学家的口味。所以，如果我收到一封信，给了我他的3个猜测、2个问题，然后他确保这些正是一种猜测和我感兴趣的问题，而这些问题，我可能能够回答。

——贝拉·波罗巴斯（Bela Bollob's）

拉约什·波萨（Lajos Pósa，1947.12.9—　）是匈牙利的数学家，他在14岁时就已能够发表有相当深度的数学论文。大学还没有读完，就已获得科学博士的头衔。

他的父亲是化学家，母亲是数学老师。波萨小时候受母亲的影响，很爱思考问题。母亲看他对数学有兴趣，鼓励他在这方面发展。她给他一些数学游戏或数学玩具，启发他独立思考问题。

在母亲的循循善诱之下，他在读小学时已经自己拿高中的数学书来看了。1959年厄多斯从国外回来后，听到朋友罗萨·彼得（Rózsa Péter）讲起有一个很聪明的小孩，在小学就能解决许多困难的数学问题，于是就登门拜访他的家。

波萨的家人很高兴请厄多斯教授共进晚餐。在喝汤的时候，厄多斯想考一考坐在他旁边的11岁的波萨的能力，于是就问他这样的一个问题：

“如果你手头上有n＋1个不同正整数，而这些整数是小于或等于2n，那么一定会有一对数是互素的。你知道这是什么原因吗？”

厄多斯几年前发现这个事实，在10分钟之内给出证明。这小鬼不到半分钟的思考，就很快给出这个问题的解答。他发现在自己面前的是一个难得的数学英才。从此以后，厄多斯就有系统地教波萨数学。后来，波萨14岁成了一位数学家，并在哈密顿图的判断中做出贡献。但20岁那年，波萨就停止证明和猜想，改行去做小学教师了。厄多斯说：“我觉得非常可惜。他虽然活着，但无异于行尸走肉，我非常希望他能尽快真正活过来。其实当他16岁那年告诉我他宁愿做陀思妥耶夫斯基而不做爱因斯坦时，我就开始隐隐有些担忧了。”

葛立恒（Ronald Graham，1935—）是金芳蓉的丈夫，他曾经是美国数学学会（AMS）会长、AT&T首席科学家，后来是加州大学圣迭戈分校（UC San Diego）计算机科学与工程系教授。

厄多斯和葛立恒于1963年在一次数论会议上遇见，两人很快就开始数学合作。厄多斯常去他那里居住，葛立恒还存储厄多斯的论文。厄多斯一些钱财由他负责管理，他很多时候还担任厄多斯的秘书。葛立恒和厄多斯花了很多时间在拉姆赛理论上一起工作。他们合写了一本书。

在20世纪80年代后期，厄多斯听到一个名为格伦·惠特尼（Glen Whitney）的有天赋的高中生想在哈佛学习数学，学费有点短缺。厄多斯安排见他，通过葛立恒借给他1 000美元。10年后，葛立恒遇到惠特尼，他终于任教于密歇根大学并且可以最后偿还款项。

“厄多斯指望我会支付利息？”惠特尼纳闷。“我该怎么办？”他问葛立恒。

葛立恒咨询厄多斯。

“告诉他，”厄多斯说，“就像我做的那样帮助其他人。”

彼得·温克勒（Peter Winkler）有一个非常聪明的学生，可惜患有脑瘫，人坐在轮椅上。温克勒回忆往事：“当厄多斯第一次见到他时，便立即跑上去，询问他的病情和状况。厄多斯在10分钟内对这个学生的了解比我们在他整个研究生学习期间对他的了解都要多。此后厄多斯对这个学生的研究工作很是关心——当时该生正在完成他的博士论文，厄多斯提了很多中肯的建议。诸如此类的事情在他的一生中不胜枚举。”

厄多斯写短信，开头是“假定×是这样，因此有……”或者“假定我有一序列的数……”在信结尾时，他写了一点他个人的看法，通常是说他已经老了（这从他30岁就开始说）或者带忧郁或悲观地谈对我们上了年纪的朋友的看法。他的信是迷人的，常包含新的数学消息……

下面是厄多斯给一位年轻意大利数学家写的两封信，你可以了解他的风格：

我印象最深刻的是有一次我到布达佩斯拜访认识的一位F教授，F教授见到我说：“你知道吗？厄多斯昨天回来了！”可见厄多斯一回国门，就变成布达佩斯的重要消息。

厄多斯知道和解决的东西太多了，有些他来不及写下来，在上世纪40年代时，他和乌拉姆合作得到一些有关直线上一些波莱尔集及平面上一些集合的拓扑学定理，他们一直没有机会坐下来合写成文章。

其中有一些结果后来被一个印度数学家劳（B. V. Rao）重新发现并且发表。劳得到这些结果时，把论文寄给厄多斯请他提供意见。厄多斯马上回信鼓励他发表这些结果，信中他并没有说他和乌拉姆早已得到以上的结果并且证明了。后来有人告诉劳，他所发现的定理实际上厄多斯和乌拉姆早已获得只是没有发表。劳写信给厄多斯，问他为什么不早点讲这情况？厄多斯回答：他不想模仿高斯这个“混蛋习惯”——对于年轻的数学家泼冷水说：他们自以为发现的新结果，事实上是他许多年前早已得到了。从这点可见厄多斯胸怀宽大及对年轻数学工作者的爱护，不想伤害他们对数学研究的热情。

麦卡锡时代的“黑五类”

