2050年的数学

I.斯特瓦特
Ian Stewart

在所有的科学中，数学大概具有最悠远而连绵的历史——只有天文学能跟它比。两种学科至少都可以追溯到古巴比伦时代，那时的发现在今天依然是重要的。天文学建立在过去的发现上，数学也一样。天文学的基础是对现实世界的观测，而数学则是共有的思想的社会结构；但思想是天文学的驱动力，而数学却在对真实世界的模拟中成长起来——它记数过去的日子，测量田地的大小，计算给国王的贡品。

在天文学里发生过几次革命。旧的概念被推翻了，新的迥然不同的概念出现了。例如，1877年，意大利天文学家斯基帕雷利看到了火星的 canali （“河道”），这个发现的误译很快传开，使很多人（甚至一些天文学家）相信火星上居住着智慧生命。 现在我们有了更好的认识。人们常说，数学不可能有革命，因为数学真理的本质是不会改变的。但是，人的态度在改变，数学中最大的革命之一就是改变我们关于数学“真理”的概念。因为哥德尔（Kurt G del）和图灵（Alan Turing），我们才发现原来数学的真理也不是绝对的。

未来50年里，数学将发生几场大的革命。有的已经在发生了——计算机不断增大的影响，生命科学和金融行业提出的新的挑战。还会出现别的，但我们只能说，许多事情是不可能预言的。不同的评论家都预言数学证明的观念会发生改变，那可是数学的核心概念。有些人说计算机将带来一个根本不同的数学证明的概念，还有些人则认为那样的概念将彻底消失。两种观念都在根本上错看了当前的潮流。在数学中，证明取代了其他科学中观察和实验的地位——就是说，数学通过证明来避免被个人的聪明引向歧路，避免因为喜欢而相信并不真实的东西。显微镜的发明不能取代生物学实验，计算机同样也代替不了数学证明。正如我们在这个生物学的类比中看到的，计算机修正和强化了证明的技术，但是没有改变基础的哲学——证明说的是逻辑的一贯性，从已知的定理导出新的定理，而推导的路线应该能经受任何怀疑专家的最仔细的审查。在未来50年里，证明的概念仍将完整地保留下来，我们仍然相信它是数学事业中最基本的东西。

数学的力量来自两个不同源泉的汇流。一个是“真实的世界”。开普勒、伽利略、牛顿等告诉我们，外在世界的诸多方面可以通过简单而微妙的数学法则（“自然定律”）来认识。有时物理学家会修正这些定律的形式。牛顿力学让位给量子力学和广义相对论，量子力学让位给量子场论，量子引力和超弦指引着未来的理论修正的方向。现实世界的问题激发新数学的产生，即使产生它的理论改变了，那数学往往还在，而且依然重要。

数学的第二个力量源泉是人类的想象力——为了数学而追求数学。从真实世界到一个圆满的数学分支要走过一段艰辛的路程：需要经过一定的探索，而勇敢的先驱者们常常在追求个人的幻想中脱离主流，然后发现更好的路线。对这些先驱者来说，探索的价值是显而易见的：那正是他们的动力，除了它本身的意义，不需要更多的理由。

这两种作风的数学通常被划分为应用数学和纯粹数学。这两个词都不够准确，都是容易误会的概念。许多“应用的”数学实际上没有应用于任何现实的事物；“纯粹”数学的纯粹指的是它的方法，而不是说它轻视这门学科的实用价值。不过，这两个名词的确说明了不同数学风格的两个极端——而全部数学则是联系外在世界的规则与人类神奇想象力的一个统一的整体。正是这样的整体性和它双向的思维路线，才给数学带来了那么巨大的威力。我们要进步就需要那两种作风，硬说一个比另一个更优越是毫无意义的。

100年前，很多数学家拓展了那个数学体。才过50年，它已经庞大到没有人能完全把握了，于是个人越来越专业，生出四分五裂的学科。纯粹数学家与应用数学家分化为两大阵营，各自怀有不同的哲学。关于基础，关于证明的需要，关于方法，关于问题的意义，他们都抱着不同的看法。他们仿佛是从一个大的教派分裂出来的两个派别。但是在新千年到来时，这种自我分裂的趋势发生了逆转。纯粹数学的方法为应用数学带来了新的活力；应用中出现的问题刺激了纯粹数学的新发展。两家的界线开始模糊了，其实，那本来就不是什么实在的界线，而主要在于认识的分歧。在未来的50年里，涌向更大统一的潮流将越来越快，那时候，我们将只有数学家，没有定语的限制，没有派别的争论。专门化的专家还是存在的，不过，他们的专业将融合纯粹数学的抽象逻辑和概念意识与应用数学的具体考虑。我们都将成为数学家，为了那共同的伟大目标奋斗，徜徉在伟大的“超智慧”集合的数学的一块小小的自我天地中间。我们将认识徜徉在其他小天地的伙伴，我们会感谢他们的存在，尊重他们的活动，因为他们的贡献，数学才更加光大。

