3.2 导数计算

3.2.1 求导公式

由前一节的介绍可知，根据导数的定义可以求函数的导数。但是，如果对每一个函数都按导数的定义来求导，其计算将会比较复杂，甚至比较困难。因此，有必要找到一些基本公式与运算法则，借助它们简化初等函数求导计算。

为了运算方便，下面先给出基本初等函数的导数公式，见表3-1所列。这些公式有的在3.1中已经得到，有的将随着导数运算法则的引入而得到，有的可参阅相关教材。

例3.9 设函数（1） y = x 10 ，（2） y = ，（3） ，（4） y =log 3 x ，（5） y =ln 3，分别求出它们的导数 y ′。

解 由导数公式得

例3.10 （1）设 y = ，求 ；（2）设 y =log 3 x ，求（log 3 x ）′| x =3

解 （1） 由于 ，所以

（2） 由于 ，所以

3.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则

设函数 u = u （ x ）和 v = v （ x ）在 x 处可导，则其和、差、积、商在 x 处也可导。

特别地，（ Cu ） ′ = Cu′ （ C 为常数）

特别地， （ v ≠0， C 为常数）

例3.11 求函数 f （ x ）= x 3 +sin x 的导数。

解 f′ （ x ）=（ x 3 ） ′ +（sin x ） ′ =3 x 3-1 +cos x =3 x 2 +cos x 。

例3.12 求函数 f （ x ）=e x cos x 的导数。

解 f′ （ x ）=（e x ） ′ cos x +e x （cos x ） ′ =e x cos x -e x sin x 。

例3.13 求函数 的导数。

例3.14 求函数 f （ x ）=tan x 的导数。

例3.15 求函数 f （ x ）=sec x 的导数。

例3.16 求曲线 y = x ln x 的平行于直线2 x-y +3=0的切线方程。

解 本题切线的斜率间接给出，只要求出切点即可。

设所求切线的切点为（ x 0 ， y 0 ），因曲线为 y = x ln x ，所以

又因直线 2 x-y +3=0的斜率为2，且其与所求切线平行，因此可知所求切线的斜率也为2，故

3.2.3 高阶导数

函数 y = f （ x ）的导数 f′ （ x ）一般也是 x 的函数，对 f′ （ x ）的再求导数，称为 f （ x ）的 二阶导数 ，记作 f ′′（ x ）， y ′′；或 。

类似地，我们还可以继续求导，得到三阶导数 y ′′′，四阶导数 y （4） ，乃至 n 阶导数 y （ n ） 。二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数 ，而 f′ （ x ）称为 y = f （ x ）的一阶导数。

由此可知，求高阶导数只要反复应用求一阶导数的方法即可，下面举例说明。

例3.17 已知 y = x 3 +ln x ，求 y ′， y ′′及 y ′′′。

例3.18 求 y = x arctan x 的二阶导数 y ′′

例3.19 设 。

习题3.2

1.求下列函数的导数

2.求下列函数的导数

3.设 ，求 f ′（4）。

4.设 ，求 f ′（e）。

5.求 f （ x ）= x 3 +2 x 2 在 x =1处的切线及法线方程。

6.曲线 y = 上哪一点的切线垂直于直线3 x + y +1=0？

7.已知物体的运动规律为 s =2 t 2 + t （m），求这物体在 t =2（s）时的速度。

8.求下列函数的二阶导数

(1) y = x 3 +3 x 2 +2;(2) y = x ·sin x +cos x ;(3) y = x 2 +2 x +ln 2;(4) y = x e x . 6JaqdUR1Ag5s22O2SutjoLwXtrWMEKZt7l2rz3PETXNBQX7qximEMFeVLI/cAXQK