1953—1954年，厄多斯在印第安纳州的圣母大学（University of Notre Dame）。该校数学系的系主任安排一门高等数学的课程给他教，并提供一个助教，如果他不在大学外出与人讨论数学，他的课可由助教代教，事实上他是挂教授的名拿钱，朋友说一个无神论者却由天主教大学来供养，真是奇怪。厄多斯却说：“我并不介意这些，只是到处看到‘加号’令我头痛。”（加号指十字架。）

圣母大学想终身聘请他，劝他结束到处漂泊的日子，可是他却拒绝了人家的好意。

亨里克森说，对于厄多斯来说，被剥夺了旅行的权利就像是被剥夺了呼吸的权利一样。

1954年，因要去参加在阿姆斯特丹举行的国际数学家大会，厄多斯向美国移民局申请再入境许可证。那时正是麦卡锡时代，美国处于一片红色恐惧之中。（以至于当厄多斯想往匈牙利——一个社会主义国家——打电话时，都没人敢把电话借给他。）

移民局的官员不想给厄多斯发再入境许可证，便问了各种各样愚蠢的问题。

“你母亲是否对匈牙利政府有很大的影响？你读过马克思、恩格斯或者斯大林的著作吗？”

“没有。”厄多斯回答。

移民局官员问他：“你怎么评价马克思？”

他率直地回答：“我没有能力去判断，但毫无疑问，他是一个伟大的人物。”

移民局官员问他：“你是不是共产党员？”

他回答：“看你怎样定义共产党，我想我应该不是。”

质疑他是否会再回到匈牙利。厄多斯说：“我不打算现在访问匈牙利，因为我不知道他们是否愿意让我出去。我打算只去英国和荷兰。”

“如果你能肯定匈牙利政府会让你离开，你会访问匈牙利吗？”

他傻傻地回答说：“当然，我的母亲在那里，那里我有很多朋友。”

结果移民局寄信通知他，如果他离开美国就不能再入境。厄多斯聘请一个律师替他处理此案件。律师有机会查阅移民局里厄多斯的档案，结果发现把他列为“黑五类”，原因是：

第一点，他和曾经在美国执教的中国数学家华罗庚通信。

美国为研制原子弹制定了曼哈顿计划，奥本海默是该计划的主要领导者之一，二战后，又出任普林斯顿高等研究院院长。华罗庚于是申请到世界最著名的数学中心——普林斯顿高等研究院工作，在那里担任研究员和访问教授，1948年华罗庚随即又被伊利诺伊大学聘为终身教授。1949年，华离开美国回到新中国。

厄多斯搞数论，和华罗庚是同行，因此与他交流数论的问题。

厄多斯写道：“亲爱的华，设p是奇素数……”

厄多斯虽然和华罗庚谈数论问题，不牵涉任何政治，可是和一个已回社会主义阵营的人通信，美国当局认为他的思想就有问题，会不会厄多斯想传递什么秘密情报？

第二点，1942年，厄多斯还在普林斯顿高等研究院的时候，有一次与两名学者角谷静雄和阿瑟·斯通（Arthur Stone）一起去芝加哥参加一个会议，途经长岛，便停下来看看海景。他们在一个无线电发射塔——可能是一个秘密的军用雷达——附近拍照，被警卫发现。

一个警卫怀疑他们是外国间谍，对他们查问，他们提出适当的身份证明。警卫警告他们以后不要走近军事地区。几天之后军方的情报人员个别再找他们问话，FBI的调查人员问他们为什么没有看到“NO TRESPASSING”（不许超越）的标牌，厄多斯说：“我正在思考问题。”

“思考些什么？”

“数学。”

这个事件就此记录在案。

第三点，厄多斯的母亲在匈牙利科学院工作，她必须参加共产党才能工作。因此有一个这样的母亲，厄多斯就变成了麦卡锡时代的“黑五类”了。

1943年，乌拉姆到洛斯·阿拉莫斯参与原子弹的研制。他极力劝说厄多斯也加入他们的行列，厄多斯本人也很愿意为消灭法西斯而出力。于是厄多斯给他的同胞特勒（E. Teller，著名物理学家，被称为“氢弹之父”）写信，申请加入曼哈顿工程。但厄多斯在信中特别强调他战后要回匈牙利，所以理所当然地被取消了资格。

1972年到1980年任库朗研究所所长的彼得·拉克斯（Peter Lax，1926.5.1—）是匈牙利人，1941年底15岁的他随家人逃到美国。1942年春季，厄多斯在普林斯顿介绍他给爱因斯坦认识，说这高中生是一个有才干的年轻匈牙利数学家。爱因斯坦问厄多斯：“为什么要提到匈牙利呢？”拉克斯在1944年证明了厄多斯的一个数学猜想。

拉克斯1944年参军，曾在美国佛罗里达州的“步兵更换训练中心”接受工程训练。1945—1946年分配到洛斯·阿拉莫斯国家实验室做曼哈顿项目工作，他曾做中子运输，后来在冯·诺伊曼的启发下做冲击波的研究。

厄多斯曾给在洛斯·阿拉莫斯的拉克斯寄了一张明信片：“亲爱的彼得，‘我的间谍’告诉我山姆叔叔（Sam）正在造原子弹，告诉我，这是真的吗？”

还有一次，厄多斯和包括拉克斯在内的几个匈牙利人一起吃晚饭。席间他们一直用匈牙利语交谈，厄多斯却突然用英语大声问：“原子弹的研制进展如何？”