关于未来50年，有一点我们可以满怀信心：我们会看到巨大的进步。数学的黄金年代不在古希腊，不在文艺复兴的意大利，也不在牛顿的英格兰，而在今天。在50年里仍然跟今天一样。这个观点的最好证明是在未解的大难题上取得的进步。那些问题提出几百年了，曾一直困惑着一些伟大的头脑，直到有一天我们发现了走近它的路线，产生了新的思想，那难题才张开缺口。最近，怀尔斯（ Andrew Wiles ）证明了费马大定理，这是一个最好的例子。 大约1637年，费马（Pierre de Fermat）在他的丢番图（Diophantus）《算术》（Arithmetica）的页边写道，两个完全立方数之和不可能等于另一个完全立方数，四次方以及更高的次方，都是如此。几百年来所有关于这个问题的证明的努力都失败了。到1995年，怀尔斯才赢得了20世纪的这场最伟大的数学胜利。他的解决运用了一个新方法：将费马的表述转换为一种意义更加广泛的关于“椭圆曲线”——一个截然不同的数论领域——的命题，然后把每一种可能的现代工具都用进来对付这个新生的问题。

当前，最有名的一个未解难题是黎曼猜想，这首先是黎曼（Georg Bernhard Riemann）提出来的。这是复分析里的一个相当专门的问题，它猜想的答案可能为素数理论、代数数论、代数几何甚至动力学带来曙光。近些年来，还出现了它跟量子物理学的有趣联系。我想大胆预言，到2050年时，黎曼猜想会得到证明——人们期待的那个结论是正确的——而它与物理学的联系将在证明中发挥巨大的作用。不过，保守些说，我想解决猜想的最后路线不会基于它今天跟物理学的联系，真正的联系还难以想象。

1900年，那个时代最伟大的数学家希尔伯特提出了未来需要解决的23个重大问题。多数问题都解决了，但黎曼猜想还没有。2000年，麻省剑桥的克莱（Clay）数学研究所提出了7个久远的难题，每个问题悬赏100万美元。 [13] 其中一个就是黎曼猜想。另外几个问题是：庞加勒（H.Poincaré）猜想，关于三维球面的几何特征；理论计算机科学的P/NP问题，要求证明困难计算确实存在；代数几何中的霍吉（Hodge）猜想和伯奇/斯温纳顿-代尔（Birch/Swinnerton—Dyer）猜想；粘性流体动力学的纳维尔-斯托克斯（Navior—Stokes）方程的解是否存在；证明量子场论中的“质量间隙假设”。我想，我们到2050年会对那7个问题有更多的认识，发现不同的结果。大概，庞加莱猜想那时还会悬着，P/NP问题将证明在形式上是不可确定的，霍吉猜想将被否定，伯奇/斯温纳顿-代尔猜想将被证明，纳维尔-斯托克斯方程在一定的奇异条件下没有解，质量间隙可能通过这样那样的方法解决，不过物理学家不会再对它感兴趣了。

700万美元的奖金不会把数学家引上新的路线。无论如何那是不可能的，因为数学家不像分子生物学家那么特别受金钱的诱惑。不过，它还是会达到一个目的，向圈外的人说明那7个问题有多重要——从而更一般地说明数学有多重要。我很愿意猜测这个信号会传到政府的基金管理部门，他们最终会认识到，把几十亿美元花在数学上，比花在新粒子加速器的零碎上或者别的什么庞大的生物学的“集邮”活动 ，更能实质性地改变人类的生存状态，能产生更积极的影响。我想说，但我不会说。

P/NP问题是关于计算机的，却不是计算机所能解决的。它需要的是一个旧时的好思想。因为这个特殊的问题，计算机什么忙（即使是探索性的）也帮不了，不过它们能发挥别的作用，告诉数学家可能有什么猜想，然后数学家去寻求证明。我们现在越来越离不开这样的作用了。更重要的是，计算机将在许多证明里起着关键性的作用，这已经成为时下的趋势。在适当的程序下面，今天的计算机远不是60年代闹哄哄的数字机器所能比拟的，它们已经可以在严密的逻辑下充当我们证明问题的“助手”了。最有名的例子是阿佩尔（Kenneth Appel）和哈肯（Wolfgang Haken）1976年对四色定理的证明。那个定理最早是古斯里（Francis Guthrie）在1852年提出的，说的是平面上任何一幅地图只需要四种颜色就能区别出任意相邻的两个国家。证明的基本思想是把定理归结为一个程式化的识别过程，确认大约2000种特殊的地图（那是没有使用计算机发现的）具有一种特殊的数学性质。计算机进行了必要的计算，证明果然是那样的。

