6.5
微分法则

在讨论这些问题前，有必要对我们实际要用到的神奇的微分计算法则先说两句——这些法则使得我们几乎可以不加考虑地对函数进行微分，当然数月的练习还是必要的！利用这些法则，我们可以直接写出许多函数的导数，特别是当这些函数是用幂级数来表示时就更是如此。

在前面的论述中，我举过个例子： x 3 的导数是3 x 2 。它是一个简单而又重要的公式的特例： x n 的导数是 nx n －1 ，我们可以将其写成

（我们已经走得太远了，这里我的目的是要解释为什么这个公式能够成立。这其实不难证明，有兴趣的读者可以从任何一本有关微积分的基础教材中找到所有必要的材料。 ^[8] 顺便说一句， n 不必是一个整数。）我们还可以将这个公式（通过乘以“d x ”）表示成更方便的形式： ^[9]

d（ x n ）= nx n －1 d x 。

我们不需要知道更多的关于如何进行幂级数微分的细节。但还有两个基本法则需要知道。首先，函数和的导数等于函数导数的和：

d［ f （ x ）+ g （ x ）］=d f （ x ）+d g （ x ）。

这个法则可以扩展到对有限个函数的和。 ^[10] 其次，乘以一个常数的函数的导数等于常数乘以该函数的导数：

d｛ a f （ x ）｝= a d f （ x ）。

这里所谓“常数”是指不随 x 变化的一个数。幂级数的系数 a 0 ， a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ，…都是常数。有了这些法则，我们就可以直接进行幂级数的微分。 ^*〔6.5〕

常数 a 的另一种表示是

d a =0。

回想一下我们就会发现，上面这些法则实际上是“莱布尼茨法则”的特殊情形（ g （ x ）= a ）：

d｛ f （ x ） g （ x ）｝= f （ x ）d g （ x ）+ g （ x ）d f （ x ）

（对任意自然数 n ，d（ x n ）/d x = nx n －1 也可以从莱布尼茨法则导出 ^**〔6.6〕 ）。还有一个有用公式：

d｛ f （ g （ x ））｝= f ′（ g （ x ）） g ′（ x ）d x 。

从后两式和第一式，将 f （ x ）［ g （ x ）］ －1 代入莱布尼茨法则，我们可导出 ^*〔6.7〕

有了这些法则的武装（当然还得加上多多的练习），我们无需了解为什么这些法则是有效的就可以成为“微分专家”了！这就是优越的微积分的力量。 ^*〔6.8〕 除此之外，再加上一些特殊函数的导数， ^**〔6.9〕 我们就更像专家了。有了这些，就是一个生手也会很快变成微分专家俱乐部的“新成员”，让我再提供些主要的例子： ^[11] ， ^**〔6.10〕

这样就说明了我们在本节开头所指出的一点，对于显函数，微分运算是“容易”的。当然，我不是说你可以在不清醒的眯盹状态下就能习得这些知识。在一些特例中，表达式还是相当复杂的。我说“容易”，只是说进行微分有一套明确的计算程序。如果我们知道表达式的每个部分如何进行微分，那么这个计算程序就会告诉我们如何进行整个表达式的微分计算。“容易”还意味着这种计算可以在计算机上快速进行。但如果我们从反方向进行，事情就要复杂得多了。 3enPyE7BB3iDoZbe1kkO0gnpJTS4W9JBOOm3kwMaBH6U/LyQRpV2l9ZQKU5IfDof