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本节将分为单用户和多用户两部分介绍波束成形技术。
在单用户波束成形的算法中，最常用的是特征波束成形方法，其对于单用户来说具有很好的性能 ［2］ 。在图2-1所示的MIMO系统中，假设发送端已知信道矩阵H，则可通过对矩阵H进行特征分解，实现特征波束成形。
假设信道为平衰落的瑞利信道，其奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）可以表示为
H=UΣV H （2-6）
其中，U为N×K维酉矩阵，V为M×K维酉矩阵，Σ为K×K维对角矩阵，其对角元素为按降序排列的矩阵奇异值，分别可表示为U=［u 1 u 2 …u K ］、V=［v 1 v 2 …v K ］以及下式。
其中，λ 1 ≥λ 2 ≥λ K ，且K为信道矩阵的秩。在发送端和接收端分别使用V和U H 作为发送波束成形矩阵和接收波束成形矩阵，则接收信号可表示为
从式（2-8）可知，通过特征波束成形，MIMO传输矩阵被转化为K个并行独立的标量信道，其中第i个信道增益为λ i 。此时，MIMO系统的信道容量可以表示为累加容量，即
其中，P i 为分配到各子信道上的功率。通过注水功率分配算法，可获得最大的信道容量。最优功率分配表达式为
其中，(x)
+
表示max(x,0)。通过选择μ，可使得功率分配满足约束
。
当系统中存在多个用户时，为充分利用潜在的自由度，必须允许多个用户同时接入信道。为达到此目的，多数发送波束成形方案需要估计用户信道信息，并通过可靠信道将用户信道信息反馈给基站，基站再根据反馈的信道信息计算出可以消除用户间干扰的系数，并对MIMO系统各发射天线的信号进行加权，从而避免用户间干扰，增大接收端信噪比，以提升系统性能 ［3］ 。然而，也有少数波束成形方案无需获取用户的信道信息，例如机会波束成形，它主要是针对慢衰落或快衰落信道提出的一种波束成形方案，其目的在于使慢变信道呈现快衰落特性，以更好地实现多用户分集。本节将重点介绍3种波束成形方案，即迫零波束成形、块对角化波束成形和机会波束成形。
1. 多用户MIMO系统模型
考虑MIMO系统中发送端配置n T 个天线，同时支持K个用户，且第i个用户的接收天线数为n Ri 。若假定信道为慢衰落瑞利信道，则第i个用户的接收信号可表示为
其中，H i 为基站至第i个用户的n Ri ×n T 维信道矩阵，x i 为基站发送的第i个用户的n T ×1维信号，υ i 为n Ri ×1维加性高斯白噪声。
2. 迫零波束成形
迫零波束成形方法的基本思想是使用信道矩阵的广义逆矩阵作为波束矩阵对发射信号进行波束成形。在完全知道信道状态信息的情况下，该算法可以根据信道矩阵求逆，最终使信道对角化，即每个用户等效于一组单入单出信道，从而消除用户间干扰，并且随用户数增多可获得接近脏纸编码（Dirty Paper Coding，DPC）的性能表现。
3. 块对角化波束成形
块对角化波束成形是多用户MIMO系统中一种常用的波束成形技术。块对角化波束成形的基本思想是寻找使HW为分块对角阵的预处理矩阵W，从而把多用户MIMO下行信道分解为多个并行独立的单用户MIMO下行信道 ［4］ 。这种方法所得到的等效单用户MIMO信道和传统的单用户MIMO信道具有相同的特性，所以也可以使用传统单用户MIMO系统的信号检测技术。