有些哲学家认为，计算机辅助证明在本质上完全不同于传统的证明，因为那样的计算不能由空手的人来检验。然而我们要问，为什么把人对证明的检验放在第一位呢？在这里，关键问题在于检验，而不在于什么样的检验主体。过去是人在检验，因为那时没有别的选择，但未来不一定还是人。首要的准则是检验的主体必须是可信的，谁如果不相信它，可以借助其他独立的主体来做出自己的检验。只要这样的条件满足了，机器的判断与人的判断就是同样有效的。多数数学家希望计算机在投入运行的时候，能比人少犯计算或逻辑的错误。实际上，四色定理的历史中杂乱堆砌着人的错误。重要的还在于计算机程序的逻辑，在于机器是否真的朝着设计者的方向运行。这两件事情是可以独立检验的。“思想”部分现在还一直有人做——改变问题的形式，把它约化为大量的程式化的计算。然后，用计算机来算，抑或拿数学手册来帮助计算，在哲学上并没有什么不同。

在数学证明中让计算机充当探索的助手——就像生物学家的扫描隧道显微镜和基因排序机器一样——这种趋势将生根在2050年的数学中。那时会出现“虚拟的非现实”（VU）系统，数学家可以去“访问”抽象的概念结构，如非欧几何和大素数的范围，还可以任意操纵它们，几乎不费一点儿力气——跟我们今天拿计算器做算术一样。VU的原料已经备齐了，很快就能装配起来。软件工程师的需要将激发组合数学（有限的数学）的新发展。组合数学与几何学在今天难得发生相互作用，那时却能通过电路设计和逻辑函数的关系而结成亲密的伙伴。

在牛顿时代，数学问题的主要外部来源是天文学和力学，也就是自然科学。到2050年，更奇异的学科还会以同样的方式涌进数学。其中一个就是已经高度数学化了的量子物理学。今天，量子场论、几何学、拓扑学和代数学之间开始显现出新的令人惊奇的联系，跟着还会有更多。在未来50年里，量子场、超弦以及它们之外的各色理论所激发的新结构，将开出全新的代数和拓扑的天地。19世纪的数学家把传统的“实”数推广到“复”数，让“-1”有了平方根，也给数学带来了无限的生机。很快，数学的每一个领域都“复化”了：产生了与旧的实数的数学一样的硕果累累的复数的数学。量子化是21世纪的“复化”，我们将走进量子代数、量子拓扑、量子数论。

然而，影响更大、更剧烈的却是生命科学激发的数学：生物数学。尽管人类基因组计划成功了，它的结果却面临着新的现实问题。人们清楚地发现，DNA序列没有带来治病的良方，更没有为我们带来对生命的更深远的认识。在我们关于基因和生命的认识之间还存在着巨大的鸿沟。关于如何维护我们的生态系统，如珊瑚礁和热带雨林，基因序列没有告诉我们一点东西。人们曾经相信人类基因组有10万个基因，结果错了，只有34 000个。从基因走向蛋白质，那路线图比我们想象的复杂得多；实际上，也许根本没有那样的地图。基因是一个动态控制过程的一部分，那个过程不仅制造蛋白质，还不断修正它们，使它们在演化的生命里，在生命历程的恰当时刻，找到自己恰当的位置。认识这个过程所需要的远不仅是一列DNA密码，而我们缺少的多数东西都是数学的。不过那将是一门新的数学，把生命生长动力学与DNA的分子信息过程融合起来的数学。DNA密码依然重要，但不是全部。新的生物数学可能是组合数学、分析学、几何学和信息学的奇异混合。当然，还要加上许多生物学。

在这个方向上，复杂系统的科学在不知不觉中蓬勃发展起来了。所谓复杂系统，指那些由大量以简单方式相互作用的、相对简单的组分（“中介”或者“实体”）所形成的系统。我们已经知道，表面上的简单是骗人的：从简单里能产生出高级的模式，即所谓的“突现现象”。例如，从人脑细胞的连通性产生出人的意识。到2050年，我们将拥有严格的关于突现现象和复杂系统的高级动力学的数学理论。它不仅会带来我们不曾梦想的概念，还将重新认识科学中的数学模型的局限。今天，复杂系统的研究主要在两个领域——生物和金融。例如，股票市场有许多中介，它们通过买卖股票相互影响。金融世界就从这样的相互影响中突现出来。金融和商务的数学将在革命中产生，它要抛弃现在流行的“线性”模型，带来数学结构更能准确反映现实世界的模型。

