第十七节
数与天数

计数，是人类很早就发展起来的能力。但认为所有的事物都有数量关系，数是它们共同的本质，应该是在春秋战国时代形成的认识。

天是有数的。比如天有多高，有多大。天的极点距离周地有多远，用八尺高的标杆测量，都已经计算出来。天上太阳、月亮运动的轨道，一月、一年的长短，日月会合的时间，也都可以计算出来。天上的星星，也被分为十二个驿站或者二十八个驿站，也是有数的。

地是有数的。地的大小可以测算，地还可能被分为或大或小的若干区域。

人是有数的。不仅人口多少可以按数量计算，人的寿命长短，也是有数的。

各种物体，不仅可以论个计数，它们的大小、轻重等，也都可以计数。人工产品，在制造的时候，也要有数量根据。《周礼·考工记》，就记载了许多器物的各种数据。

有形的事物可以计数，很好理解。无形的事物，有些也可以计数。比如音乐，《国语·周语》载：

是故先王之制钟也，大不出钧，重不过石。律度量衡于是乎生，小大器用于是乎出。（《国语·周语下》）

其他乐器的制造，也要有相应的数量根据。这些数量，决定着乐器的音阶，适当的配合，才形成了优美的音乐。因此，仅仅有声而无形的音乐，也是有数的。这个数量，当时也已经有了计算方法：

古之神瞽考中声而量之以制。度律均钟，百官轨仪。纪之以三，平之以六。成于十二，天之道也。（《国语·周语下》）

所谓“纪之以三”，当就是后世说的“三分损益法”。据《管子·地员》，其方法是：

凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足以是生商。有三分而复于其所，以是成羽。有三分去其乘，适足以是成角。

所谓“三之四开”，就是3连续四次自乘，得81，就是黄钟律，宫音；“三分益一”，就是加上81的三分之一，得108，为徵音；108减去三分之一，得72，为商音；72再加三分之一，得96，为羽音；96减三分之一，得64，为角音。

据《吕氏春秋·古乐篇》，黄钟律的长度为三寸九分。其《音律篇》讲到计算方法，与《管子》相同。但从黄钟开始，不是先加三分之一，而是先减三分之一，然后再产生其他十一律：

黄钟生林钟，林钟生太蔟，太蔟生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生，益之一分以上生。三分所生，去其一分以下生。黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上；林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。

汉代《淮南子》《史记》《汉书》诸书中所说的黄钟律管长度，一般和《管子》一致，为九寸，不同于《吕氏春秋》的三寸九分。产生其他音律的方法，则和《吕氏春秋》相同，都是先下生（减三分之一），然后再上生（加三分之一），而不同于《管子》的先上生。这一条，也可以作为《地员篇》可能作于先秦的证据之一。

《国语》《管子》和《吕氏春秋》中音律的数据，都说明了音乐是可以计数的，因而强化了万物皆数的观念。

社会现象一般难以计数。但是，有些现象也是可以计数的，比如朝代的长短。《论语·尧曰篇》道：

尧曰：咨尔舜，天之历数在尔躬。允执其中，四海困穷，天禄永终。

这里的“历数”，历代都解释为“帝王相继的次序”。这种相继的次序，包含着一种如同历法次序一样的数量关系。比如孟子说：“五百年必有王者兴，其间必有名世者。由周而来，七百有余岁矣。以其数则过矣，以其时考之则可矣。”（《孟子·公孙丑下》）但是也可能包含着帝位时间的长短。周朝后期，楚国军队经过王城时，周王派大夫王孙满劳军。楚庄王问象征国家权力的周鼎轻重如何，王孙满回答说：

成王定鼎于郏鄏，卜世三十，卜年七百，天所命也。周德虽衰，天命未改。鼎之轻重，未可问也。（《左传·宣公三年》）

这三十、七百之数，就是周王朝的“历数”。也就是说，朝代的存亡，也像人的生死一样，是有数可计的。

更难以计数的是那些抽象的事物。《庄子》就认为，有些事物是无法计数的：

夫精粗者，期于有形者也。无形者，数之所不能分也。不可围者，数之所不能穷也。（《庄子·秋水》）

无形者，不仅是音乐之类，还有比如人的思想。不可围者，比如最大的天地，最小的毫毛之类。但是最大的天地，当时已经有了数量。最小的毫毛之类虽然未见计量，但是思想和意志，却也有了计数的可能。比如占卜术，其任务就是预测天地鬼神的意志，而所用的工具，则是计数。《易传》讲：