朗道是德国数学家，主要研究数论与复变函数论，曾在柏林大学和格丁根大学任教授。朗道访问过剑桥大学，在剑桥曾遇见有些神经质的厄多斯，对他说：“我们数学家都有一些疯狂。”

厄多斯在常人看来是真的有些疯狂。在那个年代制造原子弹是国家机密，连最放浪不羁的物理学家理查德·费恩曼（Richard Feynman）都守口如瓶没有告诉妻子他参与制造原子弹的工作。厄多斯的做法和行为是会害人害己。

厄多斯离开美国参加荷兰的国际数学家大会，美国不给其入境签证，未来9年中，被禁止返回美国。这时以色列政府收容他，有很长时间他居住在以色列，可是尽管以色列政府给他公民权，但他也不愿放弃匈牙利国籍，还保持他的匈牙利护照，他声称是一个世界公民。以色列理工学院数学系1955年以来任命他为“永久客座教授”，他只要一年做为期三个月的工作。这使他只要愿意访问以色列理工学院，学院就定期支付工资给他。

他在以色列度过了10年的大部分时间。在1960年代初期，几百名数学家联名向美国政府要求允许厄多斯重新入境，于是在1963年11月，厄多斯终于得以重返美国。在会议上发表讲话时，厄多斯说：“Sam终于肯接纳我了，大概它认为我已经老迈不堪，不足以推翻它了！”从此他的大部分时间在美国，他也永远不会原谅美国政府。一年之后，美国政府已经对厄多斯失去了防备，给他外国人的居住身份，他从来没有给美国麻烦。当苏联发射人造卫星进入轨道后，美国和苏联太空竞赛开始，为了提高数学研究，政府有一个巨大的基金支持数学研究。这使得他的许多朋友和合作者可以给他研究补助费。

不是一个好病人

从20世纪40年代开始，厄多斯就是一副体弱多病、疲惫不堪的样子。他的朋友们都觉得他没多少光景了，可事实上他活得比别人都长。

在贝尔实验室工作的数学家彼得·温克勒说：“保罗有一次来我家，他瘦削得像一个吸毒者、流浪汉，手上拿着一个装有给我孩子礼物的塑料袋。刚好我的岳母来我家拜访，她去开门，真的以为面前是一个无家可归的乞讨者，要把他赶走。”

他年纪大了，眼睛患白内障。好心的朋友安排他去看眼科医生，医生决定替他动手术，手术后通常需要24小时住院。保罗舅舅拒绝医生动手术，也拒绝在医院过夜，因为这将导致他缺席一个数学会议，这会妨碍他的工作。

有一次在德国，厄多斯跑到一座小山上，发生轻微的小中风，可他并没有察觉。回到布达佩斯，因为他觉得不适而进行了检查，发现问题，可他不愿意接受医生任何建议，医生认为他是他们接诊过的最不听话的患者。他感兴趣的是数学，他没有时间照顾他的健康。

保罗舅舅到了晚年很喜欢到梅菲士（Memphis）去访问，因为那里有他的一群合作者跟他讨论数学和写文章。有一次在一次数学会议之后，他和一些数学家到一间希腊餐馆去吃饭。

吃到一半他突然说感到不舒服，他想坐在塞西尔·卢梭（Cecil Rousseau）的车里休息。过了不久，他要塞西尔量他的脉搏，结果每分钟达150次，他的脉搏不正常，因此塞西尔送他进医院。

到了医院的急诊室，他被送进一个小房间，胸部连接一个电子仪器，他的心跳得非常快。突然心跳频率开始急剧下降，仿佛要一直降到0。

保罗舅舅对塞西尔说：“给我一个数学问题。”

“数学比赛的问题怎么样？”

“可以。”

于是塞西尔就给他一个德国的数学比赛题目，这是有关置换的问题。

保罗舅舅说：“这是一道很好的题目。”

这时保罗的合作者拉尔夫·福德利（Ralph Faudree）赶来了，大家都集中精神谈论数学，不想看仪器上显示的快速的心跳，奇妙的是，当保罗思考数学时，他的心跳慢慢地降下来了，心率最后在每分钟65次稳住了，真是令人难以置信。塞西尔和福德利才松了一口气。

为了安全起见，他们把他留在医院观察。人们开玩笑地说，世界数学研究中心快要转移阵地，搬迁到梅菲士医院的一个病房了。

真的，在他的病床上布满了他手写的计算稿，他很高兴，一批接一批的数学家来病房探望他，和他谈数学。病房里数学家进进出出，护士们试图阻止他做数学研究可又没办法，医生和护士都被逼得差点发了疯。

没有人来探望他的时候，有护士来查房，他就设法和护士们谈数学，他很高兴对一个护士解释“为什么素数的个数是无穷的”。他用欧几里得的反证法证明，解释什么是反证法，还挺高兴地对别人说：“我相信她听懂了。”

这些护士们只觉得这个瘦小的老头真是怪，人生病就是要休息，而这个老头却是不休息不听医生的劝告，在死亡边缘还孜孜不倦地工作。

在这之前保罗舅舅有只眼睛完全看不见了，急需一次角膜移植手术。在福德利妻子的安排下，很快找到了合适的角膜捐赠人，可以进行手术了。手术开始前，医生仔细给厄多斯讲了手术过程。

“医生，”厄多斯问道，“我还能看书吗？”

“可以，”医生说道，“这正是我们手术的目的。”

厄多斯走进手术室。可灯光一暗下来，他又烦躁起来：“你们为什么把灯给关了？我不能看书。”

