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如本章开头所述，积分是微分的逆运算。这种运算的目的是要找出满足 g ′（ x ）= f （ x ）的函数 g （ x ），即找到方程d y /d x = f （ x ）的解 y = g （ x ）。换一种说法，就是说，从图6.4（或图6.5）上看，我们现在不是要从上往下进行，而是自下往上地进行。“微积分基本定理”的美就在于这个程序可以告诉我们对每一条连续曲线如何求出其面积。我们来看图6.8。我们知道，图（b）中曲线 u = f （ x ）可以从图（a）的曲线 y = g （ x ）得到，因为它画的是曲线的斜率， f （ x ）是 g （ x ）的导数。这些是我们前面所做的工作，现在我们从图（b）的曲线着手。我们发现，曲线 g （ x ）反映的是曲线 f （ x ）下的面积。说得更清楚点儿：如果我们在图（b）中取两条竖直线，例如 x = a 和 x = b ，那么由这两条线、 x 轴和曲线本身所围成面积，将反映为图（a）的曲线在不同 x 值之间的高度差。当然，这里还应注意“正负号”。对于曲线 f （ x ）在 x 轴以下的部分所围成的区域，其面积为负。另外，图中我取的是 a ＜ b ，曲线 g （ x ）的“高度差”为 g （ b ）－ g （ a ）。如果 a ＞ b ，则正负号变号。
图6.8 微积分基本定理：图6.4（a），（b）的重新解释，读图顺序自下而上。上图曲线（a）是下图曲线（b）的面积曲线，这里面积由两条竖直线 x = a 和 x = b 、 x 轴和下图曲线本身所围成，它反映为上图曲线在这两点的曲线高度差 g （ b ）－ g （ a ）。
在图6.9，我试着从直观角度来说明为什么斜率和面积之间存在着这种反比关系。我们将 b 设为仅比 a 大一点点，这样，下图中所考虑的面积就是由相邻直线 x = a 和 x = b 限定的非常窄的带状区域。这个面积的度量基本上可看作是带的狭窄宽度（即 b － a ）与高度（从 x 轴到曲线）的乘积。而带的高度可用上图中曲线在该点的斜率来度量。因此带状面积就是这个斜率乘以带宽。而这个斜率乘以带宽就是上图中曲线从 a 到 b 的变化，即差 g （ b ）－ g （ a ）。因此，对很窄的条带，其面积正是由这个差来度量。宽带可看成是大量的这种窄带的叠加，这样，总面积就可以用上图中曲线的整个积分来度量。
图6.9 取 b 稍大于 a ， b ＞ a 。在下图中，相邻直线 x = a 和 x = b 限定的非常窄的带状区域大小为带的宽度 b － a 与高度（从 x 轴到曲线）的乘积。这个高度就是上图曲线在该点的斜率。因此带状面积就是这个斜率乘以带宽。这也就是上图曲线从 a 到 b 的变化，即差 g （ b ）－ g （ a ）。将许多这样的窄带叠加起来，我们发现，下图曲线的宽带面积变化即构成上图曲线。
这里我必须特别强调一点，在下曲线到上曲线的对应中，我们并未对整个图曲线的高度位置做出具体规定，我们关心的只是上曲线的高度差，因此整个曲线往上或往下平移一个常量不会有任何差别。这一点从“斜率”的解释中也可以看得很清楚，如果我们整条上曲线往上或往下移动，两点间的斜率并不改变。这就是说，如果我们在计算中加一个常量 C 到 g （ x ），则结果函
数仍是对 f （ x ）的微分：
d（ g （ x ）+ C ）=d g （ x ）+d C = f （ x ）d x +0= f （ x ）d x 。
这个函数 g （ x ），或等价的附加了任意常数 C 的 g （ x ）+ C ，称为 f （ x ）的不定积分，写成
∫ f （ x ）d x = g （ x ）+常数
这是关系式d［ g （ x ）+常数］= f （ x ）d x 的另一种表达形式，因此我们通常将符号“∫”看成是“d”的逆运算。如果我们要求 x = a 和 x = b 之间的具体面积，则相应的运算称为 定积分 ，写成
如果知道了函数 f （ x ），并欲求其积分 g （ x ），我们可没有像微分那样直接的运算法则。这里需要用到许多技巧，它们都可以在标准教科书和计算手册里找到，但仅有这些还远远不够。实际上，我们经常会发现，为了表示积分的结果，我们先前用的那些标准显函数必须拓宽，必须“发现”新函数。而在前述的例子里我们也已经看到了这一点。假定我们只熟悉那些由 x 的幂组合而成的函数，对一般的幂 x n ，积分得到 x n +1 /（ n +1）。（这只是用了§6.5的公式：d（ x n +1 ）/d x =（ n +1） x n 。）一切都很顺利，但到了 n =－1，情形大不相同了，因为预设的答案 x n +1 /（ n +1）中分母变成了零，答案无效。那么我们怎么来积分 x －1 呢？我们幸运地注意到，§6.5的公式列表里正好有这么个公式d（log x ）= x －1 d x ，因此 x －1 积分的结果是log x +常数。
这一次我们够幸运！这是因为我们刚好研究过对数函数，知道它的特性。但在其他情形，我们会发现，有时根本就不存在我们以前所知的那些函数。常常是积分本身提供了新函数的定义。在这个意义上说，显积分是“困难的”。
但另一方面，如果我们不把注意力放在显性表达式上，而是放在作为给定函数的导数或被积函数的存在性问题上，那么情况就大不一样了。这时积分是一种平稳的运算，而微分则可能引起问题。这些特点对数值型计算也是一样的。基本上说，微分的问题在于它强烈依赖于待微函数的细节。如果我们没有待微函数的显性表达式，就有可能出问题。而积分对这种细节要求就非常不敏感，我们关心的是被积函数的宽泛的整体性质。事实上，定义域为“闭”区间 a ≤ x ≤ b 的任何连续函数（C 0 函数）都是可积的， [12] 结果是C 1 （即C 1 光滑）的。它可再次积分，结果为C 2 型光滑函数，再积结果为C 3 ，等等。积分使得函数越来越光滑，我们可以无止境地进行下去。另一方面，微分则使事情越来越“糟”，它可能会终止于某个点上，在此处函数变得“不可微”。
但是，对这些问题，我们也有办法使微分过程可无限连续地进行下去。其实在我容许对函数｜ x ｜进行微分以得到θ（ x ）时，我就已经暗示了这一点。我们还可以走得更远，对θ（ x ）进行微分，尽管它在原点有无穷大的斜率，其“答案”就是所谓的狄拉克 [13] δ函数——量子力学里相当重要的一个概念。δ函数并不是通常（现代）意义上的那种将定义域映射到目标域的真正的函数，它在原点没有“值”（唯一可能的就是无穷大）。但我们在许多数学门类里都可以找到这种δ函数的清楚的数学定义，这就是所谓的分布。
为此，我们有必要将C n 函数概念扩展到 n 可以取负整数的情形。函数θ（ x ）是C －1 函数，δ函数则是C －2 函数。我们每微分一次，可微性就减少一个单位（即变负一个单位）。所有这一切似乎使得我们越来越远离欧拉的“ 体面函数 ”了，他告诉过我们不要与这种函数打交道。但事实上这些函数似乎都很有用。以后我们会发现，正是在这种地方，复数向我们展示了最神奇的魔力！但我现在还不能恰当地描述这一点，这要等到第9章以后才行。读者还得再忍耐一会儿，我们还得做些基础准备，用另一些超神奇的材料做些铺垫。