数学

算术与数学有什么区别？

算术研究的是正整数（如1，2，3，4，5）的加减乘除运算，以及运算结果在日常生活中的应用。数学则研究形状、排列和数量。数学传统上包括三个部分：代数、解析与几何。但是，由于各领域之间密不可分，相互之间的分界线也就不复存在了。

有史以来，哪部数学著作流传最久？

欧几里得（约公元前3世纪）的《几何原本》是有史以来流传时间最久、影响力最深远的数学著作。在这本书中，这位古希腊数学家总结了早期数学家的成就，并收录了许多自己的创新。《几何原本》共有13卷：前6卷介绍平面几何；第7卷到第9卷讲授算术和数字理论；第10卷与无理数有关，第11到13卷讨论研究立体几何。欧几里得在讲述数学定理中使用了综合性教学法，即通过逻辑推理，从已知得出未知。这一教学法随即成为此后数百年科学研究的标准流程。而《几何原本》对科学思想产生的影响也是其他作品无法比拟的。

谁发明了微积分？

1684年，德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）发表了第一篇关于微积分的论文。大多数历史学家认为，早在8—10年前，艾萨克·牛顿就已经发明了微积分，但是他总是很晚才发表他的作品。微积分的发明标志着高等数学的开始，它为科学家和数学家们提供了一种工具，来解决先前太过复杂的难题。

有没有可能数到无穷大？

不可能。非常大的有限数不等于无穷数。无穷数是无限的、不受限制的。不管是通过计数得到的数字还是数字后接十亿位零，得出的都是有限数。

人类使用算盘的历史有多久？

算盘源于早期的计数板，板上中空，内装用于计算的鹅卵石或珠子。据文献记载，这种计数板可追溯到大约公元前3500年的美索不达米亚。现今的珠子算盘最早可追溯到15世纪的中国。在使用纸笔进行十进制计算出现前，所有的乘除几乎都要用到算盘。与现代的计算器不同，算盘无法进行任何数学计算。使用算盘计算时，使用者依赖算盘记录下一系列数字进行心算。算盘也已成为教盲人学习算术的有力工具。

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨最早发表了微积分论文，他也是左图中加减乘除机械计算器的发明者。这种计算器可以运行加、减、乘、除等4种算法

什么是纳皮尔棒？

16世纪，苏格兰数学家莫契斯东男爵约翰·纳皮尔（John Napier，1550—1617）发明了一种使用10的指数简化乘除运算的方法。纳皮尔将这种表数形式称为对数（通常简写为lg）。

用这种方法，乘法可以简化为加法，除法简化为减法。例如，100（10 ² ）以10为底的对数为2；1000 （10 ³ ）以10为底的对数为3；100乘以1000，即100 × 1000=100,000，这一结果可以通过以10为底的对数相加得到：lg[（100）（1000）]=lg （100）+lg（1000）=2+3=5=lg（100,000）。1614年，纳皮尔在《奇妙的对数表的描述》一书中公布了这一方法。1617年，他又公布了使用设备并按照对数原理进行乘除运算的方法。这种设备框内装有一些棒条，条上标注数字1—9。人们将它称为“纳皮尔骨”或“纳皮尔棒”。

什么是奎茨奈颜色棒？

奎茨奈教学法是一个帮助青少年学生独立发现基本数学原理的教学体系。该方法是比利时一位叫埃米尔·乔治斯·奎茨奈（Emile-Georges Cuisenaire，1891—1976）的教师发明的。奎茨奈教学法通过使用10根不同颜色、长度，易于操作的棒条，帮助学生理解而不仅仅是记忆数学原理。这些颜色棒还可以用来教授一些基本的算术特性，例如结合性、交换性和分配性。

