第一节　基础核心知识

考点一　算术基础

算术基础知识主要包括三部分：整数性质、比例性质、平均数，是速解数学运算的基础。

一、整数性质

1. 质合性质

质数： 只可以被1和自身整除，不能被其他整数整除。如5，只能被1和5整除，为质数。2是唯一的偶质数，其他的质数均为奇数。

合数： 除了1和自身外，还能被其他整数整除。如6，除了能被1、6整除外，还能被2、3整除，因此6是一个合数。

任何一个合数都能够写成若干质数的乘积，这个过程称为质因数分解，主要通过短除法实现，其核心是从最小的质数开始除要分解的数，直到不能除尽，然后换更大的质数继续这一操作。

【示例】 对14700进行质因数分解

典型考题 1 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的表面积是多少平方厘米？

A. 374

B. 464

C. 408

D. 486

解析： 设这长方形的长、宽、高分别为a、b、c，则ab＋ac＝209，把209进行质因数分解可得a（b+c）=11×19。（b+c）是一个奇数，则b、c是一奇一偶，又b、c为质数，则b、c有一个为2。简单分析可知这个长方体的三边长为2、11、17，bc＝2×17＝34，ab＋ac＋bc＝209＋34＝243平方厘米，该长方体表面积为243×2＝486平方厘米，选D。

2. 整除性质

许多题目可以通过题干条件确定正确答案是哪些数的倍数，这样对选项进行简单验证即可排除错项，锁定答案，无需进行繁琐的计算。我们需要掌握整除判断依据，尤其是判断一个数能否被3、5、6、8、9整除，这在数学运算中运用很频繁。

整除具有以下两个重要性质：

传递性： 如果数a能被b整除，数b能被c整除，则数a能被c整除。

【示例】 42能被14整除，14能被7整除，42能被7整除。

可加减性： 如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a＋b、a－b均能被c整除。

【示例】 30能被3整除，18能被3整除，30+18＝48、30-18=12也能被3整除。

典型考题 2 11338×25593的值为多少？

A. 290133434

B. 290173434

C. 290163434

D. 290153434

解析： 25593能被3整除，因此乘积也能被3整除。将每个选项各位数字相加，只有B能被3整除。

典型考题 3 某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？

A. 9

B. 12

C. 15

D. 18

解析： 排名第十的员工工号能被10整除，则其个位是0，因为工号连续，故排名第三的个位是3，第九名个位是9，二者各位数字之和相差6。第三名工号能被3整除，其各位数字之和是3的倍数；第九名工号能被9整除，其各位数字之和是9的倍数。第九名工号各位数字之和为第三名工号各位数字之和加6，所得数应能被9整除。结合选项可知选B。

典型考题 4 四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30岁，四人年龄之乘积能被2700整除且不能被81整除。则四人中最年长者多少岁？

A. 30

B. 29

C. 28

D. 27

解析： 四人年龄之积能被2700整除，说明四人的年龄中应含有2个因数5，首先排除A、B两项，不含25。因为不能被81整除，说明四人年龄中不能含有4个因数3，D项含有27、24，乘积能被81整除，排除。选择C。

3. 最大公约数与最小公倍数

最大公约数： 若两个数有公共的约数，则称这个约数为它们的公约数，即“公共的约数”，最大公约数即指公约数中最大的那个数。

最小公倍数： 若两个数有公共的倍数，则称这个倍数为它们的公倍数，即“公共的倍数”，最小公倍数即指公倍数中最小的那个数。

求法： 以24和60为例说明二者的求法。

首先进行质因数分解

确定共有质因数，它们的乘积即为最大公约数。可直观看出：24、60的共有的质因数包括2个2，1个3。则最大公约数为2×2×3=12。

确定所有不同的质因数：对于24、60来说，出现了2、3、5。24分解出的2更多，为3个；分解出的3的个数相等，都为1个；60分解出的5更多，为1个。则最小公倍数为3个2、1个3、1个5的乘积。最小公倍数为2×2×2×3×5=120。

典型考题 5 某工厂有甲、乙两个车间，其中甲车间有15名，乙车间有12名工人，每个车间都安排工人轮流值班，其中周一到周五每天安排一人，周六和周日每天安排两人。某个星期一甲车间的小张和乙车间的小赵一起值班，则他们下一次一起值班是星期几？

A. 周一、周二或周三中的一天

B. 周四或周五中的一天

C. 周六

D. 周日

解析： 依题意，轮流值班一周需要9人，小张每15人值一次班，小赵每12人值一次班，则两人下一次一起值班，所需经过的值班人数为15和12的最小公倍数，即60人，60÷9=6……6，所以下一次一起值班是周六。

