以上摘自我的日记。

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前570年—前495年）

直到上了北京师范大学数学系，我才看到《唐老鸭漫游数学奇境》的动画片，也才知道古希腊数学家毕达哥拉斯是最早用分数来确定音符的人。拨动一条线上不同比例的地方，就可以听到不同的声音，并通过确定比例的数字来标定这个声音，这样就可以重复同一个声音了。

回顾过去，钢琴我只学过这一个假期，不到两个月的时间，后来手风琴倒是学了4年。在音乐中，我找到了许多跟数学相通的东西。比如，4哆（1）来（2）咪（3）发（4）唆（5）拉（6）西（7）加上升阶哆（1），在钢琴键盘上，这8个琴键是白色的，还有5个黑色的琴键，加起来就是13个，排列起来就是5、8、13，恰好是斐波那契数列中的一段。

再比如，常用的和弦哆（1）咪（3）唆（5）就是奇数组合，而来（2）发（4）拉（6）就是偶数组合。还有对节拍的熟悉，从熟练到合拍，都能直接同步体会到节奏中的分数和比率。

我没有成为音乐家，不像我父亲，他是作曲家，在他那个年代写出了一些脍炙人口的歌曲。我虽然会拉手风琴，但在生活中也很少会自娱自乐地拉上一段早已熟练自如的《骑兵进行曲》《小放牛》等。音乐对我来说，似乎就是为了完成一个阶段的任务，从小学五年级的暑假开始到初二这个阶段。与其说是练习手指的灵活性，倒不如说是在脑海中一遍又一遍地重复那些有规律的音符，每个有规律的音符连在一起都是动听的和弦，在不同的数字组合间来回跳跃，旋律就不断地变换和流淌，这才让我真正体会到艺术的表现力，数学的美。

学习钢琴能够直接影响孩子对分数的理解。小学五年级开始学习分数，其实是不容易的。

在数学的发展历史上，分数是从毕达哥拉斯制作弦开始的。一根弦拉长，绷直，手指划过，发出声音。毕达哥拉斯将弦截半，再拉长，绷直，手指划过，又有一个声音。然后继续下去，毕达哥拉斯分别记录了自己的做法，以及对应的声音。从此便有更多的人开始探索声音的不同组合，并尝试用符号表示，这时，分数的样子就出来了。

那时，隔壁女高音吊嗓子的时候，我就在这边的钢琴上一个键一个键地找那些音，然后写下来。学习分数的时候，我特别喜欢 、 、 ，就是因为能够找到音阶，嘴里能够哼出调子来。

这个过程，根本不是在做题，而是在探索。爸爸实际上带着我走了一条探索的思维小路。

比如：

A：3+8=（）

这是常见的题目，这个题目还有一个形式——

B：11=（）+（）

题目A，确定的已知信息，运用规则，得到确定的结论。

题目B，确定的出发点，运用规则，得出不确定的结论。

不同的题目引发出学生大脑的思索方向、路径都不同。

主要区别有三点：

1.题目进入大脑后触发的思维机制不同。

2.解题涉及的意识范围不同。

3.解题后留在孩子头脑中的结果不同。

稍微复杂一点的题目，你可以看一下。

在中国，这道题是这样出的：

一个三角形的三边是2cm、3cm、4cm，那么这个三角形的面积是多少？

在英国、美国、澳大利亚，这题是这么出的：

一个三角形的三个边，最长分别可以是2cm、3cm、4cm，判断并证明，这个三角形的面积最大限度可能是多少？（A triangle has sides of length at most 2，3 and 4 respectively.Determine, with proof, the maximum possible area of the triangle.）

两个题目的出发点不同，抵达的目的地也就不同了。

第一条：思维机制不同。

中国孩子面对这道题时的思维是：构建边长为2cm、3cm、4cm的三角形，然后设法找到最大边的垂线的长度，通过运用勾股定理，进一步运用三角形面积公式，本题迎刃而解。

英国孩子面对本题的思维是：尝试如何构建一个面积最大的三角形，限制边长为2cm、3cm、4cm，然后才是运用勾股定理和三角形面积公式，解出本题。

第二条：意识范围不同。

中国孩子解答本题的意识局限在三角形面积公式和勾股定理的运用上。公式、定理运用一次而已。内核是：运用规则，然后强化对规则运用的熟练性。

英国孩子完成本题的意识会涉及多个三角形面积大小的比较，然后才是公式的多次运用，运用的目的涉及判断和比较。这两个植根于生活并且经常需要用到的意识，在中国的题目中就没有体现。在解决问题的过程中，英国孩子通过多种可能性的比较，扩大了思维的范围。

