符号说明

（当你熟悉了概念开始阅读的时候，会发现有些字符还是令人糊涂！）

在本书中，我在使用某些特殊字符时尽量保持前后一致，但不可能完全做到这样，因此这里对我所采用的主要用法作一交代将有助于读者更好地使用本书。

像 w 2 ， p n ，log z ，cosθ，e iθ 或e x 等中的白斜体（希腊或拉丁）字母主要用于数学变量的传统表示，它们是数字量或标量；而那些公认的常数，像e，i或π，以及公认的函数符号如sin，cos或log等，则用正体字母来表示。但标准物理学常数如 c ， G ， h ， ħ ， g 或 k 则用斜体。

矢量和张量，在被视作（抽象）的对象时，用粗黑斜体表示，例如 R 是黎曼曲率张量，而它的各个元素则写作白斜体（包括其指标符号），如 R abcd 。为与§12.8引入的抽象指标记法保持一致，量 R abcd 也用于表示整个张量 R ，如果这个量能够在上下文中得到清楚、适当的解释的话。抽象的线性变换均为张量，也用粗黑斜体表示，如 T 。抽象指标形式 T a b 也可以用来表示这样的抽象线性变换，在适当情形下，指标的交错排列清楚地说明了它与矩阵乘积顺序之间的精确关系。因此，（抽象）指标表达式 S a b T b c 表示两线性变换的乘积 ST 。对于一般张量，符号 S a b 和 T b c 还可以（根据上下文或在文中有明确规定）表示粗正体字母 S 和 T 所代表的矩阵的相应的列。此时ST表示相应的矩阵乘积。像符号 R abcd 和的这种“双重解释”应不至于造成混乱，因为这些符号所服从的代数（或微分）关系在两种情形下的解释是相同的。这样的量的第三种记号—— 图示记法——有时也会用到，其描述见图12.17，12.18，14.6，14.7，14.21，19.1以及书中其他一些地方。

在很多地方，我需要将相对论的四维时空下的量与相应的普通三维纯空间下的量区别开来。这时我们用粗斜体如 p 或 x 来分别表示四维动量或四维位置，其相应的三维纯空间量则用粗正体p或x来表示。正像记号T表示一个矩阵而 T 表示一个抽象的线性变换，量p和x可以分别看成是对三维空间分量的“表示”，而 p 和 x 则可认为有更抽象的、与分量无关的理解（虽然对此我不作特别严格的限定）。三维矢量a=（ a 1 ， a 2 ， a 3 ）的欧几里得“长度”将写作 a ，这里 a 2 = + ，a与b=（ b 1 ， b 2 ， b 3 ）的标量积写作a·b= a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 。标量积的这种“点”记号可用于一般 n 维情形，也可以用于抽象余矢量 α 与矢量ξ的标积（内积）α·ξ。

记号的复杂性主要出现在量子力学里，这个领域的物理量大多需要用线性算符来表示。文中我不采用那种在字母头上加“帽”（音调符号“ ∧ ”）来表示熟悉的经典量所对应的量子算符的标准做法，我认为这样会造成符号间不必要的拥挤。（我采用的哲学立场是将经典量及其对应的量子符“等量齐观”——因此二者使用同一符号是公允的——只是在经典场合我们应意识到此时忽略了ħ量级的量，故经典对易性质 ab = ba 能够成立，而在量子力学里， ab 与 ba 之间会有ħ量级的差别。）出于与上述内容保持一致的考虑，这种线性算符似应该用粗斜体字母（像 T ）来标记，但这么做将与我的这种哲学相冲突，并使上一自然段所要求的区分变得无效。因此，凡涉及具体的量，如动量p或 p ，位置x或 x ，我会依据本段所述的理由采用与经典情形相同的记号。但对少数具体的量子算符，也会采用如 Q 这样的粗斜体字母。

空心字母 N ， Z ， R ， C 和 F q 分别表示自然数（即非负整数）系、整数系、实数系、复数系和有 q 个元素的有限域（ q 是某个素数幂，见§16.1），这是数学中的标准用法。相应地， N n ， Z n ， R n ， C n 和分别表示这些数的有序 n 元组。它们是正规数学对象的标准应用。在本书中，这种记号将被扩展到像欧几里得三维空间 E 3 甚至更一般的 n 维空间 E n 这样的其他标准数学结构上。本书中经常会用到标准的四维平直闵可夫斯基时空，它本身是一个“伪”欧几里得空间，因此我用 M 来表示这个空间（ M n 表示 n 维的闵可夫斯基时空——即1维时间加（ n －1）个空间维的“洛伦兹”时空）。有时我用 C 来形容“复化的”，因此我们可以用 CE n 来表示一个复欧几里得四维空间。空心字符 P 也可以用作形容词，用来表示“射影的”（见§15.6），而作名词时， P n 表示一个 n 维射影空间（如果清楚了这一点，你就会明白我用 RP n 和 CP n 分别指实的和复的 n 维射影空间）。在扭量理论（第33章）中，存在复四维空间 T ，它与 M （或其复化的 CM ）以正则方式相联系，同样存在射影的 PT 。在这一理论中，还存在类光扭量的空间 N （该字符的双重功效不会引起冲突），其射影版本是 PN 。

空心字符 C 作形容词用时不应与无衬线字体 C 相混淆，后者表示“的复共轭”（见§§13.1，13.2）。这与 C 在粒子物理中的用法即电荷共轭表示基本相似，电荷共轭是指每种粒子与其反粒子交换电荷的运算（见第24、25章）。这种运算通常被认为应与另两种基本粒子物理运算联合起来考虑，这后两种一种是宇称 P ，即镜面反射运算，另一种是时间反演 T 。无衬线粗体有不同的功用，字母V，W和H最常被用作表示矢量空间。H专指量子力学的希尔伯特空间，H n 表示复 n 维希尔伯特空间。矢量空间的意义很清楚，是平直的。那些弯曲（或可弯曲）的空间用 M ， S 或 T 这样的字符来表示，特殊字符 I 表示类光无穷远。此外，我们还用到通常约定的拉格朗日量（ L ）和哈密顿量（ H ），它们在物理学理论中占有特殊地位。