二、比例性质

1. 倍数判定

在数学运算中，所求量多为整数。当题干给出两个量之间的比例关系后，可以分析这些量的倍数关系。需要注意的是当这个比例是分数时，将其改写为最简分数。

重要结论： 若a、b是整数， ，且m/n是最简分数，则a是分母n的倍数，b是分子m的倍数。

典型考题 6 两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17％是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20％是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？

A. 48

B. 60

C. 72

D. 96

解析： 已知甲派出所的刑事案件占 ，乙派出所的刑事案件占 。甲、乙两派出所共受理案件160起，根据倍数判定可知甲派出所受理案件总数是100的倍数，故只能为100，所以乙派出所受理案件总数为60，则乙派出所在这个月中共受理的非刑事案件数为60×（1-20%）＝48件，选A。

典型考题 7 甲、乙两个班各有40多名学生，男女生比例甲班为5: 6，乙班为5: 4。则这两个班的男生人数之和比女生人数之和：

A. 多1人

B. 多2人

C. 少1人

D. 少2人

解析： 根据题意有，甲班人数为5+6=11的整数倍，乙班人数为4+5=9的整数倍，则甲班有44人，乙班有45人，则男生比女生多 人。

2. 连比计算

连比即多个量之间的比例关系，数学运算中通常给出三个量之间的比例关系。需要找出一个中间量，统一比例关系，一般取最小公倍数为中间量。

典型考题 8 一个农贸市场2斤油可换5斤肉，7斤肉可换12斤鱼，10斤鱼可换21斤豆，那么27斤豆可换几斤油？（1斤=0.5千克）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

解析： 单价×重量＝钱数，因此单价比为重量的反比，油、肉单价比为5: 2，肉、鱼单价比为12: 7，油、肉、鱼单价比为（5×6）: （2×6）: 7 30: 12: 7。鱼、豆单价比为21: 10，可得油、肉、鱼、豆的单价比为（30×3）: （12×3）: （7×3）: 10 90: 36: 21: 10。因此油、豆的单价比为9: 1。27斤豆可换27×1÷9＝3斤油，选A。

典型考题 9 某公司年终分红，董事会决定拿出公司当年利润的10％奖励甲、乙、丙三位高管，原本打算依据职位高低按甲: 乙: 丙比例为3: 2: 1的方案进行分配，最终董事会决定根据实际贡献按甲: 乙: 丙比例为4: 3: 2分配奖金。请问最终方案中（　）得到的奖金比原有方案有所提高。

A. 甲

B. 乙

C. 丙

D. 不清楚

解析： 第一种分配的总份数为3＋2＋1＝6，第二种分配的总份数为4＋3＋2＝9，最小公倍数为18。故把总奖金分为18份后，第一种分配方式的奖金比例为9: 6: 3，第二种分配方式的奖金比例为8: 6: 4，故丙得到的奖金提高了，选C。

三、平均数

平均数 包括算术平均数、几何平均数和加权平均数，数学运算中重点考查算术平均数，以及和加权平均数紧密相关的十字交叉法。

算术平均数： 一组数据中所有数据之和除以数据个数所得的商数。

算术平均数与各数之差的平方和最小。

几何平均数： n个正数乘积的n次算术根。

任意n个正数的几何平均数不大于这n个数的算术平均数，即

根据“n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”可得以下两个重要结论：

a、b均为正数， ，当且仅当a＝b时等号成立；

a、b、c均为正数， ，当且仅当a＝b＝c时等号成立。

由上可知，当两个正数的和一定时，它们越接近时乘积越大，当二者相等时乘积最大；同理，当两个正数的积一定时，它们越接近时和越小，当二者相等时和最小。

加权平均数： 一组数据x 1 ，x 2 ，…，x n 出现的次数分别为m 1 ，m 2 ，…，m n ，这些数的加权平均数是：

注： 两个不相等的数的平均数总是介于这两个数之间。

典型考题 10 小王围着人工湖跑步，跑第二圈用时是第一圈的两倍，是第三圈的一半，三圈共用时35分钟。如小王跑第四圈和第五圈的时间分别是上一圈的一半，则他跑完5圈后，平均每圈的用时为多少分钟？

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

解析： 设第二圈用时为x，则第一圈为0.5x，第三圈为2x，根据题意有x+0.5x+2x=35，x=10，第四圈为x，第五圈为0.5x，则所求为 分钟。

典型考题 11 某学生参加了六次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2分。如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得几分？

