6.1
如何构造实函数？

微积分——或按其更复杂的名字， 数学分析 ——是由两个基本要素构成的： 微分 和 积分 。微分涉及速度、加速度、斜率和曲线和曲面的曲率等量的运算。它们反映的是事物变化的快慢，是一些根据单个点最小邻域的结构和性态来 局域 定义的量。而积分则涉及面积和体积、引力中心和其他一些涉及总体性质的量的计算。它们反映的是某种形式 总量 的量度，这些量不局限于单个点的最小邻域或局域的性态。一个显著的事实，即 微积分基本定理 ，本质上是这两个要素的互 逆 运算。正是这一事实使得这两个重要的数学研究领域能够统合起来提供一种强有力的分析工具和计算技术。

数学分析这一主题的思想，正如它在17世纪由费马、牛顿和莱布尼茨初创时那样，可追溯到公元前3世纪的阿基米德。之所以称为“演算（calculus）”是因为它确实提供了一种计算技术，许多用其他概念很难把握的问题经常借此“自行”得到解决，这里用到的仅仅是下述一些相对简单的规则，它们经常是无需经大量深入思考即可得到应用。当然，在这种演算中，微分运算和积分运算之间有着十分明显的区别，说不上哪个“容易”哪个“困难”。在处理那些由已知函数构成的显性公式时，微分运算要“容易”些，积分要“难”些，很多情形下积分都不可能按显式进行到底。另一方面，当函数不是以公式给出，而是以数值表列出时，则积分变得“容易”，微分显得“困难”，严格来说，此时不存在通常意义上的微分。数值技术一般来讲是包含了近似的，但它有一套严格的理论作保证，可以对事物拟合得非常好，而在这种场合下可用的是积分，微分则无能为力。让我们来具体地理解这一点。要处理的对象实际上都可称之为“函数”。

对欧拉等17～18世纪的数学家来说，“函数”是指那种能够以显式写下来的关系式，像 x 2 或sin x 或log（3－ x +e x ），或由某个包含积分的公式所定义的关系式，也可以是一个明确给定的幂级数。今天，我们更愿意用“映射”的概念，它将函数 定义域 中某列数（或更一般的对象） A “映射”为所谓函数 值域 的另一列数 B （图6.1）。这种映射的要点是，该函数将值域 B 中的一个数对应到定义域 A 中的一个数。（我们可将函数看成是对属于 A 的数的“检查”，其依赖的唯一标准就是看它是否能够产生一个明确属于 B 的数。）这种函数相当于一种“对照表”。它不要求函数一定要以显式的公式来给出。

我们来考虑一些例子。在图6.2，我画了3个简单函数 ^[1] x 2 ，｜ x ｜和θ（ x ）的图。每种情形的定义域和值域都属实数域，我们通常用字母 R 来代表这个实数域。“ x 2 ”函数的意义就是取实数的平方。“｜ x ｜”（称为 绝对值 ）函数是指：若 x 非负，则函数值为 x ；若 x 是负数，则函数值取－ x ；因此｜ x ｜本身永远非负。函数“θ（ x ）”的意义是： x 为负值时θ（ x ）为0， x 为正值时θ（ x ）为1；通常还定义θ（0）= 。（这个函数称为赫维塞德 阶梯函数 ，赫维塞德（Oliver Heaviside，1850～1925）的另一项重要贡献见§21.1，他更出名的是他首次提出了地球大气的“赫维塞德层”假说，这个概念对无线电广播至为关键。）这3个函数中的每一个从现代意义上说都是完美函数，但在欧拉那里， ^[2] 要说｜ x ｜或θ（ x ）是“函数”是颇难接受的。

为什么呢？一种可能是认为，｜ x ｜和θ（ x ）的麻烦在于有太多的“如果 x 如此这般，那么函数将因此那般，而如果 x 是…”这样的陈述，而且还不具备函数的“漂亮形式”。但这么说有点混淆视听了，不管怎么说，我们很怀疑｜ x ｜的真正不足是出于公式方面的原因，何况一旦我们认可｜ x ｜，我们就能够写出θ（ x ）的公式： ^*〔6.1〕

（虽然我们也不知道它在θ（0）处是否能得到正确的值，毕竟公式给出的是0/0）。｜ x ｜的麻烦更多的在于它是不“光滑”的而非其公式是否“漂亮”。从图6.2（a）我们看到，函数图像在中心拐了个“角”。正是这个角使得｜ x ｜在 x =0点没有完好的斜率定义。下面就让我们转到这个概念上来。 O1O/INXfKUTOPJBqelvoKtRm4/XvPAXlSUNN6iNGQHPTelwnrZlqKYPmT4j3L9mD