什么是计算尺？发明者是谁？

直到1974年，大多数建筑、桥梁、汽车、飞机和公路的工程、设计、计算都是通过计算尺来完成的。计算尺是一种带有游标的工具，游标上标有1614年莫契斯东男爵约翰·纳皮尔发明的对数。计算尺能够快速进行乘除平方根运算或求数字的对数。1620年，来自英格兰伦敦格雷沙姆大学的埃德蒙·甘特（Edmund Gunter，1581—1626）描述了计算尺的前身“数字对数曲线”。1621年，英格兰阿尔德伯雷教区牧师威廉·奥特雷德（William Oughtred，1574—1660）制作了第一把直计算尺。这种计算尺有两个对数刻度，可同时操作进行计算。1630年，他曾经的学生，理查德·德拉曼（Richard Delamain）在发表的文章中描述了圆形计算尺（并同时获得专利），比奥特雷德论述他本人发明的文章早了3年（有一种说法是德拉曼1620年就已经发表了这篇文章）。奥特雷德指责德拉曼剽窃他的创意，然而证据表明两人的发明都是独立完成的。

现存最早的计算尺可追溯到1654年，它以在固定的杆上装有一个可滑动的游标的形式出现。到17世纪末，在石工、木工和消费税收等许多行业中，出现了各种各样的专用计算尺。1814年，凭借《英语单词和词组词典》一书而名声大噪的彼得·马克·罗吉特（Peter Mark Roget，1779—1869）发明了一种计算数字根和平方的双对数计算尺。1967年，惠普公司制作了第一部袖珍计算器。不到10年，计算尺就坠入了科学冷宫，只有在收藏的书籍中找得到。有趣的是，在后来的阿波罗太空任务中有5次都携带了计算尺，其中包括一次登月旅行。如果电脑出现故障，计算尺也能高效精准地完成任务。

如何使用舍九法检验加法或乘法的结果？

“舍九法”是建立在所有数字除以9所得余数的基础上的（一个数所有数字的和除以9所得余数）。以乘法为例，首先，我们把乘数和被乘数的各位数字相加，得到的结果分别是“13”“12”。如果两结果均＞9，则继续将所得结果数字相加，直到最终数字＜9。在下例中，再次相加的结果分别为“4”和“3”。用被乘数的余数乘以乘数的余数。将乘积的数字相加最终产生一个＜或=9的数字。在乘积得数中反复运用舍九法。结果一定等于前述运算结果，在本例中即=3。如果两数不相等，那么原先的乘法运算一定有误。“舍九法”也可用来检验加法结果。

中位数与平均数有什么区别？

如果一组数字按大小顺序排列，则中间数字一定是这组数字的中位数。如果这组数字的个数为偶数，则中位数等于中间两个数的算术平均值。平均数，又名简单平均数，等于一组数字中所有数字相加除以数字的个数。虽然较少数字的平均数容易计算，但平均数却具有误导性，因为数据中极大或极小的数值都能够歪曲平均数的含义。例如，在一支专业足球队中，如果一位球员是高收入的超级球星，他可能比其他任何球员的工资都要高很多，从而导致平均数偏高，平均工资就会被夸大。一串数字中出现次数最多的数是众数。例如，在1，1，1，2，2，2，2，3，4，4，5，5，6，6，7这组数字中，中间的数字3为该组的中位数。平均数等于数的总和除以数的数量：51/15=3.4。

平方根的概念是何时出现的？

如果一个数字的平方根自乘，其结果等于该数字。例如，25的平方根为5（5 × 5=25）。平方根的概念已经存在了数千年，具体是如何发现的仍不为人所知。然而，早期的数学家已经会使用几种不同的方法求平方根。巴比伦自公元前1900年到公元前1600年的泥板中就记录了整数1—30的平方和立方。约公元前1700年，早期埃及人已经会使用平方根。而在古希腊时期（公元前600—公元前300），出现了更好的算术方法，改进了平方根的运算。16世纪，法国数学家勒内·笛卡尔（René Descartes，1596—1650）率先使用了平方根符号（ ），并称之称为“根号”。