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解析： 第三、四次平均分比前两次的平均分多2分，说明总成绩多出2×2＝4分；同理第五、六次比第三、四次的总成绩多出4分。后三次平均分比前三次多3分，说明总成绩多3×3＝9分。设前两次的总成绩为m，前三次的总成绩为n。

把表中第三行的两式相减，可知：第四次成绩－第三次成绩＝1分。

典型考题 12 建造一个容积为16立方米，深为4米的立方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米160元和每平方米100元，那么该水池的最低造价是多少元？

A. 3980

B. 3560

C. 3270

D. 3840

解析： 设池底的长和宽分别是x、y，底面积xy＝16÷4＝4平方米，池壁的面积＝周长×深度＝4×2（x＋y）＝8x＋8y，水池的造价为4×160＋（8x＋8y）×100＝640＋800（x＋y）。由均值不等式可知， 。因此，当x＝y＝2时，x＋y的值最小，为4。该水池的最低造价为640＋800×4＝3840元。

十字交叉法： 主要用于解决两个部分的“平均值”混合形成一个新的平均值的问题。

假设第一部分平均值为a，第二部分平均值为b（a＞b），混合后的平均值为c。

这里的平均值可以是浓度、产量、价格、利润、增长率、速度等。因此，凡涉及求两个平均数的加权平均数均可采用十字交叉法快速得解。

典型考题 13 某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？

A. 34

B. 35

C. 36

D. 37

解析： 先求出A、B、C三个部门的人数之间的比例关系，再按照加权平均数的求法，求出全体人员的平均年龄。

根据题意，可利用十字交叉法求出A、B两部门人数之比和B、C两部门人数之比。

由上可得，A、B两部门人数比为6: 8＝3: 4，

B、C两部门人数比为8: 10＝4: 5，则A、B、C三部门人数之比为3: 4: 5，可假设A、B、C三部门的人数分别为3、4、5，该单位全体人员的平均年龄为（38×3＋24×4＋42×5）÷（3＋4＋5）＝35岁。

考点二　代数工具

数学运算中主要用到的代数工具包括不定方程、不等式、数列。

一、不定方程

不定方程 是未知数个数多于方程数，且未知数受到某些限制（如规定是整数）的方程。在数学运算中最常见的不定方程是形如ax＋by＝c的二元一次不定方程，其中a、b、c均为整数。解不定方程最重要的是利用整数的 奇偶性、尾数特点 以及 互质 等性质来缩小解的范围。

1. 利用奇偶性质

因为在不定方程ax＋by＝c中a、b、c是已知的，所以可以根据奇数与偶数的运算性质判断x、y的奇偶性以缩小解的范围。判断的规则如下表：

典型考题 1 某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有钢琴学员和拉丁舞学员共76名分别平均地分给各个教师带领，刚好能够分完，且每位教师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？

A. 36

B. 37

C. 39

D. 41

解析： 设每个钢琴教师带x名学生，每个拉丁舞教师带y名学生，则5x+6y=76。76、6y是偶数，根据偶数+偶数=偶数，可知5x是偶数，即x是偶数。每位教师所带的学生数量都是质数，2是唯一的偶质数，则x=2，y=11。培训中心目前剩下4×2+3×11=41名学员，选D。

2. 利用尾数特点

两个数进行四则运算时，结果的尾数由原数尾数运算所得。数学运算中主要涉及和、差、积的尾数，最常考到5x的尾数，5与任何数相乘，尾数为0或5。利用尾数的这一特点，可快速解不定方程。

典型考题 2 超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？

A. 3

B. 4

C. 7

D. 13

解析： 设大包装盒用了x个，小包装盒用了y个。依题意，12x+5y=99。12x是偶数，则5y是奇数，5y的尾数是5。因此12x的尾数是4，x的尾数为2或7。当x=7时，y=3，题干条件说用了十多个盒子，排除。当x=2时，y=15，两者之差为13，选D。

典型考题 3 共有20个玩具交给小王制作。规定制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣。最后小王共收到56元，那么他制作的玩具中，不合格的共有（　）个。

A. 2

B. 3

C. 5

D. 7

解析： 设合格的玩具x个，不合格的y个，则5x-2y=56，即5x=56+2y。根据偶数+偶数=偶数可知，5x是偶数，且5x是5的倍数，因此5x的尾数只能是0，因此2y的尾数只能为4，结合选项知y可以取2或7。分别代入发现，y=2，x=12满足x+y≤20。故选择A。