“为了手术。”

“可是你刚才还说我能看书！”

然后他就跟医生吵起来，说既然做手术的是一只眼睛，为什么他不能用另外一只好眼睛看书呢？医生急得拼命给梅菲士大学数学系打电话：“你们能否派一个数学家过来，以便手术过程中和厄多斯能谈论数学？转移他的不安，不然手术无法进行。”

数学系答应了，马上有人来对他安抚，最后手术进行得很顺利。

对普通人讲数学失败

葛立恒和金芳蓉在厄多斯去世之后于1998年出版一部《厄多斯论图以及未解决的问题》（ Erdös on Graphs：His Legacy of Unsolved Problems ），里面转载瓦松尼回忆厄多斯的文章。1979年1月13日，厄多斯鲁莽决定向瓦松尼搞音乐的夫人劳拉（Lora）解释神奇的数学：证明2的平方根是无理数。按计划厄多斯用反证法证明，他应该这样证明：

假设 是有理数，则有 （这是有理数的定义）

其中，a，b互质

则有a 2 /b 2 =2

a 2 =2b 2

只有偶数的平方才是偶数

所以a是偶数

令a=2x

则有4x 2 =2b 2

2x 2 =b 2

同理，b也是偶数

既然a，b都是偶数，与原来的a，b互质矛盾

所以 不是有理数。

他开始在一张白纸上写证明。“劳拉，如果你不明白一个步骤，让我知道，我将解释清楚。”

他说：“让我们假设，2的平方根是有理数，也就是，它等于一个a/b，其中a和b是整数。OK？”劳拉同意。

然后，他一步一步，最后达到了矛盾。

“你看，假设是错误的，2的平方根不能是有理数。”

但劳拉不喜欢这证明。厄多斯恼火：“我要你在每一步如果你有不明白的时候要告诉我，可你什么都没说。”

“你为什么一开始不告诉我这假设是完全错误的？”劳拉说。

厄多斯摇头叹息：“孺子不可教也。”

瓦松尼要厄多斯在那张写证明的纸上签名留念。

厄多斯在那张纸上签名P.G.O.M.A.D.，下面是实际的“文件”：

20世纪70年代初开始，厄多斯说：“我名字的英文缩写P.G.O.M.。

当我60多岁时，成了P.G.O.M.L.D.，是活死人身份证。

65岁到70岁，P.G.O.M.L.D.A.D.，为考古发现。

在70岁以上成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.，法律上死亡。

而在75岁以上他是P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.C.D.，为计数死亡。”

在1987年，当他74岁，他解释说：“匈牙利科学院有两百名成员。当你到达75岁，你可以在学院里享有充分的特权，但已不再计为成员了。这就是‘计数死亡’的含义。当然，也许我不会需要面对紧急情况。我75岁生日时，他们正在策划一次国际会议，可能是为了纪念我。”

厄多斯数

1957年，普林斯顿大学的约翰·伊斯贝尔（John Isbell）最早提出“厄多斯数”（Erdös Number）的概念。

厄多斯本尊，定义他的厄多斯数是0。

如果某人A与厄多斯合写论文而且发表，那么他的厄多斯数是1。

如果B没有和厄多斯合写论文，但与A合写，那么他的厄多斯数就是2。

我们可以依此类推，如果一个人与C（他的厄多斯数是k）合写过论文，而他没有与其他厄多斯数小于k的人合写过论文，那么他的厄多斯数就是k+1。

因此我们可以定义，令S是所有曾发表过数学论文的数学家的集合，我们定义一个函数EN：S→N +

EN（厄多斯）=0

EN（x）=1当且仅当x与厄多斯写过论文

EN（x）=k当x和y合写论文而EN（y）=k-1

EN（x）=∞如果x没有和任何具有有限厄多斯数的人合写过论文

1969年《美国数学月刊》（ American Mathematical Monthly ）发表了卡斯珀·戈夫曼（Casper Goffman）的论文《你的厄多斯数是多少？》（ And What is Your Erdös Number？ ），开始引起人们对厄多斯数的兴趣。

厄多斯每年要回布达佩斯3次，看望母亲和老朋友。有一次，在他回家期间，瓦松尼正研究一个图论问题，并找到了结论成立的必要条件。他回忆道：“我几乎天天与厄多斯见面，但我犯了一个致命错误——我在电话里把自己的发现告诉了他。我称这个错误是致命的，是因为他在20分钟后就回电告诉我证明充分性的方法。”

“该死的，我想，现在我只好和他合作写这篇论文了。这个著名的厄多斯数1究竟给我带来了什么，我几乎一无所知。”

我有一位美国朋友阿瑟·霍布斯（Arthur Hobbs）教授是塔特（William Tutte，1917—2002）的博士生，塔特与图灵（Alan Turing，1912—1954）在二战时一起破译德国密码，战后移居加拿大，在滑铁卢大学教图论。塔特的厄多斯数是1。

霍布斯与导师合写过论文，因此他的厄多斯数是2，但是他看到有一些他认识的数学教授，没有他工作那么好，却有厄多斯数1，心里非常不痛快。他告诉我他想要使他的厄多斯数由2变成1。有一次参加一个数学会议，他在会议举办方安排的去参观当地名胜的途中，设法坐在厄多斯的旁边，告诉他自己研究的还未解决的问题，想法引起厄多斯的兴趣，结果这个老先生上钩，竟然想出方法帮他解决了他不能做的问题，于是霍布斯写了这篇文章，以两人的名义发表，他很高兴终于使自己从厄多斯数2变成1了。

