下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
设某种商品的价格为 p ，销售量为 q ，则销售收入 R 是销售量 q 的函数：
这时 q 是自变量， R 是函数。
若已知收入
R
，反过来求销售量
q
，则有
，这时
R
为自变量，
q
变成了函数。
R
=
pq
与
是同一关系的两种写法，但从函数的角度来看，由于对应规律不同，它们是两个不同的函数，我们称它们互为反函数。
例如，在函数
y
=2
x
（
x
∈
R
）中，
x
是自变量，
y
是
x
的函数；由
y
=2
x
可以得到
（
y
∈
R
），
y
是自变量，
x
是
y
的函数，此时我们则说
是函数
y
=2
x
的反函数。
一般地，函数 y = f （ x ） （ x ∈ D ）中，设它的值域为 M 。我们根据这个函数中 x ， y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = φ （ y ）。如果对于 y 在 M 中的任何一个值，通过 x = φ （ y ）， x 在 D 中都有唯一的值和它对应，那么 x = φ （ y ）就表示 y 是自变量， x 是 y 的函数，这样的函数 x = φ （ y ） （ y ∈ M ）叫做函数 y = f （ x ） （ x ∈ D ）的 反函数 ，记作
在函数 x = f -1 （ y ）中， y 是自变量， x 表示函数。但在习惯上，我们一般用 x 表示自变量， y 表示函数，为此我们常常对调 x = f -1 （ y ）中的字母 x 、 y ，把它们改写成为 y = f -1 （ x ）。我们称 y = f -1 （ x ）是函数 y = f （ x ）的 矫形反函数 ，简称 反函数 （今后凡不特别说明，函数 f （ x ）的反函数都采用这种经过改写的形式）。而 x = f -1 （ y ）为 y = f （ x ）的 直接反函数 ， y = f -1 （ x ）是 y = f （ x ）的 反函数 。
例如
y
=2
x
的直接反函数为
，反函数为
。
如果函数 y = f （ x ） （ x ∈ D ）的反函数是 y = f -1 （ x ），那么在直角坐标系 xOy 中，它们的图像有什么关系呢？
例1.11 求函数 y =3 x -2 （ x ∈ R ）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像。
解
由
y
=3
x
-2得
。因此函数
y
=3
x
-2 （
x
∈
R
）的反函数是
函数
y
=3
x
-2和它的反函数
的图像如图1-9所示。
图1-9
从图1-9中可以看出，函数
y
=3
x
-2和它的反函数
的图像是关于直线
y
=
x
对称的。
一般地，函数 y = f （ x ）的图像和它的反函数 y = f -1 （ x ）的图像是关于直线 y = x 对称的。
请思考：
y
=
x
2
和它的反函数
y
=
的图像有关系吗？
1.求下列函数的反函数。
(1
(2) y =ln(2 x -1).
2.求函数 y = x 3 （ x ∈ R ）的反函数，并画出该函数与它的反函数的图像。