3. 利用互质性质

对两个整数进行质因数分解后，若它们没有相同的质因数，则称这两个数互质。互质的两个数相除必然不能得到整数，譬如ax＝by，若a与b互质，则根据 可知，若令x为整数则y必然是a的倍数。

典型考题 4 某汽车厂商生产甲、乙、丙三种车型，其中乙型产量的3倍与丙型产量的6倍之和等于甲型产量的4倍，甲型产量与乙型产量的2倍之和等于丙型产量的7倍。则甲、乙、丙三型产量之比为多少？

A. 5: 4: 3

B. 4: 3: 2

C. 4: 2: 1

D. 3: 2: 1

解析： 设甲、乙、丙三种车的产量比为x: y: z，则3y＋6z＝4x 3（y＋2z）＝4x，因为三者产量比为整数，所以x是3的倍数，y＋2z是4的倍数，进而可知y是偶数。结合选项可知D正确。

典型考题 5 一群猴子采摘水蜜桃。猴王不在的时候，一个大猴子每小时可摘15千克水蜜桃，一个小猴子可摘11千克水蜜桃；猴王在场监督的时候，大猴子的1/5和小猴子的1/5必须停止采摘，去伺候猴王。有一天，这群猴子总共采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时猴王在场监督，结果共采摘3382千克水蜜桃。在这个猴群中，共有大猴子（　）只。

A. 10

B. 13

C. 14

D. 15

解析： 猴王在场的2小时，猴群采摘的总效率为原先的4/5，则原先猴群采摘效率为3382÷（6＋2× ）＝445千克/小时。设有大猴子x只，小猴子y只，则15x＋11y＝445。整理得 ，因为y是整数，所以89－3x是11的倍数。代入选项可知当x＝15时，y＝20满足题意。故有大猴子15只，选D。

二、不等式

1. 利用不等式性质

在一些算式计算题中，会用到不等式的一个基本性质——若a＞b＞0，则 。利用这个性质可以确定未知量的取值范围，进而确定答案。

典型考题 6 已知 ，问X的整数部分是多少？

A. 182

B. 186

C. 194

D. 196

解析： 估算分母的大小， 。整理可得 ，则 的整数部分是182，选A。

2. 根据不等式求解

在数学运算中，在解决某些最优化问题时，需要设未知数，根据题中的不等关系得到不等式，然后解不等式，确定未知数的范围，最终确定答案。

典型考题 7 某县筹备县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧。已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆，则搭配方案共有多少种？

A. 3种

B. 4种

C. 5种

D. 6种

解析： 设A型园艺为x个，则B型园艺有（50－x）个，有 ，解得31≤x≤33，x可取值31、32、33，故搭配方案有3种，选A。

典型考题 8 一本书有100多页，小赵每天看6页，第31天看完，小张每天看7页，第26天看完。小周每天看2页，问第几天可以看完？

A. 90

B. 91

C. 92

D. 89

解析： 设页数为x，则x满足 ，解得180＜x≤182。因此这本书有181页或182页，每天看2页在第91天看完，选B。

三、数列

1. 等差数列

等差数列 是从第二项起，每一项与它前面一项之差都相等的数列，这个差称为公差。自然数列就是一个典型的等差数列。对于等差数列需要掌握以下计算公式：

重要结论： 对奇数列1，3，5，7，…，2n－1，其前n项的求和公式可简化为S n =n 2 ；

对偶数列2，4，6，8，…，2n，其前n项的求和公式可简化为S n =n 2 +n；

若项数为奇数，则奇数项之和减去偶数项之和为中位数。

典型考题 9 某制衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少？

A. 602

B. 623

C. 627

D. 631

解析： 9人的得分构成等差数列且平均分是86分，则该数列的中项，第5名工人得分为86分。同理，前5名工人得分之和为460，第3名得分为460÷5＝92分。可知第4名得分为（92＋86）÷2＝89，前7名得分之和为89×7，利用尾数法可直接判断选B。

典型考题 10 ｛a n ｝是一个等差数列，其中a 3 +a 7 -a 10 =8，a 11 -a 4 =4，则该数列前13项之和是多少？

A. 32

B. 36

C. 156

D. 182

解析： 由对称公式可知a 3 +a 11 =a 4 +a 10 ，题干两式相加得（a 3 +a 11 ）+a 7 -（a 4 +a 10 ）＝12，因此a 7 ＝12。数列前13项的中项恰好为a 7 。