第三条：结果不同。

中国孩子解出本题后，留在大脑中的内容仅仅是公式和定理的强化记忆而已，结果可能只是对公式的运用更加熟练了。

而英国孩子在解出本题的过程中，他们之间的交流涉及图形大小的判断，涉及判断时需要依据的公式和定理，涉及公式和定理的选择，以及判断时的思考方式。其中融合了大量的判断、尝试和探索，而不是简单的规则运用。

类似这样的例子非常普遍。这道题仅仅是我在辅导中、英、澳等不同国家的孩子参加数学竞赛时的点滴感悟。

我坐在钢琴前的凳子上，爸爸坐在旁边，嘴里哼着：丢啊，丢啊，丢手绢。我抬手在钢琴上找对应的音符，一个一个尝试，同时嘴里哼出对应的音符：唆（5），咪（3），唆（5），咪（3），唆（5），咪（3），来（2），咪（3），唆（5）……

我学习乐谱的过程，与多数人不同。多数人都是先认识谱子，知道发音，然后用手指找到钢琴上对应的那个键。我恰好相反，是从听到的调子中寻找钢琴上的键，来核对听到的音。这大概就是爸爸的教育给我的大脑留下的一种痕迹，不从公式去操作，而是从操作中自己感受其中蕴含的规律，并渐渐体验，让自己对自己发现的规律熟练起来。这种做事和处理事情的方式叫实用主义。

这种思维方式的好处就是不会被现有条件限制。没有钢琴？没事，用盛有不同数量的水的啤酒瓶，也能够找到《丢手绢》的曲调，用任何能够发音的东西，都能够奏出曲调。

同样，做加法、做减法，不用去记所谓的“凑十法” ，而是用自己感悟到的“双手合十法”就可以了。“双手合十法”是我把自己的双手当作视觉工具解释“凑十法”的形象化说法，拿出双手，一眼看过去就是10根手指，形象、有趣，让人印象深刻，比来自老师的黑板、来自纸张上的“凑十法”要更有切身感受。

爸爸从事的是乐曲创作，办公室有各种能够发出声音的乐器。其中有一个竖琴，一直立在爸爸办公室的角落里。有时我用钢琴找到《丢手绢》的调子后，又用竖琴去找。长长的一根弦，我从中间开始拨，听到声音后，又从这个中点向上拨，听声音，再从中点向下拨，再听声音。我体会到的是，一半，一半的一半。等到课堂上，老师讲分数的时候，我脑海中直接反应出的就是弦的一半，以及一半的一半。

我脑海中是先有了数量被切分的认识，再接触数学中的说法。而多数同学是没有整体切分的认识，便直接接触了分数的说法。

多数同学的这个认识，在认知心理学上叫附着信息，而我大脑中的那种认识过程是原生信息的发展，就是先有了一个来自实际的认识，再接触到抽象的、提炼出来的术语（分数）。这时，新的术语便直接在脑海中生了根，因为这个根底下原本就埋下了一颗种子，而新的术语在种子上发芽、发育、发展，便会一直坚实，不会走样。

实用主义与系统知识进入大脑的次序不同，会影响人对内容的理解程度。从实用主义出发，人的目的性更强。次序颠倒，便难以理解，就只是为公式而公式了。

很多孩子没有这样幸运，他们没有那个根，所以，附着到大脑里的新术语只能依靠不断地重复、不断地练习来强化记忆，而不是靠理解。通过大量的练习，有的孩子能在大脑中与现实中的事情结合起来，也就生根了。但有的孩子却难以做到生根，10年后，这些分数的概念就变成了习惯，但并不是真正透彻地理解。不能做到理解，相关的从分数扩展出来的术语也就渐渐遗忘了，比如真分数（最简分数）、假分数、带分数这些术语，都是无根的，也就遗忘了。根，就是那种实用的目的。

家庭中，有大量生活细节可以帮助孩子播下各种数学的种子。等孩子到了课堂上，一下子就能把新学到的术语词汇与这些种子连接起来。种子周围是有土壤的，这片土壤就是周围的脑神经元，它们能够让种子发芽、发育、发展得更好。在我家， 妈妈负责让我不惧怕数学，同时产生兴趣，而爸爸则扩展了我的灵活性。

