注释

§6.1

[6.1] 这里我采取了一种稍嫌“滥用符号”的做法。例如， x 2 通常是指函数值而非函数。映射 x 到 x 2 的函数本身则记为 x x 2 ，或按丘奇（1941）的《λ演算》一书，记为λ x ［ x 2 ］。见Penrose（1989），第二章。

[6.2] 在这一节里，我会不断提到欧拉所笃信的函数概念。然而，在此我要说清楚，我所谓的“欧拉”概念是指一种假设的或理想化的个体。我并没有在任何具体事例里给出莱昂纳多·欧拉自己的观点的直接信息。但我用我的“欧拉”所表述的思想距欧拉实际要表述的思想并不太远。关于欧拉的进一步文献见Boyer（1968）；Thiele（1982）；Dunham（1999）。

§6.2

[6.3] 细节见Buekill（1962）。

[6.4] 严格来说，函数 f ′才是函数 f 的导数；我们无法直接从 f 在 x 点的值得到 f ′在 x 点的值，见注释6.1。

§6.3

[6.5] 注意： f ″（ x ）/［1+ f ′（ x ） 2 ］ 3/2 。

[6.6] 事实上，这意味着直到包括 n 阶在内的所有导数都必须是连续的，因为可微性的数学定义要求满足这种连续性。

§6.4

[6.7] 传统上，这个幂级数关于原点的展开叫做（并没什么历史依据）麦克劳林级数，关于任意点 p 的一般展开（见本节后述）则归功于Brook Taylor（1685～1731）。

§6.5

[6.8] 见Edwards and Penney（2002）。

[6.9] 眼下就按下列公式处理，或者说“将d x 乘到等号的另一边”，如果你愿意的话。我这里采用的记法与微分形式是一致的，后者将在§§12.3～6进行讨论。

[6.10] 但是，在将这一法则应用到幂级数的无穷多项求和问题时还有些技术细节需要注意。对 x 严格限定在收敛圆之内的情形，这个细节可忽略，见§2.5。见Priestley（2003）。

[6.11] 从§5.1可知，sin －1 、cos －1 和tan －1 分别是sin、cos和tan的反函数。因此，sin（sin －1 x ）= x ，等等。我们得记住，这些反函数都是“多值函数”，其取值范围分别为 ≤sin －1 x ≤ ，0≤cos －1 x ≤π和 ＜tan －1 x ＜ 。

§6.6

[6.12] 定义域的重要一点就在于所谓的 紧致性 ，见§12.6。实线上包括端点的有限区间是紧致的。

[6.13] 显然，在狄拉克之前许多年，奥利佛·赫维塞德就有了“δ函数”。

*〔6.1〕 验证这一点（略去 x =0）。

***〔6.2〕 如果你知识了得，不妨证证看。

*〔6.3〕 用本节末给出的法则证明这一点。

***〔6.4〕 考虑“一个函数”e －1/ x 2 。证明：它在原点是 C ∞ 的但不是解析的。

*〔6.5〕 用§5.3给出的e x 的幂级数证明：de x =e x d x 。

**〔6.6〕 建立这个关系。

*〔6.7〕 导出这一点。

*〔6.8〕 对 y =（1－ x 2 ） 4 ， y =（1+ x ）/（1－ x ），求d y /d x 。

**〔6.9〕 设 a 是一常数，求d（log a x ），d（log x a ），d（ x x ）。

**〔6.10〕 首先，做练习［6.5］；然后导出d（e log x ）的二阶导数；de i x 的三阶、四阶导数，假定复数量的求导如同实数量一样；并从较易的形式出发推导余下的式子，注意利用d（sin（sin －1 x ）），等等公式，并注意到cos 2 x +sin 2 x =1。 myNlnxiOq0o9oCHmitAKrwlkSCfnh2GMM5WT6FkMkLfYrYrtaaf4VUT666hTXrZy