极数知来之谓占。（《周易·系辞上》）

参伍以变，错综其数。通其变，遂成天地之文。极其数，遂定天下之象。（《周易·系辞上》）

参天两地而倚数，观变于阴阳而立卦。（《周易·说卦》）

由此就可以说，思想、意志之类，也是有数的。

类似于思想、意志的，比如当时争鸣百家都推崇的道，以及都在探讨的人性，一些人认为，也是有数的。《庄子·天道篇》载，造车工轮扁，向齐桓公讲述造车之道：

轮扁曰：“臣也。以臣之事，观之斫轮，徐则甘而不固，疾则苦而不入。不徐不疾，得之于手而应于心，口不能言，有数存焉于其间。臣不能以喻臣之子，臣之子亦不能受之于臣。是以行年七十而老斫轮。”

这里的“数”，不是可以说出的大小多少之类，而是长期积累的对于技术工作中那些非常精微的数量关系的把握。即在今天的技术工作中，仍然有大量的，即便现代精密仪器也难以描述而需要熟练工人去把握的数量关系。

更进一步，道，也被认为有数量关系在内：

于是泰清问乎无穷曰：“子知道乎？”无穷曰：“吾不知。”又问乎无为，无为曰：“吾知道。”曰：“子之知道亦有数乎？”曰：“有。”曰：“其数若何？”无为曰：“吾知道之可以贵，可以贱，可以约，可以散。此吾所以知道之数也。”（《庄子·知北游》）

虽然无为的回答被认为是浅薄的说法，但这说明已经有人将数量关系推广到对道的解说。

同样，也有人将数量关系推广到人性问题：

性者，万物之本也。不可长，不可短。因其固然而然之，此天地之数也。（《吕氏春秋·贵当》）

这些言论表明，至少在当时一部分思想家看来，世界上几乎所有的事物都可以用数量关系加以描述。比如国家的统治，其中有一种数量的关系：

有土之君能察此言也，则灾无由至矣。且夫耳目智巧，固不足恃。惟修其数，行其理为可。（《吕氏春秋·任数》）

圣人之所以过人，以先知。先知必审征表。无征表而欲先知，尧舜与众人同等。征虽易，表虽难，圣人则不可以飘矣。众人则无道至焉。无道至则以为神，以为幸。非神非幸，其数不得不然。（《吕氏春秋·观表》）

国家统治中对于各种事件的洞察或者预测，无非是各种因素大小多少、轻重缓急、荣辱得失的衡量。从某种意义上说，这种衡量就是一种数学运算，类似今天经济生活中形形色色的数学模型。其区别在于，古代依靠的是智者过人的智力，今天则是依靠许多人可以操作的数学工具。

天地之数或称为天数，其意义是说，数量关系都是上天的安排，天命使然。人的言行，都应该遵循而不应该违背：

凡举事，无逆天数。（《吕氏·仲秋纪》）

数既然是上天的命令和安排，也就具有了神圣的意义。这种本来由数学的发展而产生的普遍观念，就成了凌驾于数学之上的神学。在《易传》中，作为计数基础的十个自然数，其中五个奇数被称为“天数”，五个偶数被称为“地数”。把它们以一定的方式组合、推演，得出卦象，预测神意，因而“通神明”也被古代数学认为是数的最大用途。而能够通神明的数，自然其发明权也不会属于人类。于是宋代开始，又有数出于《河图》《洛书》，而《河图》《洛书》是天降的神物的说法。

春秋战国时代，数学的发展使人们可以把世界用数联结成一个有序的系统，因而提高了数和数学的地位。同时也产生了人们对数和数学的崇拜，把数奉为神明的创造，奉为交通神明的工具。这是数学的光荣，也是数学的悲哀。 mUpS5hbddf0qsogICcqRGF0mC5PAkPfdpEYp5D8eL4IeX2pLJKj5WXCcbEcRgfHW