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枪手们的决斗

在国王的近卫队中有3位枪手,他们的枪法也一个比一个好:在射击10米远的靶子时,枪手A的准确率是30%,枪手B的准确率是50%,而枪手C是个弹无虚发的神枪手,他的准确率约等于100%。由于枪手们常在一起打靶,这3个人对于彼此的枪法都知根知底。

丘比特的爱神之箭总是来得那么突然, 3位枪手同时陷入了爱河。可是,丘比特对他们开了一个残酷的玩笑,这3个人所倾心的对象竟是同一位姑娘。3位倾慕者的狂热追求使得姑娘感到非常为难,因为她对3个人都抱有相同的好感,这使得她无法在3个人中间做出选择。对于姑娘的爱慕很快转化为求而不得的痛苦,终于有一天,这3位枪手决定用一劳永逸的方法来解决他们所面临的问题——决斗。

这是一场只能有一名生还者的决斗。因为3位枪手都了解彼此的实力,所以他们想出了一个看似公平的办法:在地上画一个边长为10米的等边三角形,3位枪手分别站在三角形的3个顶点上,决斗期间不得移动躲闪。3位枪手分别按照枪法从差到好的顺序轮流射击一次,即A先开枪,然后是B,最后才轮到C。三人都使用了特殊的开花弹,一旦命中人体,必定会导致对方死亡。一轮结束之后,如果生还者多于一人,则继续按照这一顺序循环射击,直到只剩一人为止。唯一的生还者也就是胜利者,可以与自己心爱的姑娘结为伴侣。

请问,在这3位枪手中,谁的获胜概率最大?如果你是三个人中枪手最差的那位,获胜概率最高又有多少呢?

答案:

首先让我们按照常理来思考,每位枪手在射击另外两人时都理应选择优先射击枪法最好的人,也就是说A和B会优先射击C;而C如未被A、B击中则会优先射击B,且必定击中B。

下面我们分别计算三人的生还率。为便于计算,以下取枪手C的准确率为100%。

(1)A与B二人对决时,二人的生还率分别为

A:30%+70%×50%×30%+70%×50%×70%×50%×30%+…=0.3/0.65

B:70%×50%+70%×50%×70%×50%+70%×50%×70%×50%×70%×50%+…=0.35/0.65

(2)A与C二人对决时,二人的生还率分别为

A:30%

C:70%

(3)B与C二人对决时,二人的生还率分别为

A:50%

C:50%

而当A、B、C三人对决时,A在以下三种情况下将成为胜利者:

①第一轮中,A命中C,B未命中A;第二轮中,A命中B。其概率为:30%×50%×0.3/0.65=0.045/0.65=9/130

②第一轮中,A未命中C,B命中C;第二轮中,A命中B。其概率为:70%×50%×0.3/0.65=21/130

③第一轮中,AB均未命中C,C命中B;第二轮中,A命中C。其概率为:70%×50%×30%=10.5%

B在以下三种情况下将成为胜利者:

④第一轮中,A命中C,B命中A。其概率为:30%×50%=15%

⑤第一轮中,A未命中C,B命中C;第二轮中,B命中A。其概率为:70%×50%×0.35/0.65=49/260

⑥第一轮中,A命中C,B未命中A;第二轮中,B命中A。其概率为:30%×50%×0.35/0.65=21/260

C在以下一种情况下将成为胜利者:

⑦第一轮中,A未命中C,B未命中C,C命中B;第二轮中,A未命中C,C命中A。其概率为:70%×50%×70%=24.5%

也即

A获胜的概率为①+②+③=0.105+3/13≈33.6%;

B获胜的概率为④+⑤+⑥=0.15+7/26≈41.9%;

C获胜的概率为24.5%;

且33.6%+41.9+24.5%=100%。

也就是说,在三人皆优先射击枪法最好者的情况下,B获胜的概率最大。对于B和C来说,他们最明智的选择显然就是这种做法,然而,这种做法对于A来说并非最优解。

让我们转换一种推理方式:

A知道自己的枪法是三个人中最差的,B和C都不会优先射击自己。而当有人被击中时,三人对决就会立刻转变为二人对决。如果命中别人的那一枪是第三个人开的,那么自己就会成为二人对决中的先手;反之,如果击中别人的那一枪是自己开的,那么自己就会成为二人对决中的后手。

既然A在三人对决的情况下是绝对安全的,为了在二人对决中抢占先手,最优策略就是一直故意打偏,直到B和C两人中的一人被另一人命中,然后A再去射击剩下的那个人。

在这种情况下,A获胜的可能情况分为两种:

(1)B先被命中,C后被命中,其概率为:0.5×0.3=15%;

(2)C先被命中,B后被命中,其概率为:0.5×0.3+0.5×0.7×0.5×0.3+0.5×0.7×0.5×0.7×0.5×0.3+…≈23%;

即,A获胜的概率=15%+23%≈38%。

同时,B获胜的概率=0.5×0.7×0.5+0.5×0.7×0.5×0.7×0.5+…

×0.3+0.5×0.7×0.5×0.7×0.5×0.3+…≈27%。

C获胜的概率=0.5×0.7=35%。

且38%+27%+35%=100%。

故在这种情况下,A获胜的概率是三个人中最大的,可以达到38%。 JEdy0W91RlTimFnnEG5lu+kZJc3VUru8ub3cBh3S0n4EmfFZFaMO9LcKzbJ74d/w

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