1996年6月，霍布斯跟我讲这故事时，我们同时参加在路易斯安那州的巴吞鲁日（Baton Rouge）的东南国际图论组合及计算会议。厄多斯坐在前排听格哈特·林格尔（Gerhart Ringel）教授的报告。报告结束时，厄多斯小声地问了一个问题，就在提问的当中，他突然昏厥倒下，我们看到厄多斯因心脏病倒下送到医院的情形。后来厄多斯装心脏起搏器又回来参加会议。

霍布斯要我赶快找机会和厄多斯合写论文，不然他去世之后就没有机会了。

我听了笑笑，事实上我对这个厄多斯数是多少不感兴趣，而且我和厄多斯有一个共同的问题却一直没有解决，这问题是我的一个猜想，提出有30多年，许多人（包括魏万迪教授）尝试解决只做到一些微小部分，我会在《我的边优美树猜想》谈这问题。

后来为了纪念去世的塔特教授，我和密歇根大学的沙特朗（G. Chartrand）和张平教授一起写一篇文章，发表在《离散数学》（ Discrete Mathematics ）杂志上，由于EN（沙特朗）=1，于是我的厄多斯数顺理成章是2。

我的合作者之一卡尔·谢弗（Karl Schaffer）教授是上面提到的林格尔的学生，他在他的网页上以通过我而有厄多斯数3为荣。

2013年6月，美国新出版给少年儿童看的讲述厄多斯的《喜欢数学的男童》的故事书。作者赫利格曼（Deborah Helligman）很高兴她被厄多斯朋友的一个委员会颁为厄多斯数是1.5。

2005年，阿贝尔奖获得者彼得·拉克斯的厄多斯数是3，但有人认为他应该是1.5。为什么呢？因为拉克斯在1944年发表论文Proof of a Conjecture of P. Erdös on the Derivative of a Polynomial［ Bull. Amer. Math. Soc. Volume 50， Number 8（1944），509-513］，解决了厄多斯的关于多项式微分的猜想。

在1943年，厄多斯在《数学年刊》（ Annals of Mathematics，volume 44，643-646）发表论文，有一个脚注说：“这个证明是由彼得·拉克斯先生给出，口头交流。”这时彼得才17岁。

我与厄多斯的交往

1968年我在加拿大的温尼伯（Winnipeg）的马尼托巴大学（University of Manitoba）念研究生，我的老师乔治·格雷策（George Grätzer）是匈牙利卓越的数学家，当年他趁来美国访问就不回匈牙利，后来到加拿大温尼伯大学当教授。

他安排了厄多斯来我校演讲，也安排著名的匈牙利概率大师阿尔弗雷德·瑞尼（Alfréd Rényi）来演讲，我有幸在他飞机失事去世前见他并读他写的一本关于数学史的书。我后来把第一篇数学论文寄给匈牙利的杂志发表以纪念他。

厄多斯喜欢在讲数学时，穿插一些他和其他数学家的故事，就是在那次演讲，我第一次听他讲鸽巢原理及他发现匈牙利天才波萨的故事。

第二次见到厄多斯是在上世纪70年代初期的法国，他在庞加莱数学研究所演讲，谈一些组合数论的问题。讲完后我问他一个数学问题，他带我上二楼的庞加莱数学图书馆查资料。图书馆不是开架，在那儿要看书和杂志需填表给图书馆员去找，找到后放在桌上读者去拿。

看来馆员认识他，他嫌麻烦由他们去找，直接进入书库找了杂志打开一篇论文，叫我看那文章，他的记忆力之好，真是令我惊叹佩服。

在80年代，我在加州圣何塞大学教书，1985年参加在犹他州举行的图论、组合及密码学的会议。开会地点是著名演员及导演罗伯特·雷德福（Robert Redford）的度假村。当时他在修建扩充，这里是著名的圣丹斯（Sundance）电影节主办地点，我们在那里住得很舒适，但由于雷德福是摩门教徒，开会场所没有咖啡供应，厄多斯平常喜欢说的一句话是“一个数学家就是一台把咖啡转化为数学定理的机器”，这个对靠咖啡才能产生数学定理的厄多斯是件痛苦的事。

我演讲快要结束的5分钟，都会列下一些猜想邀请听众继续做；厄多斯来讲厅听到我叙述几个猜想，他就要我在外面一个桌子讨论，询问我报告的内容及我的猜想。

我是讲优美图及边优美树的一些猜想，特别是“所有的奇顶点树都是边优美的”。他告诉我他曾经证明“几乎所有的连结图都不是优美图”，他说是否可以考虑证明“几乎所有的奇顶点树都是边优美图”？我对他说我不知道概率证明的技巧，于是我们不听其他人的报告，在外面工作了两个小时。

当我们一起工作时，圣丹斯度假村业主雷德福来和我们打招呼，他是一个友善的人。他离开后，厄多斯问我：“这家伙是谁？”似乎他从来没有看过雷德福的电影。

后来他说：“你的猜想看来容易明白，但我想证明是困难的，我把我的那个几乎所有图都不是优美图的手稿下次在图论会议时给你，那个结果我还未发表，你看可否解决你的问题？”

我当时想厄多斯也是够糊涂，图论会议很多，我又不一定每次都会参加，他怎么能碰到我呢？因此我没把他的话当一回事。

在密歇根州的卡拉马祖市（Kalamazoo）有一个西密歇根大学，那里每4年举办一个国际图论会议。1988年我参加并报告我的研究工作，在那里遇见了厄多斯，我问候他。