块对角化实际上是信道求逆的推广，其区别在于，块对角化在等效单用户MIMO信道的一组天线上优化分配的发射功率，而信道求逆是为每一根天线分配功率，同时，实现块对角化的条件比实现信道求逆的条件略为宽松。分块对角化需要两个方面的条件，可以总结为维数条件和信道独立性条件。应用分块对角化算法对维数要求的充分条件是发射天线的数目不小于任意K−1个用户接收天线的数目之和。为了向多个用户同时发送数据，块对角化还必须避免对信道高度相关的用户进行空分复用。因此，在不同时使用其他复用方式的前提下，使用这种策略将使系统中的用户数量受到限制。当使用其他多址接入方式，如TDMA、FDMA时，这些条件的限制便不再那样严格。例如，对于一个基站装配较少的天线而服务大量用户的情形，一个可行的方法是将SDMA与其他多址方式结合，例如将用户分组，使每一组内的用户满足维数条件，用户组之间采用SDMA的方式，组与组之间分配不同的频带或时隙等资源。
考虑式（2-11）表述的MIMO多用户信号模型，若令第i个用户发送端波束成形矩阵表示为W i ，接收端合并矩阵为G i ，则第i个用户合并处理后的信号可以表示为
式（2-12）中第一项为期望信号，第二项为其他用户的干扰信号。上式还可表示为
其中，
，
。
当基站端已知每个用户的信道状态信息H
i
时，发送端可以设计W
i
，使得
，即其他用户对用户i的干扰为零，再根据注水定理进行功率分配，那么多用户MIMO信道就等效为并行单用户MIMO信道，从而可以充分利用空间资源，在不增加系统带宽和发送功率的情况下，极大地提高系统容量和频谱利用率。因此，块对角化的核心算法为如何根据H
i
来设计W
i
，使得
，即H
i
W
j
=0，i≠j。
对于用户端采用单天线的系统，信道对角化必须由发送端来完成，且完全对角化只有在n T ≥K时才可能用信道求逆来完成。而对于每个用户采用多天线的系统，完全对角化则不是最优的，因为每个用户可以在自己的接收信号向量上采用联合检测的方式。
通过块对角化求解W i 可以表述为
定义
。由上式可知W
i
必然落在
的零空间。由此定义出保证所有用户可以满足干扰迫零约束的维数充分条件，当
的零空间维数大于0时，信号才可能发送给用户i，即要满足
。当如下条件满足时，分块对角化才可能实现。
假定维数条件对所有用户均满足上述条件，定义
，其中
，定义SVD分解为
其中，
包含前
个右奇异值向量，
包含后
个右奇异值向量。由矩阵理论可知，
构成了矩阵
零空间的正交基，而它的列就构成了第i个用户的波束成形矩阵W
i
。(0)
块对角化的独立性条件可以从这里推导出来：定义
，当
时，信号才可能发送给用户i，一个充分条件是矩阵H
i
中至少有一行与矩阵
的行线性无关。为了满足这个条件，系统设计应避免对多个空间相关性很强的用户进行空分复用。同时应指出的是，完全对角化要求H
i
中所有的行均与
中的行线性无关，而分块对角化则不需要。
定义矩阵
为
且
中每个用户矩阵
奇异值分解可以表示为
其中，Σ
i
为
维矩阵，
为H
i
的前
个右奇异值向量，
为H
i
的后
个右奇异值向量。定义
其中，Λ=diag(λ 1 ,…,λ K )，λ i 为分配至第i个用户的功率，可通过对∑=diag(∑ 1 ,…,∑ Κ )的对角元素进行注水而得到。
假设系统总的发送功率为P s ，则块对角波束成形算法总结如下。
①对第i（i=1,",K）个用户，计算矩阵
的右零空间
，计算奇异值分解。
②对∑的对角元素进行注水，从而在总功率为P s 的情况下确定功率加权矩阵Λ，求得最优的功率分配。
③求解每个用户的波束成形矩阵为
通过上述步骤，在发送端已知用户信道状态信息的情况下，可成功利用块对角化波束成形算法消除各用户之间的互干扰，从而将多用户MIMO信道转化为并行的单用户MIMO信道。虽然块对角化波束成形不能达到脏纸编码的容量上限，但是由于其具有相对较低的复杂度及可实现性，所以在实际应用中具有重要的价值。
