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一元定常流动是一种最简单的流动，它的基本规律为许多工程问题提供了简便的计算方法，也是透平式压缩机理论和工程计算的基础。所谓一元定常流动是指垂直于流动方向的各截面上的流动参数（压力、温度、密度、速度等）都均匀一致并且不随时间变化。这里所指的不随时间变化是说参数随时间的变化率等于零。在一元定常流动条件下导出基本物理定律的数学表达式就是一元定常流动的基本方程，这些方程是连续性方程、动量方程、动量矩方程、能量方程等。下面结合透平式压缩机来导出这些方程。
在具体导出一元定常流动的基本方程式之前先分析一下气体流经离心式压缩机叶轮通道的流动情况，为以后的分析打下基础。
图1-3（a）是离心式压缩机通流部分示意图，图1-3（b）是叶轮进、出口速度三角形。现在来看叶片通道进、出口气体流动情形和速度三角形是怎样画出来的。先看叶片通道进口1-1截面处。气体自进气室流出，气流一般无旋绕运动，即沿叶轮轴线方向流入叶轮入口环形通道，如果在进气室出口处装导流叶片，使气流沿旋转方向产生切向分速度，称为正预旋绕，沿旋转反方向产生切向分速度，称为负预旋。有预旋时，气流螺旋式沿轴向进入叶轮的入口环室。叶轮入口环室是由轮盖和轮盘组成的环形通道（图1-3），中间无叶片，气流按环形通道由轴向方向转向径向方向流向叶片通道，在1—1截面处气流速度为c 1 ，对于无预旋运动的气流，c 1 应该沿半径方向，对有预旋的气流，在环室中不改变旋绕运动方向，流向叶片通道时保留进入叶轮入口时的旋绕运动方向。图1-3上面的c 1 是沿径向方向，无预旋。叶片通道处圆周速度u 1 根据叶轮的转速和直径D 1 很容易确定，按比例将上述两个速度矢量画上，再按平行四边形法则就可得到进入叶片通道的相对速度w 1 （图1-3）。
图1-3 离心式压缩机叶轮进、出口速度三角形
叶轮出口速度三角形的作法与进口相同，只是此时，一般知道的是叶轮出口圆周速度u 2 和相对速度w 2 。气流相对叶片通道流出时，如果叶片无穷多，出气角β 2 会和叶片几何角β 2A 相等，对实际叶轮，叶片数当然有限，气流流出时一般总是要落后一些，即β 2 ＜β 2A 。下面还会来讨论它。总之，可以认定w 2 是确定的，运用平行四边形法则可求得从叶轮流出的绝对速度c 2 ，它是相对于机壳的流速，即流入扩压器的速度。
由速度三角形得出：对1—1截面w 1 =c 1 -u 1 ，对2—2截面，c 2 =w 2 +u 2 。习惯上规定c和u的正方向夹角α为正，而w和u的反方向夹角β为正。在计算中常常需要把速度c、w分解为圆周方向和径向方向的分量，分别称为圆周分速度和径向分速度，由速度三角形可得
同样对轴流式压缩机基元级动叶栅进、出口画出相应的速度三角形（图1-4），其中w 1 是动叶栅进口相对速度，而c 1 是绝对速度，是前级静叶栅的出口速度，w 2 和c 2 分别为动叶栅出口的相对速度和绝对速度，u 1 、u 2 为进出口圆周速度，对基元动叶栅来说，u 1 =u 2 =u。也可以把c、w分解为两个相互垂直的分量，分别为圆周分速度（c u 、w u ）和轴向分速度（c z 、w z ），计算式与式（1-71）和式（1-72）同，只是c r （w r ）用c z （w z ）代替。对于基元动叶栅来说，进口和出口轴向分速度相等。
图1-4 轴流式压缩机基元动叶栅进、出口速度三角形
设气体流经如图1-5所示的流管。在流管中任取两个垂直于流动方向的截面1—1和2—2，以及这两个截面间的流管侧表面组成一个空间（虚线表示的边界所包的体积），这个空间固定不变，而占据这个空间的气体随时间而改变，从1—1截面流入，从2—2截面流出。在气体力学中将这种空间称为控制体，而封闭边界（虚线所示）称为控制面。根据质量守恒定律可知，控制体内气体质量随时间的变化率应该等于流经控制面的气体流量的变化。对于定常流动，控制体内气体质量不随时间变化，因此通过控制面的质量流量变化也应等于零，对于如图1-5所示的流管，经过侧表面无气体流入或流出，因而得出结论：经1—1截面流入控制体的流量和经2—2截面从控制体流出的流量应该相等。即
G 1 =G 2 =ρ 1 A 1 c 1 =ρ 2 A 2 c 2
图1-5 流管
因为控制体是任意取的，所以对一元定常流来说，上式可改写为：
