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要真正理解支配自然界的神秘力量，首先必须将真理从纯粹的迷信中剥离出来。但在可靠地完成这一任务之前，古人们还须做些预备性工作，即找到如何从数学上将真理和迷信分开的方法，这需要某种程序来鉴别一个给定的数学命题是否为真。除非这一预备步骤得到圆满完成，否则就没有希望从数学上认真探讨那些更加困难的、包括支配外部世界的各种力的一系列问题。认识到理解自然界的关键在于寻求颠扑不破的数学真理，这可能是科学发展的第一个主要突破。
尽管自古埃及和古巴比伦时代以来，人们就已经猜测出各种数学真理，但直到古希腊米利都的大哲学家泰勒斯（Thales，约公元前625～约前547）和萨摩斯岛的毕达哥拉斯
[1]
，
（Pythagoras，约公元前572～约前497）引入了
数学证明
的思想后，理解数学——从而理解科学本身——的第一块基石才得以确立。第一个引进证明概念的人可能是泰勒斯，但最先将证明用来澄清某些不如此就无法说明事情的则是毕达哥拉斯。此外，毕达哥拉斯还深刻洞察到
数
及各种算术概念对主导物理世界运行的重要性。据说，导致这一认识的一个重要因素，是他注意到由七弦琴或长笛发出的最为美妙的和声正好对应于各音的振动弦长或指孔气柱长的最简单长度比。因此，人们传言是他引入了所谓的“毕达哥拉斯音阶”，即作为西方音乐基础的主要音程关系的频率之比。
[2]
著名的
毕达哥拉斯定理
断言，直角三角形斜边长度的平方等于两条直角边长度的平方和，这或许比任何其他事物更能说明在数的算术运算与物理空间的几何性质之间确实存在的精确关系（见第2章）。
当时，在位于今天意大利南部的克洛顿城（Croton），毕达哥拉斯拥有大批的追随者，即毕达哥拉斯学派。然而，由于他的弟子们严守机密，因而极大地削弱了这个学派对外界的影响，几乎所有曾经得到过的详细结论都在漫漫历史长河中遗失了。但尽管如此，也还是有部分结论被侥幸地泄露出来，当然其代价是惨重的——据记载，至少有一次，窃密者被处以溺毙的极刑！
不管怎么说，毕达哥拉斯学派终究对人类思想进程产生了深远的影响。有了数学证明的观念，人们第一次有可能做出确凿无疑的论断，即使到已积累了大量新知的今天，这些论断仍然像当初刚提出来的时候那样是真实可信的。自那时起，数学的这种与时间无关的真理性开始被揭示出来。
那么，究竟什么是“数学证明”呢？数学中的证明是指遵循纯粹逻辑推理因而无懈可击的论证过程，这个过程确保能从已知为正确的数学命题或某些特殊的原初命题，即正确性自明的 公理 出发，来推断所给命题的正确性。一个数学命题一旦通过这种方式得以建立，我们就称之为 定理 。
毕达哥拉斯学派的许多定理本质上都是关于几何的，而另一些命题则与数有关。这些只与数相关的命题甚至在今天都有着无可挑剔的正确性，正如它们在毕达哥拉斯时代那样。相比之下，那些通过数学证明的几何定理处境又如何呢？它们当然也保持着一目了然的正确性，然而今天，问题变得复杂化了。这个问题的实质以我们今天的知识程度来审视，当然要比毕达哥拉斯时代看得更为清楚。古人们仅知晓一种几何，即所谓 欧几里得几何 ，而我们现在则知道还存在多种其他类型的几何。因此，但凡谈及古希腊时代的几何定理，非常要紧的一点是要明了我们涉及的实际上是欧几里得几何。（我会在§2.4明确阐述这些议题，并给出一个重要的非欧几何的例子。）
欧几里得几何是一种精巧的数学结构，有着一整套独特的公理（包括一些不太确定的命题，又称公设）。这种几何提供了真实物理世界某个特定方面的极好的近似描述，即对刚体的几何形状以及刚体在三维空间中运动时相互间位置关系的描述。古希腊人对这些性质非常熟悉，它们是如此自洽，以至于人们乐于将其视为“自明”的数学真理从而直接作为公理（或公设）来看待。正如我们将在17～19章以及§§27.8，11看到的，爱因斯坦的广义相对论——甚至狭义相对论中的闵可夫斯基时空——为物理世界提供了一种不同于欧几里得几何而且更为精确的几何描述，尽管欧几里得几何已经相当精确。因此，当我们考察几何学命题时，必须仔细判断出这种“公理”是否在任何意义上都是 正确的 。
但在此情形下，究竟什么才能称得上是“正确的”？生活在雅典的古希腊大哲学家柏拉图（Plato，约公元前429～约前347，毕达哥拉斯之后约一个世纪）早就充分认识到了这个困难。柏拉图明确指出，任何作为无懈可击的真理而出现的数学命题都不会指向任何实际的物理对象（像由沙土或木料或石料等材料制造的近似正方形、三角形、圆、球形和立方体），而是针对某种理想化客体。他想象这些理想化客体应处于与现实世界截然不同的另一个世界中。今天，我们把这个世界称作 柏拉图的数学形式世界 。物质世界的种种结构，比如从纸上剪下来的或标记在某个平面上的正方形、圆环或三角形，或用大理石制作的立方体、正四面体或球体，看起来虽与那些理想物非常一致，但也仅仅是相近而已。正方形、立方体、圆、球体、三角形等等这样的数学对象不是物理世界的一部分，而是存在于柏拉图那个理想的数学形式的国度中。