11 晶体的优雅

保罗·斯泰恩哈特（Paul Steinhardt）

普林斯顿大学物理学和天体物理学讲席教授，合著有《无尽宇宙》（ Endless Universe ）。

我人生中第一次体验到科学的优雅，是在阅读一本当时并不太流行的书的时候，这本书就是《对称》（ Summetry ），作者是著名的数学家赫尔曼·魏尔（Hermann Weyl）。我在大学四年级时第一次读了这本书，然后每隔几年，我都会拿出来再重读一遍。《对称》这本书面向普通大众，从直觉审美引入对称这个概念，并从艺术、建筑、生物学类型和装饰图案设计等诸多方面，列举了许多栩栩如生的例子。在第四章和最后一章，魏尔将众多奇思妙想转到了精准的科学研究上，例如他引入了“群论”的部分内容，即将对称转换为一种强大工具的数学理论。

为了证明其威力，魏尔概述了群论是如何能被用于解释晶体形状的。晶体因其漂亮的刻面，长久以来一直深受人们的喜爱。大多数岩石都是由不同的矿物混合而成，这其中不乏晶状体的存在，但由于岩石或是一起生成，或是相互交错，或是被风化，因而难以看到漂亮的晶体面。只在很偶然的情况下，相同的矿物才会形成一个单一的大型刻面晶体，这样的晶体最为赏心悦目。“氧化铝”听起来不怎么值钱，但如果加上少许的铬，并给予大自然充裕的时间，你将拥有一颗富可敌国的红宝石。

在大自然中发现的晶体面，只有从某个特定角度看，才能稍微对应上一组小的对称组合。但为什么物质会具有某些形状而非其他形状呢？这些形状传达了一些什么样的科学信息呢？魏尔通过回答另一个看似与之无关的抽象数学问题，阐释了有关形状的问题：如果形状完全相同、边与边对齐、严丝合缝，什么形状可以用来镶嵌平面或填充空间？正方形、矩形、三角形、平行四边形还有六边形都能够做到。或许你猜想还有许多其他的多边形同样也能做到，但尝试一番后，你会发现根本不存在这个可能性。五角形、七角形、八角形以及所有的正多边形，都无法做到严丝合缝地镶嵌平面或填充空间。魏尔的这本书描述了一种可以将所有可能性进行分类的数学。在二维空间，针对上述问题只有17种可能性，在三维空间则有230种可能性。

在这些可能性的列表中，让人瞠目结舌的事实是，这与在自然界发现的晶体形状种类完全匹配。因此，我们可以推断，晶体物质是如一块不可分割、完全相同的积木重复搭建起来的镶嵌体。当然，我们现在知道这些搭建的积木其实就是原子或分子群集。但是，我们要牢记，将数学与实际晶体关联在一起的时间是在19世纪，当时人们对原子理论依旧心存疑虑。让人感到惊叹的是，对瓷砖和积木搭建的抽象研究激发了人们对物质基本成分和所有可能排列分类的敏锐洞察力。这便是物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）所提及的一个经典例子——“数学在自然科学中不合理的有效性”。

这个故事到此并没有结束。随着量子力学的发展，群论和对称原理已经被广泛运用在预测固体的电子、磁力、弹性和其他物理属性上。效仿这一成果，物理学家们运用对称原理成功地解释了原子核和基本粒子的初始组成，以及它们之间的相互作用力。

当年作为一名少不更事的学生，在读到魏尔的这本书时，我把晶体结晶学视为科学学科当中的一个理想研究目标：优雅的数学，为所有物理的可能性提供了一套完整的理解思路。具有讽刺意味的是，多年以后，在证明我的理想研究存在巨大缺陷的过程中，我自己居然还发挥了不小的作用。那是在1984年，达尼埃尔·谢赫特曼（Dan Shechtman）、伊兰·布莱克（Ilan Blech）、丹尼斯·格拉提亚斯（Denis Gratias）和约翰·卡恩（John Cahn）共同宣布，他们发现了令人不解的具有正二十面体对称性的人造铝锰合金。正二十面体对称，具有6个5重对称轴，在晶体对称性方面被誉为是绝无仅有的形态。幸运的是，以色列理工学院的多夫·莱文（Dov Levine）和我一直在研究一种假定的概念，我们将其简称为“准晶体”的一种固体新形式，“准晶体”即“准周期的晶体”（quasiperiodic crystal）。（一个准周期的原子排列，是指原子的位置可以用一组振动函数的和来表示，其振动频率的比例是无理数。）带给我们灵感的是罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）爵士发明的二维贴砖法，即大家所知的“彭罗斯铺砖”——将两块瓷砖排列成5重对称图案。我们发现，“准晶体”能够在三维空间里存在，并且不受结晶学规则的限制。事实上，“准晶体”具备晶体不应有的对称性。与此同时，我们还发现用于正二十面体的“准晶体”预测的衍射图样，与谢赫特曼等人的观测结果完全匹配。

1984年以后，具有其他禁忌对称性的准晶体，在实验室里实现了合成。2011年，诺贝尔化学奖被授予给了达尼埃尔·谢赫特曼，以表彰其在改变人类对物质可能形态方面的思考上有了实验性的突破。在2012年，我和同事们也发现了“准晶体”可能是形成太阳系的矿物质的第一个证据。

在魏尔的书里，我第一次接触到晶体结晶学，当时我想当然地认为它完美无缺，并会恒久流传。随着发现其遗漏掉数不胜数的物质对称的可能性后，晶体结晶学不幸地被证明为并非完美无缺。或许这就是在警示我们：优雅和简洁往往是评判理论的标准，但优雅和简洁在某些时候也会误导我们，让我们是非不分、大谬不然。