式中，ρ、c分别为任意截面处的气体密度和流速；A是和c方向垂直的截面积。分析式（1-73）可以看出，流管的面积与密流ρc这个量成反比，流管面积增加，量ρc将减小；流管面积减小，量ρc将增加。速度如何变化除了面积的变化影响还要看密度如何变化。对不可压流体ρ为常量，则速度就直接与流管面积成反比即
式（1-74）说明，对不可压缩的一元定常流动来说，流体流速直接随面积减小而增加，或随面积增加而减小。
流量连续方程式在压缩机的气动计算中很有用，例如若已知离心式压缩机叶轮结构参数和气流有关参数，计算叶轮进、出口的流量G，可用流量连续方程分析流道各特征截面间的参数关系等。运用式（1-73）得
对1—1截面：
G=πD 1 b 1 ρ 1 c 1r τ 1
对2—2截面：
G=πD 2 b 2 ρ 2 c 2r τ 2
式中，τ 1 、τ 2 分别称为叶片槽道进口和出口阻塞系数，它是考虑叶片所占面积后的实际有效流通面积与不考虑叶片所占面积的流通面积之比。
动量方程是把牛顿第二运动定律应用于运动流体所得到的数学关系式。根据牛顿第二定律，对控制体来说，外部对控制体内气体的全部作用力之合力∑F应该在数值上和通过控制面的动量对时间的变化率相等，方向一致。对如图1-5所示的控制体来说有∑F=G（c 2 -c 1 ），作用在控制体内流体的外力有如下两类。
（1）控制体外的流体或固体壁作用于控制面上的表面力。在控制面的进出口截面上有压力p 1 A 1 和p 2 A 2 ，方向都指向作用面，由于A 1 、A 2 和气流速度方向垂直，在流动方向上没有剪切力；在控制面侧表面上有法向力（即压力）及剪切力，其合力就是管壁作用于控制体内流体的力，用F B 表示。
（2）作用于控制体内流体的质量力F G ，一般为重力，通常对气体流动忽略不计。
把外力代入上式得
这个方程是常用的基本方程，它的方便就在于只要知道所取控制面上的流体流动情形，就能够直接确定出作用在控制体表面上的力，而不涉及流体在控制体内流动过程的详细情况。
现在运用动量方程来计算气流作用于轴流式压缩机叶栅的作用力。图1-6表示气体流经动叶栅的情况，取控制体abcd，其中流线ab和cd相距一个栅距t c ，分别为相邻两槽道的中心流线，ab和cd平行于叶栅额线mn（所有叶型前缘点的连线）。所取叶栅高度为简单起见认定等于1。假定每个叶栅槽道的气体流动情形完全一样，气体作用于控制面ab和cd的气体压力一样，方向相反，通过这两个控制面没有流量通过，忽略气体重力，运用式（1-75）得
p 1 t c +p 2 t c +R=G t （w 2 -w 1 ）
图1-6 气流对轴流式压缩机动叶栅的作用力
式中，G t 为通过一个叶栅槽道的气体质量流量；R为叶栅作用于气体的作用力，显然，它的量值等于气体作用于叶栅的力P，方向相反。将P投影到圆周方向u和轴向方向z，于是得：
对于基元级来说，一般认为w 1z =w 2z ，故轴向力就简化为P z =（p 1 -p 2 ）t c ，对压缩机叶栅来说，因为p 2 ＞p 1 ，故气体作用于单位长度叶片的轴向力方向和z相反，w 1u ＞w 2u ，且和u相反，故气体作用于单位长度叶片的圆周力和u相反（如图1-6所示）。
动量矩方程在透平机械理论中特别有用，下面结合离心式压缩机来讨论这个方程。取控制体如图1-7中虚线所示，它包围了整个转子，并切割转轴，所有叶片表面就是控制面的一部分。假设在控制面进、出口截面1—1和2—2上，气流参数沿周向是均匀的，则流出与流入的气体对z轴的动量矩的变化量为G（c 2u r 2 -c 1u r 1 ）。为了说明作用于控制体上诸外力对z轴的力矩，以一个叶片槽道为例，在图1-8示意表示出作用于叶片槽道控制体内气体的外力，所有叶片的外力之和就是整个叶轮的外力。从图上可以看出：① 作用在1—1和2—2截面上的气体压力（如图1-8的ab和cd面上的压力p s 、p d ）对z轴的力矩为0；②所有叶片表面对气体作用法向力（p f 、p b ）和切向力（F 1 、F 2 ），设这两种力的合力对z轴的力矩为M z ，如果忽略叶轮和在叶轮与机壳之间间隙中气体的摩擦力矩的话，这个力矩就是驱动机通过轴加于叶轮的转矩。
图1-7 推导动量矩方程用图
图1-8 作用于叶片槽道控制体的力
综上所述，作用于控制体内的气体的外力矩就是M z ，根据动量矩定理，在定常流的假定下有
此式是动量矩的欧拉方程式，它在透平机械理论中有着广泛的用途。对于气体的流动中外力矩M z =0时，则由上式得
此式说明在无外力矩的作用下，气流保持c u r为常数，即随着半径的增加，切向流动速度将减小。
