注释

§5.1

[5.1] 还应提到的三角函数有cotθ=cosθ/sinθ=（tanθ） －1 ，secθ=（cosθ） －1 和cosecθ=（sinθ） －1 。还有“双曲”函数sinh t = （e t －e － t ），cosh t = （e t +e － t ），tanh t =sinh t /cosh t ，等等。注意，这些函数的反函数记为cot －1 ，sinh －1 ，等等，就像§5.1里的“tan －1 （ y / x ）”那样。

§5.2

[5.2] 对数是由纳皮尔（John Napier，1550～1617）于1614年引入的，1624年，布里格斯（Henry Briggs，1561～1630）将其推广应用。

§5.3

[5.3] 自然对数通常也作“ln”。

[5.4] 从迄今所建立起来的情况看，我们不能推断说公式 z =log r +iθ中的“iθ”不可是iθ的实数倍。这需要计算。

[5.5] 柯茨（Cotes，1714）得到过等价的公式log（cosθ+i sinθ）=iθ，欧拉的e iθ =cosθ+i sinθ第一次出现时似乎要比前者晚了30年（见Euler，1748）。

[5.6] 这里对（cosθ） 3 我用的是方便（但有些不合逻辑）的记法cos 3 θ。而记号cos －1 θ通常则用以表示反函数arccosθ。公式sin n θ+i cos n θ=（sinθ+i cosθ） n 有时也称为“棣莫弗（De Moivre）定理”。亚伯拉罕·棣莫弗作为与罗杰·柯茨同时代的人，似乎也是e iθ =sinθ+i cosθ的共同发现者之一。

**〔5.1〕 检验这些不同的可能性。

**〔5.2〕 不妨试试。

***〔5.3〕 试不做具体计算也不用三角学来验证这一点。（ 提示 ：这是“分配律” w （ z 1 + z 2 ）= wz 1 + wz 2 的结果，它说明复平面保“线性”结构，而 w （i z ）=i（ wz ）则说明转过一个直角的转动是保角的，即直角在转动中保持不变。）

*〔5.4〕 验证这一点。

***〔5.5〕 直接从级数验证这一点。（ 提示 ：按照整数指数的“二项式定理”，（ a + b ） n 的 a p b q 项的系数为 n ！/ p ！ q ！。）

*〔5.6〕 由此证明 z +πi是－ w 的对数。

*〔5.7〕 验证一下

*〔5.8〕 验证一下。

***〔5.9〕 证明这一点。可有多少种方法？找出所有特解。

**〔5.10〕 解这个“疑难”：因为e=e 1+2πi ，故e=（e 1+2πi ） 1+2πi =e 1+4πi－4π2 =e 1－4π2 。

*〔5.11〕 证明这一点。

*〔5.12〕 为什么这是一种容许的规定？

*〔5.13〕 证明为什么这是有效的。

*〔5.14〕 验证这一点。

**〔5.15〕 证明这一点。 IAQeSqXpiZ5v1Pc63cRaa9IvYYA2+G4AiPZRkrrQtb8CPwYgdUq7hXZoMi64zccT