随机游走模型的诞生

想象一下，阳光穿过布满灰尘的窗户照进阁楼。只要你将眼睛集中在穿透窗户射进来的光线中，你会发现无数的尘埃在光线中飞舞。看上去，它们就好像悬浮在空气中一样。如果你再仔细地观察，它们在空气中都是随机地跳动，变化着方向，一会儿向上飘，一会儿向下落。如果你能够看得更细微一些，比如，在显微镜下观察，你会发现，这些灰尘都是以粒子的状态做连续不断的随机运动。按照罗马诗人提图斯·卢克莱修（Titus Lucretius）的看法（大约是在公元前60年的时候所作的诗中表达的观点），这些看上去的随机运动表明确实存在着非常细小且看不见的微粒，从各个方向连续冲撞着这些尘埃颗粒，使得它们一会儿按照这个方向运动，一会儿又按照另外一个方向运动，他将它们称为“最原始的单位”。

两千多年之后，为了证明原子的存在，爱因斯坦也做过类似的论述。只是他的论述比卢克莱修的描绘更贴切一些：他运用了数学分析框架来帮助他精确地描述由更小单位的微粒撞击引发的尘埃的运动轨迹。在接下来的6年时间里，在该领域，法国物理学家简-巴普蒂斯特·佩林（Jean-Baptiste Perrin）建立了一套实验分析方法来追踪悬浮在液体中的微粒运动，实验足以清楚地表明微粒确实是按照爱因斯坦所描述的方式运动的。这些实验充分地打消了那些仍然怀疑原子存在的争论。但是，遗憾的是，卢克莱修的贡献却并没有得到相应的认可。

爱因斯坦感兴趣的微粒运动方式其实就是布朗运动（Brownian motion）的例子，布朗运动是以苏格兰植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown）的名字命名的。布朗是在1826年研究悬浮在水中的花粉粒时，注意到它们都是在做随机运动的。对布朗运动的数学分析通常被称为“随机游走”（random walk），有时候被更形象地称为“醉汉游走”。想象一下从坎昆（Cancun）某个酒吧出来的醉汉，敞开瓶口的防晒霜从他衣服后面的口袋里往下滴。他摇摇晃晃地往前走了几步，停了下来，下一步，他可能往这个方向走，也可能往那个方向走，选择往哪个方向走，完全是随机的。他先定了定神，朝某个方向前进了几步，然后又蹒跚地选择下一个行走的方向。这个醉汉蹒跚前进的方向完全是随机的，至少，在一定范围内，他的行走对抵达目的地没有任何帮助。如果这个醉汉走的路程足够长，最后回到了宾馆（或者他最终想要到达的地方），那么滴在路上的防晒霜可以显示他所走过的轨迹，而这个轨迹与我们看到光线中悬浮的尘埃所飞舞的轨迹如出一辙。

在物理学和化学领域，爱因斯坦用数学语言对布朗运动的解释赢得了所有人的认同，他于1905年发表了论文。而正是这篇论文，吸引了佩林的眼球。但实际上，爱因斯坦还是晚了5年的时间。因为早在5年前的1900年，巴施里耶在他的论文中就已经用数学语言对随机游走做了相关的描述。与爱因斯坦不同的是，巴施里耶对尘埃撞击微粒产生的随机运动并不感兴趣，他所感兴趣的是股票价格的随机波动。

设想一下，坎昆的醉汉现在回到了宾馆。他走出电梯门，然后在经过一条长长的走廊时，左一下右一下，来回摇晃。走廊的一头是700号房间，走廊的另一头是799号房间。他出电梯门的时候正好是在中间，但是，他不知道应该往哪个方向回到自己的房间。于是，他在走廊里来回地踱步，一半的时间是往一个方向行走，另外一半的时间又是往相反的方向行走。这就是随机游走的数学理论想要回答的问题所在：假定这个醉汉所走的每一步，都有50%的机会让他离走廊一头的700号房间更近一步，当然也有50%的机会让他离走廊另外一头的799号房间更近一步，那么，在他走了100步，或者说1000步之后，他到达自己房间门口的概率是多少呢？

为了检验这一数学思想对理解金融市场有什么样的帮助，你可以将某一只股票的价格想象成坎昆的醉汉。在任何时候，股票的价格都有可能上涨，当然，也有可能下跌。这两种可能性就像走出电梯门的醉汉，在走廊里来回踱步，既有可能走向700号房间，也有可能走向799号房间。因此，在这种情况下，数学是这样描述这个问题的： 如果股票有一个初始的既定价格，它接下来的涨跌都遵循随机游走的规律，那么，在经过某一段固定时期之后，股票价格到达特定价格水平的概率是多少呢？ 换句话说，在走出电梯门后，经过100步或者1000步的折腾，醉汉最终会在哪个房间门口停下来呢？

这就是巴施里耶在他的论文中想要回答的问题。他提出， 如果股票价格遵循随机游走的模式，经过某一段固定时期之后，股票价格到达特定价格水平的 可能性可以通过正态分布曲线（钟形曲线）加以描述 。正如曲线名称所要表示的那样，这条曲线的形状看上去就像一口钟，中间顶部的位置最高，两端分布较广。曲线最高的部分是以股票初始价格为中心，这意味着在绝大多数情况下，股票的价格都是围绕其初始价格波动。与顶部中心位置离得比较远的地方，曲线快速下落，表明股票价格大幅波动的概率很低。尽管股票的价格很大程度上是以随机游走的形式出现的，然而，随着时间的推移，曲线显著性地变宽，且顶部高度有所下降，这表明，经过一段时间，股票价格偏离最初价格水平的概率在增加（见图1-1）。

巴施里耶发现，如果股票价格以随机游走的方式波动，那么股票价格在未来到达某一价格水平的可能性就可以通过我们所熟悉的正态分布曲线计算出来。这些图片向我们展示了当股票的价格是100美元时变化的情况。图（a）是标准的正态分布曲线，计算的是从现在开始的未来某一段时间的价格，比如从现在开始的5年时间。在5年时间里，股票价格出现的概率就是曲线下方的区域面积。例如，在图（b）中，阴影面积表示的就是未来5年时间里，股票价格在60美元和70美元之间的概率。图形的形状取决于你对未来分析的时间跨度设定为多长。在图（c）中，点虚线表示的是从现在开始的1年时间里股票价格的概率分布，段虚线表示的是从现在开始的3年时间里股票价格的概率分布，而实线表示的是从现在开始的5年时间里股票价格的概率分布。你会注意到，随着时间越来越长，曲线高度在降低，但变得更厚实了。这意味着，随着时间越来越长，股票价格波动远离其初始价格的可能性在不断增大，我们可以从图（d）中看得更明显。我们会发现，在60美元到70美元的价格区间中，实线下面阴影部分的面积要比虚线下面阴影部分的面积大许多，它表明从现在开始的5年时间里，股票价格在60美元和70美元之间波动的概率要比从现在开始的1年时间里股票价格在60美元和70美元之间波动的概率高很多。 yRMeDPSsL4Y4+sUaARIR5D8KmN7ADMp3Zs5anYv3P+Z9yW9YnzesVZ1A6oVQCsvk