6.3
高阶导数；C ∞ 光滑函数

现在我们来看看取二阶导数时会发生什么。这意味着我们现在是将图6.4（b）的斜率函数看成新的曲线 u = f ′（ x ），这里 u 代表d y /d x 。图6.4（c）画出了这个“二阶”斜率函数，它是d u /d x 关于 x 的图像，因此d u /d x 的值就是二阶曲线 u = f ′（ x ）的斜率。它给出的就是原函数 f （ x ）的二阶导数，通常写成 f ″（ x ）。我们用d y /d x 取代d u /d x 中的 u ，就得到 y 关于 x 的二阶导数，它可以写成（尽管有点不正规）d 2 y /d x 2 。

注意，原函数 f （ x ）有水平斜率处的 x 值恰好就是 f ′（ x ）与 x 轴的交点的 x 值（故对这些 x 值d y /d x 为零）。这些位置也就是 f （ x ）取（局部）极大或极小值的位置，当我们要求函数的（局部）最大值或最小值时它们就显得非常重要了。那么二阶导数 f ″（ x ）与 x 轴的交点的点有什么意义呢？我们说这些是 f （ x ）的曲率为零的位置。一般来说，在这些点上，曲线 y = f （ x ）的“弯曲”方向会从曲线的一侧变到另一侧，我们把这种点称为 拐点 。（实际上，说 f ″（ x ）“量度”曲线 y = f （ x ）的曲率不是很准确，真正的曲率是由比 f ″（ x ）更复杂但包括 f ″（ x ）的表达式 ^[5] 给出的，当 f ″（ x ）为零时，这个曲率也为零。）

接下来我们考虑前述的两个（表面上）看似相似的函数 x 3 和 x ｜ x ｜。在图6.5（a），（b），（c）中，我像在图6.4中做的那样画了 x 3 及其一阶和二阶导数的图像，图6.5（d），（e），（f）则为 x ｜ x ｜的相应图像。在 x 3 情形，我们已看到，其一阶和二阶导数的连续性和光滑性都不成问题。实际上，它的一阶导数为3 x 2 ，二阶导数为6 x ，二者都不会让欧拉不舒服。（一会儿我们再来讲如何得到这些显式。）但在 x ｜ x ｜情形，其一阶导数出现了如图6.2（a）的“折角”的麻烦，而二阶导数则会出现类似于图6.2（c）的“阶梯函数”性态。我们已经知道，这时函数的一阶导数失去了光滑性，二阶导数则连连续性也丧失了。欧拉是根本不会理会这种情形的。实际上， x ｜ x ｜的一阶导数是2｜ x ｜，二阶导数是－2+4θ（ x ）。（那些追求严谨的读者可能会抱怨说，我不该把2｜ x ｜麻利地写成“一阶导数”，因为它在原点是不可微的。确实是这样，但这只是小问题：用第9章末引入的概念就会知道，这么做有其正当性。）

我们很容易想象，函数完全有可能在计算多阶导数时失去光滑性和连续性。事实上形为 x n ｜ x ｜的函数就是这么一个例子，其中 n 可以取任意大的正整数。数学上将这种情形称为函数 f （ x ）是 C n 光滑 的，如果它（在定义域的每个点上）有 n 阶导数并且第 n 阶导数连续的话。 ^[6] 函数 x n ｜ x ｜是 C n 光滑的，但它在原点不是 C n +1 光滑的。

n 要多大才能使欧拉满意呢？显然， n 的任何具体值都不会让他满意。欧拉想要的是那种任意阶可微的自尊的函数。数学上将这种情形称为函数 f （ x ）是 C ∞ 光滑的，如果它对任意一个正整数 n 都是 C n 光滑的话。换句话说，一个 C ∞ 光滑函数必是任意阶可微的。

欧拉的函数概念大概就是这种具有 C ∞ 光滑的函数。至少我们可以想象，他所要求的函数应在其定义域的绝大部分场合是 C ∞ 光滑的。但对1/ x （图6.6）情形会如何呢？它在原点显然不是 C ∞ 光滑的。按今天的函数定义，它甚至在原点都无定义。但欧拉肯定会认为1/ x 是一种体面的“函数”，尽管有这样的问题，因为它毕竟具有外观简单好看的形式。人们还可以看出，其实欧拉并不是非常在意他的函数是否在定义域的每一点都是 C ∞ 光滑的（假定他毕竟还关心“定义域”的话）。甚至函数在奇点出错这样的事情在他看来都不要紧。但｜ x ｜和θ（ x ）不就和1/ x 一样在同样的“奇点”出错了吗？由此看来，无论我们怎么努力，我们都把握不住“欧拉式的”函数概念是否就是我们所描述的那种概念。

现在我们来看另一个例子。考虑函数 h （ x ），它定义为

这个函数的图像见图6.7。看起来它明显是光滑函数。实际上它的确是非常光滑的。它在整个实数域都是 C ∞ 光滑的。（证明这一点属数学系本科生课程的内容。我记得我还是本科生的时候就做过这类的作业。 ^***〔6.2〕 ）尽管它绝对光滑，但我们可以想象，欧拉对这种形式的函数一定是嗤之以鼻的。在欧拉看来，它显然就不是“一个函数”，而是“纠集在一块儿的两个函数”，不论你把原点处的“疮疤”捯饬得多么光滑。相反，对欧拉来说，1/ x 则是一个函数，尽管事实上它在原点处被难堪地“撕裂”成两半，甚至连连续都谈不上，就更甭说光滑了（图6.6）。在欧拉看来， h （ x ）并不比｜ x ｜和θ（ x ）好多少，因为在这些情形中，它们明显都是“粘合起来的两个函数”，尽管这种粘合工作做得是如此天衣无缝（对θ（ x ），似乎还有“脱胶”的危险）。