运用动量矩方程很容易求出叶轮对1kg质量气体做的功称为比功h（常称能量头）。如果叶轮旋转角速度为ω，则叶轮对气体做的功为M z ωΔt，流过的气体质量为GΔt，于是对1kg质量气体做的功为
利用式（1-78）得
式（1-80）称为欧拉方程，h称为理论能量头（未包括以后要讲到的轮阻损失和漏气损失），有时又称欧拉能量头。
利用余弦定理，由进出口速度三角形得
于是又可得欧拉方程的另一形式：
对轴流式压缩机基元级来说，u 2 =u 1 =u，因而有
和
上述欧拉方程表明：叶轮对气体做的功只取决于气体在叶轮中的流动情况和叶轮的旋转速度，即由c
u
和u来决定，而与气体的性质无关，这就是说欧拉方程形式对任何气体乃至液体都是适应的；在推导中对气体流动中有无摩擦没有限制，所以对气体流动中有无摩擦也都适应；对离心式压缩机可以借助于u
2
和u
1
的差值来使离心式压缩机级的能量头比轴流式级大，这恰恰是离心式压缩机级压比比轴流式的级压比高的主要原因；式（1-81）等式右边可以分为动能量头增量
和静能量头
两大部分，因此h用于提高气体的动能量头和静能量头。影响h因素很多，后面结合离心式压缩机级和轴流式压缩机级再进行分析。
能量方程式表达了气体在流动过程中能量转换和守恒的关系，是热力学第一定律应用于流动气体所得到的数学表达式。对控制体来说能量方程可以表示如下：
式中，Q为与外界交换的能量；W为与外界交换的功；dE为通过控制面气体总能量的变化；dE／dt为控制体内气体总能量对时间的变化率。下面逐项予以说明。
（1）气体总能量dE=dm·e，其中e为1kg质量气体的总能量，称为比总能量，它为：
式中，z为流管横截面中心到基准面之高度，显而易见，比总能量e是气体比内能u、流动比动能c 2 ／2和位置比势能gz之和。对定常流来说，控制体内气体总能量对时间的变化率dE／dt=0，所以有：Q+W=dE。结合图1-9所示的控制体，对一元流动，通过控制面的总能量就等于通过1—1和2—2截面的总能量，设在dt时间内流过1—1和2—2截面的气体质量分别为dm 1 和dm 2 ，对定常流动，自然有dm 1 =dm 2 =dm，因此通过控制面总能量的变化为
图1-9 推导能量方程用图
（2）在dt时间内外界传入控制体热量Q，规定由外界传入为正、反之为负。
（3）在dt时间内外界对控制体内气体做功W，压缩机是耗能机械，因此和第二节中相反，规定外界对控制体内气体做的功为正，反之为负。外界对控制体内气体做的功可以分为两类：其一是轴功W m ，对压缩机而言，就是压缩机轴通过叶轮对气体做的功；其二是控制面表面力（压力和剪切力）所做的功。压力所做的功W p 可以这样来讨论，设在dt时间内从1—1截面流入的气体移动了dx 1 距离，从2—2截面的流出的气体移动了dx 2 的距离，1—1截面的上游气体做的功为p 1 A 1 dx 1 =dm 1 p 1 ／ρ 1 ，符号为正，2—2截面流出的气体对下游气体所做的功为p 2 A 2 dx 2 =p 2 ／ρ 2 dm 2 ，控制面的侧表面的压力在力的方向上没有位移，因而不做功。所以外界通过控制面压力所做的功W p 为
剪切力在1—1和2—2截面与速度方向垂直，不做功，至于侧表面常常选取与静止壁面重合，速度等于0，因此剪切力做功为0。
综上所述，一元定常流动的能量方程式可以写成如下形式：
通常对气体流动来说，位置势能常忽略，而u+p／ρ为焓i，对1kg质量气体而言，故上式可以改写成下列常用形式：
式中，q（q=Q／dm）、h m （h m =W m ／dm）分别为对流过控制体单位质量气体加入的比热量和对气体做的比机械功。式（1-84）说明了外界对气流加入的热量和做的机械功用来提高气体的焓和动能。由于此方程含有热量和焓，所以又称为热焓方程，它在压缩机理论和计算中有着广泛的用途。有时需要突出机械能形式，所以上式又可以推导成另外一种形式，为此设法消去热量和焓。在气流中任取一块微元气体，并取坐标系随该气体一起运动，运用热力学关系式δq=di-dp／ρ，在流管1—1和2—2之间积分后和式（1-84）联立可得
式（1-85）未考虑流动损失，在压气机的实际流动中，有摩擦损失的存在，记为dh r ，则
式（1-86）称为广义伯努利方程式，它说明外界对气体所做的功用来提高气体的压力、动能和克服流动过程中的损失。对流动过程无机械功加入即h m =0，则有
这是解一元管流的常用伯努利方程式。