由中项求和公式可知，数列前13项的和S 13 ＝13a 7 ＝13×12＝156，选C。

典型考题 11 已知1 3 ＋2 3 ＋3 3 +…＋n 3 ＝（1＋2＋3+…+n） 2 ，问1 3 ＋3 3 ＋5 3 +…＋19 3 ＝？

A. 19500

B. 19900

C. 20300

D. 22500

典型考题 12 某学校在400米跑道上举行万米长跑活动，为鼓励学生积极参与，制定了积分规则：每跑满半圈积1分，此外，跑满1圈加1分，跑满2圈再加2分，跑满3圈再加3分……依此类推。那么坚持跑完一万米的同学一共可以得到的积分是：

A. 325

B. 349

C. 350

D. 375

解析： 跑了一万米相当于跑了10000÷400＝25圈，每0.5圈积1分，则25圈积50分；而每整数圈累加的分数恰好为公差为1的等差数列，因此所有整数圈累加分数为（1＋25）×25÷2＝325。因此一共积分50＋325＝375分。

典型考题 13 一次竞赛共有10道题目，答对前一道才能作答下一道，下一题的得分均比上题多2分。如果全答对可以得到100分。问要想获得60分以上，至少要答对多少道题目？

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

解析： 设第一道题的分值为x，则 ，解得x＝1。则这10道题的分值构成奇数列。奇数列前n项求和公式为S n =n 2 ，n 2 ≥60，解得n≥8，至少要答对8题，选C。

2. 等比数列

等比数列 是从第二项起每一项与前一项的比都是一个常数的数列，相邻两项间固定的比值称为 公比 。细胞分裂的个数（1个变2个，2个变4个，4个变8个……）在时间序列上就是一个等比数列。对于等比数列需要掌握以下计算公式：

典型考题 14 甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍。已知今年1月份甲、乙两厂生产的玩具的总数是98件，2月份甲、乙两厂生产的玩具的总数是106件，那么乙厂今年生产的玩具数量总和第一次超过甲厂生产的玩具数量总和是在几月份？

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

解析： 2月份甲生产玩具数量不变，乙生产的比上月多1倍，且1月甲、乙共生产98件，2月共生产106件，所以乙多生产106－98＝8件。即乙第一个月生产8件，每个月生产件数是以8为首项，公比为2的等比数列。到第n个月，甲共生产90n件；根据等比数列求和公式乙共生产 件。结合选项，从最小的选项代入验证，当n＝7时，2 n+3 -8=1024-8=1016，90n＝630。因此，7月份时乙生产的玩具总量就超过甲了，选A。

典型考题 15 某人在保险柜中存放了M元现金，第一天取出它的2/3，以后每天取出前一天所取的1/3，共取了7次，保险柜中剩余的现金为多少？

解析： 每天取钱数是一个首项为 ，公比为1/3的等比数列，连续取7天共取 元。剩余现金为 元，选A。

考点三　几何问题

几何问题要重点掌握基本几何图形，并遵循复杂图形拆解成基本图形的思路。

一、平面几何

1. 勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”、“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a 2 +b 2 =c 2 。

典型考题 1 若一直角三角形的周长与面积的数值相等，且两直角边长之和为14，则该三角形的面积是多少？

A. 20

B. 24

C. 12

D. 6.2

解析： 两个直角边长之和为14，则斜边至少大于7，故三角形周长大于21，结合选项直接选B。

快解： 利用勾股定理设未知数的计算过于复杂，若能够牢记勾股数，发现直角边长之和为14，而联想到6、8、10这一组勾股数，亦可直接得到面积为24。

典型考题 2 A、B两村庄分别在一条公路L的两侧，A到L的距离为1千米，B到L的距离为2千米，C、D两处相距6千米，欲在公路某处建一个垃圾站，使得A、B两个村庄到此处处理垃圾都比较方便，应建在离C处多少千米？

A. 2.75

B. 3.25

C. 2

D. 3

解析： 此题的一般方法是求出线段CD上的一点E，使AE=BE，可画出右边的图示：

设CE长为x，则DE＝6-x，由AE＝EB，根据勾股定理可知 ，求得x=3.25，选B。

快解： 采用定性分析，不直接计算CE长度。△ACE、△BDE都是直角三角形，斜边AE和BE相等，直角边AC＜BD，则CE＞DE，即CE应超过CD总长的一半，即CE＞3，选项中只有3.25符合。