什么是维恩图？

维恩图是集合论的图像表达。它用圆表示不同集合元素之间的逻辑关系，采用了逻辑运算符（计算机领域中称为“逻辑运算符”）。1881年，约翰·维恩（John Venn，1834—1923）在其著作《符号逻辑》中首次使用了韦恩图。书中，他阐释了乔治·布尔（George Boole，1815—1864）与奥古斯都·德·摩根（Augustus de Morgan，1806—1871）的研究成果，并进行了纠正。他企图指出布尔作品中的矛盾与歧义，尽管人们对此并不接受，却仍然认为他的新图表法是一大进步。韦恩用阴影更清楚地说明了包含与不包含问题。查尔斯·道奇森（Charles Dodgson，1832—1898）[更出名的是他的笔名，刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）]对维恩图进行了改进，尤其是用封闭图表表示全集。

常见的面积公式有哪些？

长方形面积：

面积=长乘以宽

A=ab

圆面积

面积=π乘以半径的平方

A=πr ² 或A=1/4πd ²

三角形面积：

面积=底乘以高的1/2

A=1/2ab

球体表面积

面积=4乘以π乘以半径的平方

A=4πr ² 或A=πd ²

正方形面积

面积=长乘以宽或边长的平方

A=s ²

正方体的表面积

面积=边长的平方乘以6

A=6s ²

椭圆形面积

面积=长轴乘以短轴乘以π/4

常见的体积公式有哪些？

球体体积：

体积=4/3乘以π乘以半径的立方

V=4/3 ×πr ³

锥体体积

体积=1/3×底面积×高

V=1/3bh

柱体体积

体积=底面积乘以高

V=bh

圆柱体体积

体积=π乘以底面半径的平方乘以高

V=πr ² h

正方体体积

体积=边长的立方

V=s ³

圆锥体体积：

体积=1/3乘以π乘以底面半径的平方乘以高

V=1/3πr ² h

长方体体积：

体积=长乘以宽乘以高

V=lwh

谁发现了三角形面积公式？

亚力山大的希伦[Heron（或Hero）of Alexanderia，公元前1世纪]在数学史上因提出三角形面积公式（希伦公式）而闻名。设三角形三条边长为a，b，c，s=周长的一半：则三角形面积 。阿拉伯数学家保护并传播了希腊数学，他们声称三角形面积公式更早由阿基米德（约公元前287—公元前212）发现。但现存的最早证明却出现在希伦的《度量论》中。

帕斯卡三角形有何用处？

帕斯卡三角形为一组整齐排列的数字。其中每个数字都等于上方左右两数之和。帕斯卡三角形有几种不同的表示形式，略有出入。以下所示为最常见的帕斯卡三角形：

1

1　　1

1　　2　　1

1　　3　　3　　1

1　　4　　6　　4　　1

1　　5　　10　　10　　5　　1

帕斯卡三角可用来确定二项式（相加的两个数字）高次乘方的数字系数。二项式进行高次乘方运算时，结果就会不断扩展，并使用三角某一行中的数字。例如，（a+b） ¹ =a ¹ +b ¹ ，使用了该三角形第二行中的系数，（a+b） ² =a ² +2ab+b ² 则用到三角形第三行的系数。三角的第一行与[a+b] ⁰ 相对应。虽然可直接计算系数，但帕斯卡三角形可以在不算出乘积的情况下，计算高次幂。二项式系数在计算概率方面非常有用。布莱兹·帕斯卡是概率论发展的开创者之一。

与许多其他数学发展一样，某些证据表明，这种三角形在中国早已出现。大约公元1050年左右，中国数学家贾宪写出了关于“二项式展开式系数的列表体系”。这个三角形可能最早出现在刘汝锴的《如积释锁》中。

什么是勾股定理？

勾股定理也称为毕达哥拉斯定理。它规定，在直角三角形中（两条边相交成90°的三角形），斜边为正对直角的边，斜边长的平方等于两条直角边边长的平方之和（c ² =a ² +b ² ）。如果边长为：c=5，a=4，b=3，那么：

c ² =（4 ² +3 ² ）=（16+9）=25=5 ²

该定理以希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前570—公元前500）命名。毕达哥拉斯的贡献包括数字在客观世界中的功能意义论和音调的数值理论。毕达哥拉斯并没有留下什么著作，因此勾股定理可能是毕达哥拉斯的弟子之一演算出来的。

