第十八节
计算与九章

计数和计算的需要，使数学成为古代学校教育的必修功课。《周礼·大司徒》：“以乡三物教万民，而宾兴之。一曰六德：知仁圣义忠和。二曰六行：孝友睦姻任恤。三曰六艺：礼乐射御书数。”数，就是数学。而具体执行者是“保氏”：“保氏，掌谏王恶。而养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。”“九数”，一般认为就是《九章算术》中的那些内容。

现存的《九章算术》一书，多数学者认为成书于汉代。汉初著名的宰相张苍，中后期的大司农耿寿昌，都精通数学，曾经对该书进行过删补：

自时厥后，汉北平侯张苍，大司农中丞耿寿昌，皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目，则与古或异，而所论者，多近语也。（刘徽《九章算术序》）

张苍在秦朝都已经是成年人。因此，《九章算术》的基本内容，先秦应当都已经具备。西汉末年的郑众解释说，九数就是“方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要”，这应是符合事实的。

所谓方田，就是土地面积计算。当时用的长度单位，是步。一步五尺，长乘宽，二百四十步（平方步）为一亩，相当于六十平方丈。历代尺度大小有许多变化，但五尺一步，二百四十步一亩的数据，一直应用到全国解放初期。

《方田》一章所计算的土地，方形之外，还有“圭田”（三角形）、“斜田”和“箕田”（梯形）、弧田（弓形）等面积的计算。从给出的数据中可以看出，当时使用的圆周率为周三径一。

在田地面积的计算中，涉及分数问题。这一章不仅有分数的四则运算，还有“课分”（比较分数大小）、平分（平均分数的大小）。比如比较8/9和6/7谁大谁小，问1/2、1/3、3/4的平均值是多少，都属于当时土地分配中可能遇到的实际问题。

第二章《粟米》，主要是不同质量与种类的成品粮之间的贸易与交换问题。第三章《衰分》，是按不同等级分发粮食与征收赋税的比例分配问题。第六章《均输》，是按比例分摊赋税和劳役问题，和第二章同类，但计算更为复杂。比如第三章：“今有女子善织，日自倍。五日织五尺。问日织几何？”第六章的比例问题，就更加复杂一些。

与比例相关，对有些问题的解决，在今天看来，应当说是比较巧妙：

今有凫起南海，七日至北海。雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢。答曰：三日十六分日之十五。术曰：并日数为法，日数相乘为实。实如法得一。

笔者曾让一个还不会熟练设未知数的小学生演算。他的方法是：1/7+1/9=16/63；63÷16=31516。问他的理由，回答是：它俩一天飞63分之16。相除，就是需要多少天。也就是“并日数为法，日数相乘为实，实如法得一”。

第四章《少广》，是已知面积或体积求边长或球体直径的题目，要用到开平方和开立方的方法。第五章《商功》，是各种工程问题的体积计算，涉及各种锥体、棱体、楔形体等复杂计算。其中提到实土、夯土和虚土的比例：

今有穿地积一万尺，问为坚壤各几何。答曰：为坚七千五百尺，为壤一万二千五百尺。术地。穿地四，为壤五，为坚三，为墟四。

所谓“穿地”“为墟”，就是挖出的土坑。假如体积为四，则挖出的墟土（壤）体积就是五。如把这些土夯实，则体积缩小为三。这样的比率，在当时的工程中，应当是非常有用的。

第七章《盈不足》，是解决经济生活中多出或者不足的种种计算问题。比如：

今有共买物，人出八，盈三。人出七，不足四。问人数物价各几何？

今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等。交易其一，金轻十三两。问金银一枚各重几何？

其计算方法，不出四则、分数、小数等，但要找到解决问题的途径，则和凫雁题一样，需要聪明和智慧。

第八章是《方程》，是解决多元一次方程题。算式列出后呈方形，所以称为“方程”。其算法和现在一样，也是先进行消元，然后得出结果，区别仅在于不设未知数而已。

第九章《勾股》，即郑众说的“旁要”。勾股术是我国古代数学的重要成就，主要是解决各种测量问题。

《周礼》中规定大司徒用土圭测量国土大小，也用土圭测量日影和“土深”。据《周礼·玉人》，土圭是个长一尺五寸的玉圭，然而起初应当就是用土做的。但在国家诞生以后，逐渐能够使用更加优良的材料，如在周代，就用玉来做。在夏至时，八尺高的表，影长和一尺五寸的土圭长度相等。因此，土圭之法，也就是立表测影的方法。而立表测影中的计算问题，就是勾股法。把测影的方法颠倒过来，就是测量和计算“土深”的方法。《周髀算经》说“偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远”，和《周礼》中的记载，是一致的。因为“矩”这种测量工具，所用的方法就是勾股法。

使用勾股法进行测量的工具之一，是标，就是表。表是一根立柱，是古代常用的标志物。比如打猎要用表：

虞人莱所田之野为表。百步则一，为三表。又五十步为一表。田之日，司马建旗于后表之中……（《周礼·大司马》）

军事上要用表：

荆人弗知循表而夜涉，溺死。（《吕氏春秋·察今》）

据说武王伐纣，胜利后做的几件大事之一，就是“表商容之闾”（《史记·周本纪》）。这个表，当不只是一根立柱，但也是在立柱基础上的发展。

而据《吕氏春秋·慎小篇》所载，吴起治理西河地区，“夜日置表于南门之外”，下令如有推倒这个表的，可以做长大夫。

可以想见，表，作为一种标志物，在古代曾有广泛的应用。宫殿门口的“华表”，不过是表的发展。牌楼，当是表的更进一步的发展。如此广泛应用的标志物，促进了人们通过它去了解高低、远近、大小、深浅的愿望，从而发展出中国数学的勾股术。由此我们也可以推测，古代天文学上广泛应用的“千里一寸”数据，也当是实测的结果。我们可以指责这个数据误差巨大，但如果认为这个数据仅仅是想象的产物，则未免武断。正是立表测量和勾股术的发展，使古代的数学家们企图测量天地的大小。

在中国古代的数学发展中，《周髀算经》的贡献主要有两条：第一是提供了广泛适用的立表测量方法，第二是提供了立表测量的数据计算方法，即勾股术。立表测量应该是很早就有的方法，但《周髀算经》给予了总结和规范化，使之适用广泛。其表高八尺，则应是经过长期实践，发现勾股之间的整数比例的结果。因此，勾股术中的勾三股四弦五是书中所出具的一道例题，而其背后所代表的数量关系是具有普遍意义的描述，而非仅一种单一的特例。从该书关于“句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”的论述中，从该书关于天高、极远的计算中，可以看出，这仅仅是用数字表示的勾2+股2=弦2的关系，具有和所谓勾股定理同等的普遍适用的价值。

1983年底到1984年初，在湖北江陵张家山出土的竹简中有一本《算数书》。该书被认为抄写于西汉初年，其成书时间应该更早。《算数书》共有90多个题目，内容略同于《九章算术》前面的七章，而没有“方程”和“勾股”。在其他地方出土的可能是先秦或接近于先秦的文献中，也有类似的数学内容。这些都进一步说明，《九章算术》的内容先秦基本上已经存在，所以我们把它放在先秦部分加以介绍。