2. 经典图形

以下为平面几何经典图形需要掌握的计算公式：

典型考题 3 张家和李家都使用90米的篱笆围成了长方形的菜园，已知李家的长方形菜园的长边比张家短5米，但是菜园面积却比张家大50平方米，则李家的长方形菜园面积为多少？

A. 550平方米

B. 500平方米

C. 450平方米

D. 400平方米

解析： 设李家菜园的长边为x，则短边为45-x；张家菜园的长为x+5，短边为40-x，根据题意列方程，x（45-x）-（x+5）（40-x）=50，解得x=25，则李家的长方形菜园面积为25×（45-25）=500平方米。

典型考题 4 阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分的高度为1米，地面部分的长度为7米。甲某身高1.8米，同一时刻在地面形成的影子长0.9米。则该电线杆的高度为：

A. 12米

B. 14米

C. 15米

D. 16米

解析： 如图所示A 1 C 1 是甲的身高，A 1 B 1 是其投影。AD是电线杆的高度，BE为墙上投影，AB是地面上的影子。故 ，解得 米。因此该电线杆高度为AC＋CD＝14＋1＝15米，故本题答案为C。

典型考题 5 在正方形草坪的正中有一个长方形池塘，池塘的周长是草坪的一半，面积是除池塘之外草坪面积的1/3，则池塘的长和宽之比为多少？

A. 1: 1

B. 2: 1

C. 4: 1

D.

解析： 设草坪的边长为1，长方形池塘的边长分别为a、b，可得方程 ，整理得 ，解得 ，则长和宽之比为1: 1，答案选A。

典型考题 6 如图所示，长为1米的细绳上系有小球，从A处放手后，小球第一次摆到最低点B处共移动了多少米？

解析： 如图所示为小球移动的路径，A→C小球做自由落体运动，C→B做圆周运动。则总移动距离为AC＋弧BC。

△AOC构成等边三角形，AC＝OA＝1；弧BC的长度是1/6圆周长度，为 。所以共移动了 ，选A。

二、立体几何

1. 球、圆柱与锥体

球、圆柱、锥体的表面积、体积计算公式需要熟记，这是计算的基础。

典型考题 7 过长方体一侧面的两条对角线交点，与下底面四个顶点连得一四棱锥，则四棱锥与长方体的体积比为多少？

A. 1: 8

B. 1: 6

C. 1: 4

D. 1: 3

解析： 设此长方体为正方体，设正方体的边长为1，则其体积为1。如图所示，此四棱锥的高为1/2，体积 。所以二者体积比为1: 6，选B。

典型考题 8 如图所示，一个储物罐的下半部分是底面直径与高均为20m的圆柱形，上半部分（顶部）是半球形，已知底面与顶部的造价是400元/m 2 ，侧面的造价是300元/m 2 ，则该储物罐的总造价是多少？（π≈3.14）

A. 56.52万元

B. 62.8万元

C. 75.36万元

D. 87.92万元

解析： 底面与顶部总面积为10 2 ×π+ ×4×π×10 2 =300π。侧面积为20×20×π=400π。因此该储物罐的造价为400×300π+300×400π=240000π。根据计算结果的首位，可知为7，选C。

2. 正多面体

正多面体： 指各面都是全等的正多边形且每个顶点所接面数都相等的凸多面体。这个定义有两个要点：一是每个面全等；二是顶点所接面数均相等。如正方体每个面都是全等的正方形；每个顶点都接3个面，所以它是正六面体。

常考的正多面体有以下几种：

典型考题 9 将边长为1的正方体一刀切割为2个多面体，其表面积之和最大为多少？

解析： 原表面积为6，切割后表面积之和增加了截面面积的2倍。因此表面积之和的大小取决于截面面积的大小。如图，沿面ABC′D′切开时，截面面积最大为 ，则表面积之和最大为 。

典型考题 10 一个正八面体两个相对的顶点分别为A和B，一个点从A出发，沿八面体的棱移动到B位置，其中任何顶点最多到达1次，且全程必须走过所有8个面的至少1条边，问有多少种不同的走法？

A. 8

B. 16

C. 24

D. 32

解析： 如图所示，把这个正八面体的各顶点标记。从A点出发沿棱移动到达B点。任何顶点最多到达1次，说明A和B分别是起点和终点，且中途不能经过。从A点到1点后只能有两种路径满足经过所有8个面即A－1－2－3－4－B或A－1－4－3－2－B。依此类推，从A到B有2×4＝8种走法。 HewLKp+trV7O3cvgeVkFGmFYZqr9E7UCMah0gZT6ar7fSK/J8RE1zDC/6g0P1vud