更引人瞩目的是，数学将走进整个人类活动的领域——走进社会、艺术甚至政治。然而，我们不会像今天的自然科学那样运用新的数学。在物理学中，数学用来表达定量的定律，而对现实世界的预言通常是大量计算的结果，在这些计算中，定律与产生的模式之间的联系不是我们的大脑所能跟踪的。例如，为了模拟飓风的巨大涡旋，我们需要写下几十亿个小区域暖湿气体的运动方程，然后通过大量的计算来解这些方程。另一个方法是从方程的一般结构（如对称性）导出涡旋的形态，不过现在还不够成熟。一种“涡旋的微积分”有可能把我们从无穷的数字纠缠中解放出来。更一般地说，我们有希望看到一个关于动力学模式形成的定性的、上下关联的理论出现在眼前。

最后，数学将帮助我们重新认识宇宙的模式——通过模式本身，而不是几十亿个跳动的数字，尽管模式是从那些数字中魔幻般产生出来的。

斯特瓦特（Ian Stewart）

斯特瓦特（Ian Stewart）因为对科学普及的杰出贡献而获得1995年皇家学会法拉第奖章。他为许多普及杂志写过大量关于数学的文章，如《发现》（ Discovery ）、《新科学家》（ New Scientist ）和《科学》（ The Sciences ）。他为《科学美国人》（ Scientifc American ）写过10年的“数学娱乐”专栏文章，也是《新科学家》杂志的数学顾问。另外，他与Jack Cohen合作写了《混沌的衰落》（ Collapse of Chaos ）和《实在的幻境》（ Figment of Reality ），还独自完成了《上帝掷骰子吗？》（ Does God Play Dice ?）、《可怕的对称》（ Fearful Symmetry ）、《从这里到无限》（ From Here to Infnity ）、《大自然的数》（ Nature’sNumber ）、《生命的另一个秘密》（ Life’sOtherSecret ）和《更平直的世界》（ Flatterland ）。

[13] 为了迎接新千年的到来，克莱数学研究所悬赏了7个数学难题。下面根据克莱研究所网站提供的材料简单介绍一下这几个问题：（1）我们都熟悉勾股定理，x 2 +y 2 =z 2 ，关于它的整数解的问题在欧几里得时代就解决了。但是，类似的更复杂的方程却没有一般的解决办法（希尔伯特第10个问题）。伯奇/斯温纳顿-代尔猜想，假如方程的解是阿贝尔型的变量，则解的数量跟ζ函数在s=1附近的行为有关[所谓ζ函数即ζ（s）=1/2 s +1/3 s +1/4 s +……s是复数]。假如ζ（1）=0，有理数解有无穷多；否则，解的数目是有限的。（2）20世纪的数学家发现，可以把简单的几何碎片粘结起来逼近某个给定的几何体，但有时粘结的碎片却没有几何意义。霍吉猜想说，对某些“好的”空间形式（投影代数空间），那种被称作“霍吉圆”的碎片实际上是所谓代数圆的线性组合。（3）尽管作为流体力学基础的纳维尔-斯托克斯方程已经写下100多年了，我们对它的了解依然浅薄，我们特别希望能从这个方程的数学理论认识湍流。（4）有些问题的答案检验起来很容易，但计算机做起来却需要几乎无限的时间，这就是所谓的NP问题。P问题则可以通过“多项式”的时间算法来计算。这里，P=Polynomial（多项式），NP=Nondeterministic—Polynomial（非确定多项式）。（有意思的是，据说在克莱悬赏之前，中国学者已经把这个问题解决了。）（5）我们知道二维球面（如地球表面）是单连通的（可以收缩为一个点），庞加莱在100年前问，三维球面是怎样的情形呢？（6）黎曼猜想说，ζ函数的非平凡零点都落在实部为1/2的一条直线上。这个猜想联系着许多关于素数分布的难题，例如，哥德巴赫猜想不过是它的一个特例。（7）用杨振宁—米尔斯（Mills）的规范场理论来描写基本粒子的强相互作用时，需要一种微妙的量子性质，即所谓的“质量间隙”：尽管经典的波动以光速运动（质量为0），然而量子粒子却具有正的质量。我们在理论上还不能理解这一点。 0aRKPC1BUmxxlAp4ycL1SjPbELcdiyg56mccA1v2YfPklvaeTK2qnUBSks8LcPY/