他问我边优美树的猜想解决了吗？我说还没有。他要我陪他去大学安排给他的宿舍，说有一件东西要给我。我好奇地跟他到他住的地方，很想看传说中他的皮箱——唯一的家产是什么东西。

他打开一个旧皮箱，里面几件衣服、药罐、记事簿和纸张，他取出了一个黄皮信封，里面有一份20多页手写的影印论文，他拿给我说这是他答应要给我的论文，他说这是唯一稿件，看完要还他。我问要寄去哪里？他说寄给加州大学的陈费丽（Phyllis Chinn），这是一位嫁给中国人的犹太籍教授。他说他以后会去她那里，论文由她先保管。

我希望能在有生之年用厄多斯方法解决我的猜想，发表计划合写的论文，那时我的厄多斯数就可以变为1了。

厄多斯奇怪的行为

保罗舅舅身高5英尺6英寸（约1.68米），体重只有130磅（约59千克），自从他的母亲去世之后，他要靠吃一些药包括安非他命来减少他的忧郁症，因此外形看来他真像一个吸毒者。

他由于皮肤敏感，内衣裤及袜子都是丝制的。他不愿与人身体接触，如果你要和他握手，他会把手轻拍你的手上。

他的侄女费德罗（Magda Fredro）说：“他很讨厌我吻他。他的手一天洗50多次，他来我家我的浴室就要遭殃，因为他弄得四处都是水。”因为他不用毛巾擦手，用甩手方式把水甩掉。在上世纪40年代他看最后一本小说，50年代他看最后一部电影，以后他不再花时间读小说和看电影。

在他下榻的数学家家庭，大家都希望他能休息，并强迫他与家人参加一些活动。曾有人带他去看约翰逊航天中心的火箭，他的同事指出：“但他也没看火箭，在那里做数学。”另一个数学家带他去看MIME剧团，但他在演出前开始睡觉。梅尔文·内桑森（Melvyn Nathanson）的妻子在纽约现代艺术博物馆当馆长，有一次有法国印象派大师马蒂斯作品在她的艺术博物馆展出。“我们带他看马蒂斯的作品，”内桑森说，“但他没有看这些画，几分钟后我们结束了参观，他坐在雕塑园做数学。”

对厄多斯来说，只要不是睡觉就是做数学研究。在70年代，有一次他在葛立恒新泽西州的家吃早餐，他们突然聊到另外一个数学家的名字。

厄多斯想起他有一个数学结果要和这位数学家讨论，于是就拿起电话准备告诉这位数学家结果。

葛立恒就提醒他：“加利福尼亚和新泽西相差3个小时时差，那里正是清晨五点，他们正在睡觉。”

“好！他一定在家里。”他还是继续打他的电话。数学第一，睡眠第二。

有人曾问他为什么不考虑别人会怎么样想。他回答得很妙：“路易十四说‘朕即国家’，托洛茨基说‘我是社会’，而我说‘我是实在’（I am reality）。”

1964年，厄多斯开始照顾他的84岁母亲。在此期间，保罗和他的母亲是分不开的。每到一个地方他都带着母亲，直到1971年，母亲死于出血性溃疡。

1971年他的母亲去世，他变得十分沮丧。医生规定他每天服食抗抑郁药安非他命、苯丙胺或利他林10至20毫克，但是长期使用安非他命常常加剧抑郁症，也常常引起刻板的思想和行为，而不是创造力。

厄多斯试图恢复他生活中的某种程度的平衡将自己沉浸在数学里，一天工作19个小时。曾有人劝他不要这么辛劳。他笑着说：“在坟墓里我们有许多睡觉的时间。”

赫伯特·索尔·威尔夫（Herbert S. Wilf，1931—2012）是一个专门研究组合数学和图论的数学家，他写了大量的书籍和研究论文。他是宾夕法尼亚大学的数学教授，是金芳蓉的博士论文导师。他于1994年创办组合学电子杂志，是其编辑、总编辑，直至2001年。

威尔夫有一次参加一个会议，早上走出住宿的院子准备去吃早餐，厄多斯刚吃过早饭回来，两人路上相遇，威尔夫习惯问候：“早上好，保罗。你今天好吗？”

厄多斯挡住走道，出于尊重，威尔夫停下来。两人只是站在那里默默地对视……最后，经过一段沉默，厄多斯说：“赫伯特，今天我感到非常难过。”威尔夫说：“我很遗憾听到这个消息，你为什么要哭呢？”

“伤心！”厄多斯说：“我感到非常难过，因为我很想念我的母亲。你知道她已经死了。”

威尔夫说：“我知道，保罗。我知道她的死亡，感到非常难过，为你我们也一样难过，但她不是大约五年前死了吗？”

他说：“是的，是的，但是我非常想念她。”

1979年葛立恒和保罗舅舅打赌，如果他一个月能不服安非他命的话，他就给他500美元。

保罗接受了这个打赌，可是这一个月他却很不好受，就像一只冷藏室的火鸡，一点活力也没有，可是他就是不动安非他命，最后葛立恒输了，写了一张500美元的支票给他。

保罗说：“你已让我证明我不是上瘾的人，可是这一个月我什么东西都做不出来。有天早上我起床，瞪着空白的纸张，什么思想也没有，我一点想法也没有，就像一个普通人，你让数学停滞了一个月！”厄多斯认为这是一个愚蠢的赌注。

