5.3
多值性，自然对数

虽然这基本上是正确的，但这么做技术上还有些困难（这点一会儿再谈）。首先， b z 是“多值”的。就是说，“ b z ”的意义一般来说可以有多种不同的答案。对log b w 来说也是如此。我们已经见过 b z 在 z 为分数值时的多值性。例如，若 z =1/2，则“ b z ”的意义应当是“某个数 t 的平方等于 b ”，就是说， t 2 = t × t = = b 1 = b 。如果某个数 t 满足这种性质，那么－ t 也将满足（因为（－ t ）×（－ t ）= t 2 = b ）。假定 b ≠0，我们有两个不同的 b 1/2 解（通常写作 ）。更一般地，对 b 1/ n （ n 为正整数1，2，3，4，…），我们有 n 个不同的复数解。事实上，只要 n 是（非零）有理数，我们就一定有有限个解；如果 n 是无理数，则得到的是无限多个解，一会儿我们就会明白这一点。

我们来试试，看如何消除这些不确定性。先从选择特定的 b 开始，这里取其为基本常数“e”，它称为 自然对数的底 。这么做有助于减少多值性问题。e的定义为：

这里感叹号“！”表示阶乘，即

n ！=1×2×3×4×…× n ，

故1！=1，2！=2，3！=6，等等。由 f （ z ）=e z 定义的函数叫 指数函数 ，通常写作“exp”。当这个函数作用于 z 时，可将其看成是“使e自乘 z 次”，这个“幂”可定义为如下的级数：

这个重要的幂级数实际上对所有 z 值均收敛（因此它有无穷大的收敛圆，见§4.4）。在 b =e的情形下，“ b z ”的多值性正是通过这个无穷和得到了一种特定的选择。例如，若 z =1/2，则级数给出正的量 而不是 。按照级数定义， ^***〔5.5〕 z =1/2实际上给出的是e 1/2 ，由e z 知，它的平方就是e，这个事实总满足所需的“加法转乘法”性质

e a + b =e a e b ，

故 =e 1 =e。

我们试用 e z 的这个定义来处理无歧义的对数，它定义为指数函数的反函数：

z =log w ，如果 w =e z 。

这是自然对数（我将它写成不带底符号的“log”）。 ^[3] 从上述加法转乘法的性质，我们预期有“乘法转加法”的法则：

log ab =log a +log b 。

要一眼看出这种e z 的反函数必定存在并非易事。但是，它说明一个事实，对任意不为零的复数 w ，总存在 z 使得 w =e z ，因此我们可定义log w = z 。但这里有个陷阱：答案不唯一。

我们怎么来表示这个答案呢？如果［ r ，θ］是 w 的极坐标表示，那么我们就可以按普通的笛卡儿形式（ z = x +i y ）写出对数 z ：

z =log r +iθ，

这里log r 是正实数 r 的普通的自然对数——实指数的反函数。为什么呢？这从图5.7看得很清楚，这种实对数是存在的。在图5.7（a）中，我们画出了 r = e x 的图像。只需将坐标轴颠倒个个儿，我们即得到反函数 x =log r 的图像如图5.7（b）。毫不奇怪， z =log w 的实部正是普通的实对数。奇怪的倒是 ^[4] z 的虚部恰好就是复数 w 的幅角θ。这一事实证实了我们早先所说的复数的幅角实际就是一种对数形式的断言。

此前我们说过，复数的幅角定义存在不确定性。我们可以让θ加上2π的任意整数倍而实际效果不变（回忆图5.4（b））。相应地，在 w =e z 中，对给定的 w 存在多种不同的解 z 。如果我们取定一个这样的 z ，则 z +2πi n 也是可能的解，其中 n 是任意整数。因此， w 的对数只能确定到相差一个任意倍2πi的程度。必须记住，在诸如log ab =log a +log b 的表达式里也存在这种不确定性，我们必须对对数做出适当的选择。

复对数的这种特征似乎是一种让人恼火的事情。然而，在§7.2我们将看到，它却是复数最有力、有用和神奇性质的核心。复分析的关键全在于此。眼下我们只是试着评估一下这种不确定性的实质。

理解log w 的这种不确定性的另一种方法是通过如下公式

e 2πi =1，

由此有，e z +2πi =e z = w ，等等，这说明，对 w 的代数来说， z +2πi的效果与 z 一样（我们可以将此重复任意倍）。上述公式与著名的 欧拉公式 紧密相关：

e πi +1=0

（这个公式将5个基本量0，1，i，π和e通过一个神秘的表达式联系起来）。 ^*〔5.6〕

为了更好地理解这些性质，我们不妨对表达式 z =log r +iθ取指数，得到

w =e z =e log r +iθ =e log r e iθ = r e iθ

它说明，复数 w 的极坐标表达式可以更明确地写成

w = r e iθ 。

从这种方式我们看得很明白，如果两个复数相乘，得到的是它们的模的积和幅角的和（ r e iθ s e iö = rs e i（θ+ö） ，故 r 和 s 相乘，而θ和ö相加——记住，从θ+ö上减去2π不会造成任何影响），就像图5.1b的相似三角形法则所显示的那样。以后我不再讨论记号［ r ，θ］，而是直接用上述表达式。注意，若 r =1，θ=π，则我们得到－1并回到图5.4（a）几何所示的欧拉定理e πi +1=0；若 r =1，θ=2π，则我们得到+1和 e 2πi =1。

r =1的圆称为复平面上的 单位圆 （见图5.8）。它由 w =e iθ （θ为实数）按上述表达式给出。将这个表达式与前面给出的量 w = x +i y 的实部 x = r cosθ和虚部 y = r sinθ作比较，可得内容丰富的“柯茨－欧拉公式” ^[5]

e iθ =cosθ+i sinθ，

这个公式以复指数函数的简单性质基本包括了三角学的核心内容。

我们来看看它在基本的情形下是如何工作的。特别是，当我们将基本关系e a + b =e a e b 按实部和虚部进行展开时，立即得到 ^*〔5.7〕 看起来异常复杂的表达式

cos（ a + b ）=cos a cos b －sin a sin b ，

sin（ a + b ）=sin a cos b +cos a sin b 。

同样，对e 3iθ =（e iθ ） 3 作展开，可很快得到 ^[6] ， ^*〔5.8〕

cos 3θ=cos 3 θ－3 cos θ sin 2 θ，

sin 3θ=3 sin θ cos 2 θ－sin 3 θ。

这种使复杂公式变成相当简单的复数表示的直接方法的确像是具有某种魔力。 n37J3kQ6WZDwPwmKxaK6rpJlBEcj+NLzC75RjPuBgCjJeVR9zo91fl4VIu7zax4A