什么是柏拉图立体？

柏拉图立体包括五种正多面体：正四面体、正六面体或六方体、正八面体、正十二面体以及正二十面体。早在毕达哥拉斯时代（约公元前500）起，人们便开始研究这些正多面体。大约公元前400年，柏拉图（公元前427—公元前347）首先对这些立体图形进行了详细的描述，因此人们便称其为柏拉图立体。古埃及人赋予了柏拉图立体神秘的意义：正四面体代表火，正二十面体代表水，正六方体代表地球，正八面体代表空气。正十二面体的十二个面对应黄道十二宫，而数字十二代表整个宇宙。

“砌平面”是什么意思？

“砌平面”是一个数学表达。人们用其来描述将无限个多边形拼接在一起，最终组成覆盖整个平面的马赛克图案的过程。棋盘花纹就常见于被褥、地板覆盖物以及卫生间贴砖图案的设计。

什么是黄金分割？

黄金分割也称神圣比例，是指将一条线分为两部分，总长度与较长部分的比例等于较长部分与较短部分的比例，这个比例大约是1.61803：1。因此1.61803又名黄金数（也名PHI）。黄金数也是相邻斐波那契数字比值的极限。例如，21、13和34、21。黄金矩形则指长宽符合这一比例的矩形。古希腊人认为这种形状最能给人以愉悦感。许多著名的画家都在画作中使用了黄金矩形，而建筑师也将其用于建筑设计。最著名的一个例子为希腊的帕特农神庙。

什么是莫比乌斯带？

莫比乌斯带是指一个单侧曲面。首先将一条长方形纸带的一端扭转180度，然后再将两端连接起来，这样得到的曲面就是莫比乌斯带。沿着纸带的中心剪成两半，就会得到一个扭曲了四个180度的纸带。为了解释单侧曲面的特性，德国数学家奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790—1868）设计了莫比乌斯带，并记录在论文中。然而这份论文直到他逝世后才被发现，得以出版。另外一位19世纪的德国数学家约翰·班尼迪克·利斯廷（Johann Benedict Listing，1808—1882）也在同一时期独立发展出这一概念。

70规则有何应用？

70规则可以快速地估算出在特定增长率下，某定量增值一倍所用的时间。用70除以这个增长百分比，例如，如果一笔钱按6%的利息投资，这笔钱增值一倍的时间将是：70/6=11.7年。

增量百分比是如何计算的？

求增量百分比时，用基数除增量，再乘以100%。例如，工资从1万元涨到1.2万元的增量百分比为（2000/10,000）×100%=20%。

桥牌游戏有多少种玩法？

粗略估计，桥牌游戏约有54×1000 ⁹ 种玩法。

什么是分形？

分形是指因不规则而无法用传统几何术语描述的点的集合，但所有点都有一定程度的自身相似性，即局部与整体相似。在照片处理中，人们利用分形压缩数据，尽可能明显地描绘出自然界中混乱的物体，比如山或者海岸线。科学家也运用分形更好地掌握降雨趋势、云和浪形成的图案以及植被的分布。分形也用来创作计算机生成的艺术品。

单利与复利有什么区别？

单利仅按照本金计算利息。复利则按照本金加已产生的利息来计算利息收入。例如，如果按年5%的利息投资100元，一年后将得到5元单利，如按每月复利来算，则将获得5.12元的利息。

什么是大数法则？

这个令人费解的法则是哈佛大学的佩尔西·戴康尼斯（Persi Diaconis，1945—）与弗雷德里克·莫斯特勒（Frederick Mosteller，1916—2006）提出的。法则认为，只要样本数量足够大，任何看似离谱的事情都可能发生。因此，只要时间充足或者范围足够大，看起来令人惊异的巧合是能够发生的。例如，新泽西州的一位妇女在四个月里中了两次彩票，媒体认为这种罕见事情发生的概率为17万亿分之一，并进行大肆报道。然而，当统计学家抛开个人的运气，探究所有美国彩民中某人6个月内两次中奖的概率时，概率立即飙升至1/30。研究人员认为，偶然性常出现在统计工作中，但是某些偶然有未知原因，因此并非巧合。很多看似运气，其实是随机事件。