数学思维需要准确的理解、灵活的思考以及严谨的操作。 这三个思维层面的耕耘都来自爸爸。

比如分数，必须先理解这是一个实物的一半，然后才去认识白纸黑字上的。类似的在我日记中有所体现的还有概率（可能性）、周长、面积、体积、温度等。源自现实中可以看到、摸到的都是直观事物，对这些熟悉后，轮到老师讲术语了，一点就通。

感谢我父亲没有那么多的文化知识，他自己没有上完小学，就找工作挣钱，养家糊口了。这样一来，他自己也不懂术语，从小我就是在玩的过程中自己领悟的，包括生活中的数量、数量的变化、数量的关系等，都是出于实用主义的现实。

对比现在很多家庭，父母自身文化水平较高，在家里给孩子辅导数学时，常常直接使用术语，这必然会导致三个消极后果：

1.孩子大脑中对直观事物熟练的时间不够，扩展不出神经元土壤，种子没有种到位。

2.孩子似懂非懂地到了课堂上，听老师一讲，貌似自己知道术语，也就忽视了听老师的全面解释，进一步造成残缺不全的理解。

3.当遇到不会做的题或者经常出错的时候，孩子会陷入两难的认识，不知道该信老师的，还是该信父母的。

在家中，不要讲解学校中的数学术语，不要讲解学校中的数学公式。这是我学习儿童认知心理学后，再结合自己的成长过程，结合我日记中的点滴，得出的结论。

从纸上的音符到琴键上的对应位置，是一个思考方向；从听到的音调到琴键上的对应位置，是另外一个思考方向。两个不同的方向，让我操纵自己的大脑来去自由。

爸爸说放学来接我，每次的“接头地点”都是在早晨上学的时候临时约定，从没有一个固定的地点。比如说，约定粉楼的转角处，让我看一眼，我尝试记住，放学的时候就走到约定的地方。

这也是一种生活中的灵活性。不要小看这样的随机约定，长期下来，大脑总是保持警觉的状态，全年无休，随时准备接受指令、解读指令、记住指令。长期行为变成习惯，养成的就是一种头脑的灵活性。

如果大人对孩子说，以后就这个地方接你了，长期不变，大脑就节省了开支，把一类事物变成了下意识的行为，不再进一步调整了。这在很多女孩子的思维表现中非常明显。

比如，小红要做20道题，已经做完11道了，还要做多少道？孩子本能地写：11+9=20，就是不能写成：20-11=9。这个孩子的妈妈写信给我，并强调说对孩子解释了很多遍，要用减法，用减法，没用，下一次碰到这类题目，还是写成加法。

原因：加法训练过度，形成了认知的思维定式。

比如，暑假回来升学了，上初二了，听到铃声，从楼道跑进教室，一进门，发现走错了，还是初一时的教室。出来后想了一下，才跑去了正确的教室。

重新想一遍我爸爸的做法是提供多变的形式、多变的方式、多变的方向。这样，你才会理解，灵活思维的培养不是一日之功，而是日复一日地变化着，大脑习惯了各种变化，才能灵活、警觉，时刻准备着。

了解乐谱基本知识的人应该都知道，7个音符为一个音阶，其中还有4个半音。能够听准并找到声调中的半音是最难的。很多抒情曲中都有较多半音，听到歌曲，找到每个音对应的键，这个训练动作是爸爸与我常玩的游戏。我们一遍又一遍地播放李谷一的《乡恋》，暂停、找音，我做一个，爸爸做一个。这样来一遍，好玩、有趣、富有挑战，过程中什么都学到了，严谨地对应准确的音，培养耳朵的敏感性，专注地听，好像连歌唱过程中一根针掉在地上的声音都能听得出。

后来才体会到小泽征尔最牛的地方。在指挥贝多芬交响乐《命运》时，到了高潮阶段，他突然指挥棒一挥，全体乐队鸦雀无声，接着，指挥棒向一个方向指去，那边一个人站了起来，说：“对不起，指挥先生，我刚才确实控制不住，放了一个屁。”

严谨的训练不是只能通过不断刷题才能够实现，还可以通过专注地听、专注地玩、专注地在乎每一个步骤的安排，比如下棋，这些都是能够带来严谨思维的过程。

回顾爸爸给我的数学认知，理解的准确性、思维的灵活性、操作的严谨性，这三个层面的思维方式是最宝贵的。这些又都是在不知不觉中，通过玩儿、猜测、实践和参与各种活动而来的。

妈妈，启发了我对数学的兴趣；爸爸，给了我思维的方法。 eSvl/tT3VJ3LXP1gaS94XwDUTuNjuytTk2fQIwOw+03GBZRMiWoOs1VIEd1lpuUL