5.2
复对数概念

现在，如图5.1（b）所示的两个复数的乘法的“相似三角形法则”可重新表述为如下事实：两个复数的相乘，相当于它们的幅角相加，模相乘。 ^*〔5.4〕 注意，这里就幅角运算规则来说，我们实际上已将 乘法转换为加法 ，其原理是应用了 对数 运算法则（两数之积的对数等于该两数的对数之和：log ab =log a +log b ），这也是计算尺（图5.6）的工作原理，在早年的计算实践中它具有根本的重要性。 ^[2] 现在我们都改用电子计算器来做乘法运算了，尽管这比计算尺或对数表快了很多，也要精确得多，但如果我们没能直接体验过对数运算的美和深刻的重要性，我们就会在理解上失去一些非常有价值的东西。我们将看到，对数在复数间的关系上具有基础性地位。在非常明确的意义上，复数的幅角实际上就是一个对数。我们试着来了解这是怎么回事儿。

从§4.2的命题可知，取复数根实质上就是个如何理解复对数的问题。我们将发现，复对数与三角学之间存在着值得注意的关系。这些我们在此也一并考虑进来。

先回顾一下通常的对数。对数是“数的自乘”或指数运算的一种逆运算。“自乘”是一种将加法转换成乘法的运算，为什么这么说呢？我们任取一个（非零）数 b 。于是有公式（将加法转换成乘法）

b m + n = b m × b n ，

如果 m 和 n 都是正整数，这是很显然的，因为等号两边都表示有 m + n 个 b 相乘。我们要做的就是找出一般化的法则，使其不仅适用于 m 和 n 不是正整数的情形，而且可用于任意复数。为此，我们需要找出“使 b 自乘 z 次”的正确定义，这里 z 是复数。我们还需要使上述公式，即 b w + z = b w × b z ，对复指数 w 和 z 成立。

实际上，一定意义上说，这个过程见证了§4.1所述的由毕达哥拉斯始，经由欧多克索斯、婆罗摩笈多，直到卡尔达诺和邦贝利（及此后）各个时期数的概念是如何一步步地从正整数发展到复数的历史。起先，人们将“ b z ”的概念（这里 z 是正整数）理解为 z 个 b 的简单乘积 b × b ×…× b ，特别是 b 1 = b 。随后（在婆罗摩笈多的引领下），我们懂得了 z 可以为0，认识到只需令 b 0 =1就可以保持 b w + z = b w × b z 成立。再后来又将 z 扩展到负数，并基于同样的理由认识到，对于 z =－1的情形，必须将 b －1 定义为 b 的倒数（即1/ b ），这样 b － n （ n 是自然数）就可理解为 b －1 的 n 次幂。这以后，我们再次将 z 一般化，容许 z 是一个分数，依然由 z =1/ n 开始，这里 n 是个正整数。重复应用 b w + z = b w × b z 我们即可得出结论（ b z ） n = b zn ；由此，令 z =1/ n ，我们即导出 b 1/ n 为 b 的 n 次根的事实。

我们可以在实数域里这么做，只要数 b 始终是正的即可。然后，我们可以将 b 1/ n 看成是 b 的唯一的正 n 次根（这里 n 是正整数），接着我们对任意有理数 z = m / n ，将 b z 定义为 b 的 n 次根的 m 次幂；再（利用取极限过程）将 z 扩展到实数。但是，如果容许 b 是负数，那么我们需要在 z =1/2处停一下，因为这时 需要引入i，由此我们转向了复数。进入复数世界后，让我们喘口气，振作精神，接着走下去。

我们得这样来定义 b p ：对所有复数 p ， q 和 b （ b ≠0），

b p + q = b p × b q 。

由此，我们希望将以 b 为底的对数（记为“log b ”）定义为函数 f （ z ）= b z 的逆运算，即

z =log b w ，如果 w = b z 。

然后我们期望

log b （ p × q ）=log b p +log b q ，

因此，这种对数概念确实将乘法转换成了加法。 Dz6TXJ1NbxDaMV/qcJf7nNndBP+x748HITfhXZgP/5Tsd8ILVmcCsFdD7jz7+b2t