于是他继续服用安非他命，数学问题和文章又源源而来。大家想他要吃药就让他吃，反正他的时间不多，数学如果因为他的吃药而有进展，这也不是一件坏事。

1987年11月，霍夫曼在《大西洋月刊》写了一篇关于厄多斯的文章，并讨论了厄多斯服食安非他命的习惯。厄多斯喜欢这文章，他说：“除了一点……你应该没有提到有关安非他命的东西。这并不是说你错了。只是，我不希望孩子认为他们必须采取药物才能在数学上成功。”

有一年在洛杉矶，厄多斯因不遵守交通规则而被扣，身上又没有身份证和现金。警察威胁说要把他送进监狱，于是厄多斯出示了他的一本厚厚的论文选集 The Art of Counting ，卷首插图有他的满面笑容的照片。警察耸耸肩，权作它是他的身份证。后来加州大学洛杉矶分校（UCLA）的布鲁斯·罗斯柴尔德（Bruce Rothschild）替他支付了罚款。

贫穷但有一颗黄金般的心

1997年1月10日，美国数学学会在圣地亚哥举行会议。加拿大数学家理查德·盖伊（Richard Guy）回忆厄多斯的一些往事：在30年前，他们一起参加意大利的会议，住在罗马的Parco dei Principi旅馆。

有一天厄多斯走过来问他：“盖伊，你要喝咖啡吗？”盖伊说他不太爱喝咖啡，当年一杯咖啡是一元美金，算来是相当贵，盖伊想知道厄多斯找他喝咖啡的原因，于是就进入咖啡室叫了两杯咖啡。

咖啡来了，厄多斯就说：“盖伊，你真是无穷的富有，借我一百美元！”

这令盖伊感到惊奇，不是厄多斯要向他借钱，而是厄多斯能给予他助人的机会。他说厄多斯比他更了解自身，从此他知道不但在物质上他是无穷富有，在精神上他有数学及能认识厄多斯，他真是富有的人。

厄多斯有一颗黄金般的心，经常慈善捐款。厄多斯每见到一个无家可归的人，总要给他些钱。拉曼（D. G. Larman）回忆道：“在20世纪60年代初，当我还是伦敦大学学院的一个学生时，厄多斯来这儿讲学一年。第一个月的工资刚发下来，厄多斯就在尤斯顿车站碰上一个乞丐找他要茶钱。他从放工资的口袋里留出支付自己简单生活的少量费用后把剩下的钱都给了乞丐。”

厄多斯到印度演讲，把他所得的报酬全数给了印度早逝天才拉马努金（S. Ramanujan）的遗孀。

厄多斯喜爱古典音乐，他可开收音机从清晨至半夜，当他得知艰难起步的古典音乐电台缺资金，他就会捐一些钱。他也捐钱给孤儿抚养所、以色列女校等，在他去世一年后，受他捐赠的组织还给他写信表示感谢。

40年代的时候，在洛杉矶的加州大学曾经有过为中国举行的募捐活动。人们知道他对女性没有兴趣，但同情内战受苦的人民，有“损友”向厄多斯提议，如果他跟他们一起去看脱衣舞，那么他们就捐献100美元。出乎众人的意料，厄多斯竟然同意了。当他们支付了100美元时，厄多斯眉开眼笑狡黠地说：“噢，我骗了你们。我取下了眼镜，便什么都看不到了！”

1983年，厄多斯与陈省身同获沃尔夫奖，但他只保留了720美元，其余奖金49 280美元，半数帮他匈牙利表弟买房子，其余半数捐出给以色列作为纪念父母的奖学金。

亚里士多德在《形而上学》中开篇的话就像讲厄多斯：“他们为求知而从事学术，并无任何实用的目的……我们不为任何其他利益而找寻智慧：只因人本自由。”厄多斯爱说：“有位法国社会主义者说私有财产是窃取之物，而我认为私有财产就是累赘。”

纽约库朗研究所数学和计算机科学教授乔尔·斯宾塞（Joel Spencer）和厄多斯合作，他说的下面这一段话已经能够说明厄多斯对数学精神的影响：“是什么使得我们这么多人聚集在他的圈子里？怎样解释我们在谈论他时获得的欢乐？为什么我们会喜欢讲述厄多斯的故事？我曾经对此思考过很多，我想这是一种信念（belief），或者说信仰（faith）。我们都知道数学的美，而且我们相信她的永恒。上帝创造了整数，剩下的都是人的工作。数学真理是亘古不变的，她存在于物理现实之外。举个例子，当我们证明了‘若n≥3，则任两个n次幂之和都不会是n次幂’的时候，我们发现了一条真理。这就是我们的信念，是我们工作的动力。然而，对一个数学界以外的朋友解释这种信念，就像是对无神论者解释上帝。保罗实践了这种对于数学真理的信仰。他把他的全部聪明才智和超人的力量都贡献给了数学的殿堂。他对他的追求的重要性和绝对性毫不怀疑。了解了他的信仰，你就会产生同样的信仰。我有时会觉得，宗教界的人士比我们这些理性主义者更能够理解这个独特的人。”

用金钱刺激解决难题

厄多斯说：“上帝可能在宇宙万物中不掷骰子，但奇怪的事是正在素数中发生。”（God may not play dice with the universe，but something strange is going on with the prime numbers.）

厄多斯认为，上帝有一本天书，包含了所有数学定理与它们绝对最美丽的证明，当厄多斯要表达特别赞赏一个证明，他感叹地说：“这是一个天书里的定理！”

他问x x y y =z z 是否有非x=y=z=1的整数解？在1940年，柯召发现以上的方程有无穷多解。现在问题是柯召发现的是不是全部的解？是否还有新的解可以找出来？

他与斯特劳斯猜想：对于任何整数n≥3，方程： 可以找到满足1≤a＜b＜c的整数解。这问题还没解决。斯韦特（A. Swett）证明猜想对所有n≤10 14 是正确的。见Swett，Allan. “The Erdos-Straus Conjecture”. http://math.uindy.edu/swett/esc.htm.Retrieved 2006-09-09.

