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如上所述，微分运算包括求“斜率”。从图6.2a所示的｜ x ｜的图像我们清楚地看到，函数在原点的斜率不唯一，因为这里有个折角。但除原点之外，在其他地方斜率是唯一确定的。｜ x ｜在原点处的这种麻烦被称为｜ x ｜在原点处不 可微 ，换一种等价的说法，就是函数在此处不 光滑 。相反，如图6.2（b）所示的函数 x 2 则是处处都有唯一定义的斜率，它因此也是处处可微的。
图6.2（c）所示的函数θ（ x ）比｜ x ｜更麻烦，因为θ（ x ）在原点（ x =0）处有一“跳跃”。这时我们说θ（ x ）在原点 不连续 。相比之下，函数 x 2 和｜ x ｜则是处处 连续 的。｜ x ｜在原点处的麻烦不是连续性失效而是可微性失效。（虽然连续性失效和可微性失效不是一回事，但二者实际上是彼此相关的概念，这一点我们一会儿就要谈到。）
图6.3 （a） x 3 和（b） x ｜ x ｜（即如果 x ≥0，则 x 2 ；如果 x ＜0，则－ x 2 ）的图像。
可以想象，这两种缺失哪一种都不会令欧拉高兴，它们似乎正是｜ x ｜和θ（ x ）不能成为“真”函数的理由。现在我们来考虑图6.3所示的两个函数。第一个是 x 3 ，它在任何意义下都称得上是函数；而第二个是 x ｜ x ｜，它在 x 非负区域的图像与 x 2 相同，但在 x 为负的区域相当于－ x 2 吗？乍一看，两个图像彼此非常相像且肯定“光滑”。二者不仅在原点的“斜率”有绝对完好的值，即都是零（这意味着曲线在此处有水平的斜率），而且在最直接的意义上也是处处“可微”的。但是， x ｜ x ｜肯定不是令欧拉满意的那种“漂亮”函数。
x ｜ x ｜的“错误”在于它在原点没有定义完好的 曲率 ，曲率的概念也涉及微分计算。实际上，“曲率”是一种与所谓“二次导数”有关的运算，就是说要做两次微分。因此我们可以说，函数 x ｜ x ｜在原点不是 二次可微的 。我们将在§6.3来考虑二次和更高次导数。
图6.4 笛卡儿坐标系下的（a） y = f （ x ），（b）一阶导数 u = f ′（ x ）（=d y /d x ）和（c）二阶导数 f ″（ x ）=d 2 y /d x 2 的图像。（注意， f （ x ）在 f ′（ x ）与 x 轴相交的地方有水平斜率，而在 f ″（ x ）与 x 轴相交的地方有拐点。）
为了开始正确理解这些事情，我们有必要看看微分运算实际是如何进行的。为此我们得知道如何来量度 斜率 。如图6.4所示，我画了一条比较有代表性的函数图像 f （ x ）。图6.4（a）的曲线描述的是关系 y = f （ x ）。正如通常笛卡儿坐标描述的那样，这里坐标 y 的值量度的是高度， x 值量度的是水平位移。我曾说过，曲线在某一点 p 处的斜率就是该点的 y 坐标的增量除以 x 坐标的增量，相当于我们在 p 点作曲线的切线。（“切线”的数学定义取决于适当的求极限过程，但这不是我在这里要达到的目的。我希望读者能够明白我的这种直观描述足以满足我们当前的需要。 [3] ）斜率的标准记法是d y /d x （读成“d y 比d x ”）。我们可将“d y ”看成是 y 值沿曲线的一个非常小的增量，“d x ”为相应的 x 值的小的增量。（这里，技术上严格说来都要求取“极限”，即是说这些小量应尽量减小到零。）
现在我们来考虑另一种曲线，即前述曲线上每一点 p 的斜率值关于 x 的曲线，见图6.4（b）。这里我们再次用笛卡儿表示法，但垂直轴表示的是d y /d x 而非 y 。水平移位则仍由 x 量度。画出的这个函数通常称为 f ′（ x ），也可以写成d y /d x = f ′（ x ）。我们把d y /d x 称作 y 关于 x 的导数 ，把 f ′（ x ）称作 f （ x ）的导数。 [4]