4. 机会波束成形
当信道环境为稀疏散射或慢衰落时，信号相关性大，不具有实现多用户分集的特性。此时可以使用机会波束成形技术，利用多天线产生的随机波动，将待发射信号加权，使慢变信道呈现快衰落特性，以更好地实现多用户分集，从而提高系统容量。
在蜂窝系统下行链路中，基站端使用多天线，每根天线发送同样的数据信号，但是每根天线的幅度和相位均以一种受控的伪随机方式变化。如果所有发射天线到用户的信道增益的幅度和相位都可以被跟踪和反馈，则可以使用最优波束成形技术。但是如果反馈非常受限，例如只反馈信道的总信噪比，则真正意义上的最优波束成形便无法实现。在一个具有很多用户的无线网络里，能出现某些用户的瞬时幅度和相位与发射天线的幅度和相位匹配的几率较大，基于这样的事实，人们便考虑应用机会波束成形技术。当用户数量很多时，机会波束成形可以通过非常有限的反馈逼近最优波束成形的性能。
假设基站端已知每个用户的可达速率和必要的功率分配方式，基站从反馈的信息中选择最优的用户并对其服务。对于式（2-5）所示的多用户MIMO系统模型，由于系统每次只为一个用户提供服务，式（2-5）可以重新表示为
y i =H i x i +υ i （2-22）
使用SVD分解，信道矩阵可以表示为
令波束成形矩阵
，满足
，在基站处，W
i
乘以原始信号s
i
成形x
i
，其中向量s
i
表示n
T
个独立的空间数据流，其协方差矩阵R
ss
为对角矩阵。值得注意的是，s
i
的元素间没有相关性，并且，s
i
元素间可以有不同的功率分配。由式（2-22）和式（2-23）可得
若
，则第i个用户使用了最优波束成形。在这种情况下，来自于其他天线的干扰在发射机处将被完全消除，其等效于基站端已知完全的信道信息并用矩阵对V
i
信号进行预处理。
令
为第i个用户的等效信道矩阵，式（2-24）可重新表示为
y i =H eff,i s i +υ i （2-25）
由于s i 元素间没有相关性，则可将s i 的每个数据流视为来自不同用户，该问题可以视为在具有n T 个独立用户的多址信道上基站向第i个用户发射数据的情况，且基站的发射功率限制可以等效为n T 个用户的功率和限制。因此，第i个用户的最大速率等效为功率和限制下的多址信道容量和。
令
，s
i
=［s
i
(1)…s
i
(n
T
)］
T
，则式（2-25）可重新表示为
且第i个用户的最大速率可以通过求解下列优化问题得到，即
上式的约束条件为
0
j
P，≥，其中，P
s
为总功率，s
i
的协方差矩阵可以写为R
ss
=diag(P
1
,…,P
nT
)。上述优化问题可以通过使用迭代注水算法有效求解。寻找最优P
j
的具体步骤如下所述。
①对任意用户，初始化
。
②对第t次迭代，将等效用户间的干扰视为噪声，且产生的有效信道为
将所有的有效信道视为并行无干扰的信道，对其进行注水算法得到新的一组功率分配值。
其中，D
i
≥0，
。
③重复步骤②，直到达到精度要求。
总结上述过程，多用户MIMO系统的机会波束成形算法归纳如下。
①基站将训练序列乘以机会波束成形矩阵W i ，然后向所有用户发射。训练序列用于信道估计，假设所有用户端已知训练序列。
②每个用户估计等效信道H eff,i ，并用迭代注水算法计算最大速率。
③每个用户的速率反馈至基站端。
④基站选择具有最大速率的用户并广播告知所有用户。
⑤被选择的用户反馈功率分配方案。
⑥基站采用反馈的功率分配方案向选中的用户发送数据。
⑦用户采用联合干扰消除接收多个数据流。
⑧对每个信道实现，重复步骤①~步骤⑦。