什么是哥尼斯堡桥难题？

哥尼斯堡位于普鲁士的普雷格尔河畔。河中的两座岛屿由7座桥连接。到18世纪，哥尼斯堡的居民曾尝试在每座桥仅走一次的情况下走遍整个城镇，这逐渐成为一种传统。然而没有人能够做到，于是有人质疑这种做法的可行性。1736年，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler， 1707—1783）证明了这是不可能的。莱昂哈德·欧拉的答案导致了数学界两个新领域的发展：图论，主要研究相互连接的点所构成的网络；以及拓扑学，研究不依赖于长度测量的物体形状。

人们用了多久才证明出四色定理？

四色问题最早是弗朗西斯·古德里（Francis Guthrie，1831—1899）在1852年提出的。在对英格兰郡县的地图进行上色时，古德里发现仅用4种颜色便能保证任何两个相邻郡县为不同的颜色。他进一步推测，每张地图，无论国家的数量与复杂性，是否仅用4种颜色便能保证相邻国家不重色。直到1976年（问题提出124年后），凯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel，1932—）与沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken，1928—）才证明了四色定理。虽然它们的证明是由计算机验证的，但是这个证明确是准确无误的。目前还没有人工证明的简单方法。

什么是混沌学？

混沌或混沌行为指的是系统中最终的结果依赖于初始条件的敏感性。虽然从数学上来讲，概率是确定的，但混沌学认为行为不可预测，无法与随机过程区分开来，混沌学研究的是自然界中系统复杂、无规律的行为。例如，变化无常的天气模式、湍急的水流，以及物体摆动。科学家曾认为它们可以精确地进行，但却发现初始条件的微小差异就能导致大相径庭的结果。混沌系统确实遵循着某种规则，数学家已经用方程式证明了这一点。但要预测混沌系统的长期动态还是太过复杂。

什么是芝诺悖论？

希腊哲学家、数学家、埃利亚的芝诺（Zeno of Elea，约公元前490—公元前425）因其关于运动连续性的悖论而著名。一种悖论认为：如果一个物体以恒速从点0直线运动到点1，那么该物体必须首先运动一半距离（1/2），然后运动剩余距离的一半（1/4），再剩余距离的一半（1/8），等等无穷尽。结论是物体永远到达不了点1。因为永远存在未走的距离，所以移动是无法完成的。在另一种解释悖论的方法中，芝诺讲述了一个关于乌龟和阿克琉斯赛跑的寓言。阿克琉斯的速度是乌龟的100倍，乌龟在阿克琉斯前10杆[165英尺（约50.3米）]处起跑。因为在阿克琉斯追赶的同时，乌龟始终领先阿克琉斯1/100的距离。所以理论上讲阿克琉斯是不可能超过乌龟的。英国数学家、作家查尔斯·道奇森（人们更熟悉其笔名刘易斯·卡罗尔）曾用阿克琉斯和乌龟的比喻来解释他的无穷大悖论。

数学界是否存在无法解答的难题？

早在16和17世纪，人们便开始竞相解决重大的数学问题。直到现代，其中一些问题依然困扰着数学家们。比如说，1657年皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat，1601—1665）公布的许多关于质数和可分性的数学难题。这些问题称为费尔马的最后定理，直到20世纪90年代末，这些问题的答案最终才由安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles， 1953—）明确下来。1900年，德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）指定出23个待解决问题，期望到21世纪时能够有答案。今天，尽管一些问题已经解决，其他的仍然无解。2000年，美国克雷数学研究所提出了7个未解数学问题，希望在21世纪能够得到解决。解答7个问题中的任意一个，都将获得100万美元的奖励。 tliXxx4llH9i8vlsVBSJHb16KEf5fhzgL14Uiot8lZXysY8wBSm8sSN4Ln+ADZc3