5.4
复数幂

现在让我们回到定义 w z （或如前面写的 b z ）的问题上来。我们可将它写成

w z =e z log w

（因为我们有e z log w =（e log w ） z 和e log w = w ）。同时我们注意到，由于log w 的多值性，我们可以增加任意整数倍的2πi到log w 上来得到另一个容许的答案。这意味着我们可以用e z ·2πi 的任意整数倍来乘或除 w z 的一个特定值，得到的还是这个“ w z ”。看看一般情形下由此给出的复平面上点的分布（见图5.9）亦为快事。这些点就是两等角螺线交点。（等角螺线——或称为对数螺线——是一种与所有过极点的射线的交角都相等的平面曲线。） ^***〔5.9〕

如果我们不注意，这种不确定性会给我们带来各种麻烦。 ^**〔5.10〕 避免这些麻烦的最好方法就是采用如下规则：记号 w z 只用于log w 的特定选择已明确了的情形。（对e z 这一特殊情形，默认的约定为log e=1。于是标准记号e z 与更为一般的 w z 相一致。）一旦log w 的这种选择得到具体化，则 w z 对所有 z 有无歧义的定义。

这里还要说上几句。如果要定义“以 b 为底的对数”（记为“log b ”的函数），我们还得对log b 做出规定，因为我们需要用 w = b z 来定义 z =log b w 。即使如此，log b w 仍是多值的（log w 也如此），我们可以将2πi/log b 的任意整数倍加到log b w 上。 ^*〔5.11〕

在过去曾使一些数学家中计的一个奇思怪想是量i i 。它曾被认为是“人们能够想象的至高虚幻”。但实际上，通过规定log i= πi， ^*〔5.12〕 我们发现它有实的答案：

如果对log i作其他规定，那么就还存在着其他多种答案。这些答案可通过将上述量乘以e 2π n 来得到，这里 n 是任意整数（或等价地，将上述量自乘4 n +1次，这里 n 是整数——正负均可 ^*〔5.13〕 ）。令人惊奇的是，所有这些i i 的值都是实数。

再来看看 z = 时 w z 的情形。一定意义上说，我们希望仍能用两个量 来表示“ w 1/2 ”。实际上，这两个量可以简单地用先规定log w 的一个量的值再由此规定另一个的办法来得到。这样处理导致 w 1/2 改变符号（由欧拉公式e πi =－1）。类似地，对于 n =3，4，5，…，我们可生成z n = w 的所有 n 个解 w 1/ n ，只要log w 的依次不同的值都有定义。 ^*〔5.14〕 更一般地，现在可以来研究非零复数 w 的 z 次根的问题了，这里 z 是非零复数，我们曾在§4.2回避了这个问题。这个 z 次根可表示为 w 1/ z ，一般来说，我们得到的是无穷多个这样的解，这要看log w 的选择是如何规定的。通过正确选定log w 1/ z ，即规定为（log w ）/ z ，我们得到（ w 1/ z ） z = w 。提醒一句，更一般地，

（ w a ） b = w ab ，

一旦我们对（右边的）log w 作出了具体规定，（左边的）log w a 就具体化为 a log w 。 ^**〔5.15〕

当 z = n 为正整数时，事情要简单得多，我们恰好得到 n 个根。此时一个特有意思的情形是 w =1。在依次指定log 1的可能值分别等于0，2πi，4πi，6πi，…之后，我们得到1 1/ n 的可能值分别为1=e 0 ，e 2πi/ n ，e 4πi/ n ，e 6πi/ n ，…。我们可把它们写为1，ε，ε 2 ，ε 3 ，…，这里ε=e 2πi/ n 。在复平面上，它们是单位圆上均布的 n 个点，称为 n 次单位根。这些点是正 n 边形（图5.10）的顶点。（注意，log 1的－2πi，－4πi，－6πi等的选取同样是 n 次根，只不过取的是逆序。）

对给定的 n ，有趣的是，这 n 次单位根构成所谓 有限乘法群 ，更具体地说，就是 循环群 Z n （见§13.1）。我们有具有如下性质的 n 个量：它们中任意两个之积给出其中的第三个量。我们也可以用一个量除以另一个量来得到第三个量。例如，考虑 n =3的情形。现在我们有3个元素1，ω和ω 2 ，这里ω=e 2πi/3 （故ω 3 =1，ω －1 =ω 2 ）。对这些数我们有如下乘法表和除法表：

在复平面上，这些数由等边三角形的顶点来表示。乘以ω相当于使三角形逆时针转过 π（即120°），乘以ω 2 相当于使三角形顺时针转过 π；至于除法，转动方向正好相反（见图5.11）。