对于任何正整数n，小于n且与n互素的数的个数是ϕ（n），我们如果将这些数排列如下：1=r 1 ＜…＜r ϕ（n） =n-1，厄多斯在40多年前猜想一定能找到一个固定的常数C，使得

他拿出250美元作为奖金，如果有人能证明或者反证这个猜想，就可以得到这笔奖金，可惜这问题还未解决。

他提出许多数学问题及一些猜想，有时还附上奖金，数目最低是50美元，然后是100美元、400美元、500美元，高的可达1 000、2 000、3 000美元甚至10 000美元。他的同胞施米列迪（Szemeredi）在年轻时，就曾解决了他的一个问题而获得1 000美元的奖金。在他的“金钱刺激”之下，有许多人研究他所认为重要及有趣的数学难题。许多人就算后来解决了他的问题，也很少有人向其索取奖金。

有一个故事：他在以色列特拉维夫做了一个演讲，“鼓吹”他的猜想并提供奖金，首次证明或反驳他的猜想可得高达10 000美元。第二天早上做另一个演讲时，向他索取奖金的数学家排成一条长龙。

10 000美元猜想：连续素数往往相距甚远。猜想：对于每一个实数C，有无限多第n个素数和第n+1个素数之间的差超过

Clog(n)log（log(n)）log（log（log（log(n)）））/log（log（log(n)）） 2

100和25 000美元猜想：先定义什么是“早期素数”，一个早期素数是指小于其相邻两素数的算术平均的素数。2，3，5，7，11，13，17里3，7，13是早期素数。早期素数猜想：连续早期素数对有无穷多个。更大的奖额将被授予一个反证。

整数序列1，2，3，4，5，…有这样的性质

厄多斯提出了如下猜想，并悬赏3 000美元证明：如果任意整数数列a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，…具有性质

那么我们一定可以在这数列里找到任意长的等差数列。

这结果如果能证明的话，我们将知道许多美妙的数学定理，譬如说我们考虑素数数列{p 1 ，p 2 ，p 3 ，p 4 ，p 5 ，p 6 ，…｝={2，3，5，7，11，13，…}。

欧拉证明这些素数的倒数和

因此我们可以找到由素数组成的任意长的等差数列。

2004年4月18日，加拿大不列颠哥伦比亚大学的本·格林（Ben Green）和美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）的陶哲轩（Terence Tao）两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值k，存在k个成等差数列的素数。

例如k=3，有素数序列3，5，7（每两相邻素数差是2）。

k=4，素数序列11，17，23，29是含4个素数的间距为6的素数等差数列。

k=10，有素数序列199，409，619，829，1 039，1 249，1 459，1 669，1 879，2 089（每相邻两数差210）。

他们将长达50页的论文——《素数含有任意长度的等差数列》——张贴在当日的预印本网站上，并向美国的《数学年刊》（ Annals of Mathematics ）投稿。

这问题有中学数学程度的人就可明白，但解决不容易。

乌拉姆去世后，厄多斯说：“他真的很幸运，并没有遭受年迈体衰和老年痴呆这两大恶魔的折磨，他在依然还能求证、还能猜想的时候猝死于心脏病，死时没有痛苦，没有恐惧。”1996年9月20日保罗也是如此：两次心脏病发作而去世，去世前他开玩笑说：“一天一个医生，不需要任何苹果。”我把他的话改一下：“一天两次心脏病发作，永远不需要任何医生。”

在布达佩斯举行了厄多斯的葬礼，超过500人出席。他的遗体火化，骨灰被埋在他母亲的遗体旁。

金芳蓉在《厄多斯论图以及未解决的问题》中有一篇《回忆厄多斯》的文章讲述与他工作的体会：“在数学中，保罗善于识别问题的序列，从具体和重要的特别情况，到同时提供洞察力的一般性问题，推动基本理论。与保罗工作像爬山。每次当我认为我们已经达到了目标，并当之无愧应休息一下，保罗指出另一座山的顶部，要我们继续前去。他强大的直觉就像一盏指路明灯，他通常提前行进没有任何犹豫。有时，他可能会犯错误，但一个失误只会加强他的决心（和提醒我们有人类的这位伟人）。”

葛立恒说，厄多斯死后遗留约25 000美元，在1996年11月由厄多斯的朋友的一个委员会决定，设立以厄多斯的名字的奖励。金芳蓉和葛立恒决定还是赞助厄多斯图论中的问题，发表在《科学》杂志的一篇文章意味着他们仍然赞助厄多斯的一般问题。如果你解决厄多斯的有奖问题，葛立恒可以给你一张厄多斯签署的支票作为奖品，或由葛立恒本人签署可兑现的支票。

下面列出几本厄多斯的书，他的思想深刻与前瞻性依然值得后人学习与发展。