5.5
与现代粒子物理学的某些关联

现代粒子物理学对复数这样的数很有兴趣，因为它们有可能用作 乘积性量子数 。在§3.5，我提到过这样的事实：就目前所知，粒子物理学中的加和性（标量）量子数总是以整数计的。现在我们看到，还存在一些乘积性量子数的例子，它们似乎都是 n 次单位根。我知道的只是传统粒子物理学中的一些例子，其中大部分属相当无趣的 n =2情形。也存在一种明显属 n =3的情形和 n =4的可能情形。遗憾的是，在大多数情形下，这种量子数不是普适的，就是说，它不能应用于所有粒子。正因此，我将这种量子数称之为 近似的 。

所谓 宇称 的量是一种 n =2的（近似）乘积性量子数。（还存在其他的 n =2的近似量子数，它们在许多方面与宇称相似，如 g 宇称。这里我不讨论这些情形。）复合系统的宇称概念是由其基本成分粒子的宇称（通过相乘）构成的。成分粒子的宇称可以是偶的，此时粒子的镜像反射与粒子本身相同（在近似意义上）；相反，如果粒子的宇称是奇的，那么其镜像反射就是其反粒子（见§3.5，§§24.1～3，8和§26.4）。由于镜像反射（或取反粒子）的概念相当于“平方到1”（即操作两次回到出发点），这种量子数——我们称其为ε——有性质ε 2 =1，因此它必为 n =2的“ n 次单位根”（即ε=+1或ε=－1）。这个概念只是近似的，因为宇称在所谓“弱相互作用”下不是守恒量，也正因此，某些粒子没有明确定义的宇称概念（见§§25.3，4）。

此外，在通常的描述中，宇称概念只用于所谓 玻色子 的粒子族。其余的粒子则属于另一族，即所谓 费米子 。玻色子与费米子之间的区别是非常重要的概念，也是一个有点复杂的概念，我们将在§§23.7，8再来谈这个问题。（作为一种现象，我们有必要搞清楚当我们将粒子态持续转过2π（即360°）时将发生什么事情。我们说，在这种转动下，只有玻色子恢复到原状态，而费米子则要操作两次才能回到原状态。见§11.3和§22.8。）可以这么说，“两个费米子合成一个玻色子”，“两个玻色子则仍产生一个玻色子”，而“一个玻色子和一个费米子则生成一个费米子”。因此，我们可将乘积性量子数－1赋给费米子，而将+1赋给玻色子，由此来描述费米子/玻色子的性质。这样我们就有了 n =2情形下的另一种乘积性量子数。就目前所知，这种量子数才是严格的乘积性量子数。

在我看来，宇称概念也可以运用于费米子，虽然它不是传统意义上的那种。这必须与费米子/玻色子的量子数是 n =4的复合乘积性量子数这一点结合起来。对费米子，宇称值可以是+i或－i，其两次镜像反射具有2π转动的效果。对玻色子，宇称值可以和以前一样，是±1。

n =3情形下的乘积性量子数就是我以前说的 夸克性 。（这不是一个标准的术语，通常也不指量子数这样的概念，但它反映了当今粒子物理中一个重要方面。）我在§3.5说过，所谓 强子 （质子、中子、π介子等等）这样的“强相互作用”粒子都是由夸克组成的（见§25.6）。这些夸克具有非整数倍而是 倍电子电荷的电荷值。但是，夸克不能作为独立粒子存在，它们的复合物只能在其总电荷数加起来为电子电荷的整数倍时才可能独立存在。令 q 为以电子电荷的负值为单位测得的电荷值（这样，电子本身在此单位下为 q =－1，通常规定电子电荷为负值）。对夸克，我们有 q =2/3或－1/3，对反夸克， q =1/3或－2/3。因此，如果我们将夸克性的乘积性量子数取为e －2 q πi ，就会发现它取值1，ω和ω 2 。夸克的夸克性是ω，反夸克的夸克性是ω 2 。自身能够独立存在的粒子其夸克性只能是1。按§5.4，夸克性自由度构成循环群 Z 3 。（在§16.1，我将在增设元素“0”和加法概念的基础上，阐述这个群如何扩展到 有限域 F 4 。）

在本节和前节中，我展示了复数在数学方面的某些神奇性，并且暗示了它们极为有限的应用。但我没有谈及复数的另一些方面，这是我还是数学系大学生时所学到的我自认为是复数最为神奇的那些方面（见第7章）。在那以后，我看到了这种神奇的更多方面，其中之一就是它奇妙的互补性（我们在第9章末尾予以描述），这给当时还是大学生的我留下了深刻印象。当然，这些事情都基于基本的 微积分 概念，因此，为了向读者传递这种神奇性，我们有必要先搞清这些基础概念。这么做还有另一个理由，那就是微积分绝对是正确理解物理的基本条件！ GYBKW4CKuHdpDORAjd5eSMFlMdJJlzwCHG4lPJJbny2DdLlmiiLA7mtnCYIE3iBX