4.3
幂级数的收敛

尽管存在这些事实，可我们在感受复数魔力方面并没有走得太远。还有更多的问题有待考察！例如，其中复数堪称无价的一个领域就是弄清所谓 幂级数 的性态。幂级数是指如下形式的无穷和

a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +…

由于这个和涉及到无穷多项，级数很可能是 发散 的，就是说，我们在求和时逐渐增加其项数，将得不到一个具体有限的值。例如，考虑级数

1+ x 2 + x 4 + x 6 + x 8 +…

（这里我取 a 0 =1， a 1 =0， a 2 =1， a 3 =0， a 4 =1， a 5 =0， a 6 =1，…）。如果我们令 x =1，则依次加和每一项，有

1，1+1=2，1+1+1=3，

1+1+1+1=4，1+1+1+1+1=5，等等

我们看到，这个级数不可能趋近某个具体有限值，即它是发散的。更糟糕的是，例如当我们取 x =2时，由于每一项都比以前更大，故逐次加起来有

1，1+4=5，1+4+16=21，1+4+16+64=85，等等

它显然也是发散的。另一方面，如果我们取 x = ，则有

可以证明，这些值越来越趋近于极限值 ，因此级数是 收敛 的。

由这个级数我们不难理解，一定意义上说，级数 x =1和 x =2必定是发散的，而 x = 则收敛到 ，因为我们能够清楚地写出整个级数的和的答案： ^*〔4.4〕

1+ x 2 + x 4 + x 6 + x 8 +…=（1－ x 2 ） －1 。

当代入 x =1，我们得到答案（1－1 2 ） －1 =0 －1 ，它是“无穷大”， ^[6] 这就解释了为什么级数在 x 的这个值处必定发散。当我们代入 x = ，得到答案 ，级数确实收敛到这个特定值。

所有这些看似非常合理。那对 x =2又如何呢？如果代入公式，“答案”是（1－4） －1 = ，虽然我们知道直接相加级数各项不可能得到这个值，因为我们加的都是正的项，而 是负的。级数发散的理由是，当 x =2时，级数的每一项实际上都比 x =1时级数的相应各项要大。在 x =2情形，问题不在于“答案”一定是无穷大，而是我们根本无法直接通过级数求和来得到答案。在图4.1中，我画了这个级数的部分和（即对有限项求和），并给出了“答案”（1－ x 2 ） －1 ，我们看到，只要 x 严格 ^[7] 限定在－1和+1之间，部分和的曲线就如预料的确实收敛到这个答案，即（1－ x 2 ） －1 。但在这个区域之外，级数则是发散的，不可能趋向任何有限值。

虽然这有点儿离题，但它有助于我们讲清下面这个重要问题。我们要问的是：将 x =2代入上述表达式所得到的结果，即

有何意义？18世纪的大数学家欧拉（Leonhard Euler）经常就这么写方程，大家拿他的这种荒谬来取笑在当时曾是一种时髦，而人们原谅他归根结底是因为在那个时候对级数“收敛”这样的问题谁都没有恰当的处理办法。事实上，级数严格的数学处理要等到18世纪末19世纪初通过柯西（Augustin Cauchy）和其他人的工作才有可能。而按照严格的数学处理，上述方程将被归于“无意义”一类。但我认为重要的是在适当意义上对它的作用做出评估，欧拉在写下这些明显谬误的方程时实际上是知道自己在做什么的，从这个意义上来说，这些方程应被看成是“正确的”。

在数学上，要求某人的方程必须有严格准确的意义这是绝对含糊不得的。但是，对那些有可能最终导致更深刻理解的“探索现象背后的事情”抱宽容态度也同样重要。如果过分追求逻辑上的严格，就很容易对事情看走眼。谁都知道，正数项的和1+4+16+64+256+…不可能等于 。相关的例子还可以举出求方程 x 2 +1=0的实数解，它无解，但如果我们就这样把它丢在一边了，我们就会错过由复数的引入所带来的对数系的更深刻的理解。这种认识同样适用于如何看待求 x 2 =2的有理数解的荒谬性问题。实际上，我们完全有可能给上述无穷级数的答案“ ”以一种数学解释，只是要十分小心，知道哪些是可以做的哪些是不可以做的。具体讨论这些事情不是我们的目的， ^[8] 但有必要指出，在现代物理里，尤其是在量子场论领域，这种性质的发散级数比比皆是（具体见§§26.7，9和§§31.2，13）。要确定这样得到的“答案”是否有实际意义，或是否正确，这可是个非常有讲究的活儿。有时会有这样的事情：通过发散表达式得到的极为精确的答案很偶然地在与物理实验结果的比较中被确认了。但更多的则经常是不走运。这些微妙的处理在现代物理理论中起着非常重要的作用，人们经常在评估理论时用到它。与我们这里的讨论直接相关的是，这种对如此明显的无意义表达式的“感觉”经常取决于复数的性质。

现在我们回到级数收敛的问题上来，看看如何使复数适用于这种情形。为此，我们来考虑与（1－ x 2 ） －1 稍有些不同的函数（1+ x 2 ） －1 ，看看它是否有一个合理的幂级数展开式。我们的运气不错，撞上了一个完全收敛的情形，因为（1+ x 2 ） －1 在整个实数范围内是光滑的并且是有限的。（1+ x 2 ） －1 的幂级数十分简单，只是与我们前面遇到的稍有不同：

1－ x 2 + x 4 － x 6 + x 8 －…=（1+ x 2 ） －1 ，

差别就在于现在是隔项改变符号。 ^*〔4.5〕 在图4.2中，我像前面做的那样，分别画出了直到级数前五项的部分和以及答案（1+ x 2 ） －1 。令人惊讶的是，部分和仍只在 x 处于－1和+1之间时收敛到答案。对于在这之外的 x ，级数仍是发散的，尽管此时答案未必是无穷大，这与前面的情形不尽相同。我们可以用同样的三个值 x =1， x =2， x = 来检验这一点。我们发现，同前面一样，只在 x = 的情形下级数才收敛，且正确收敛到整个级数和的极限值4/5：

我们注意到，第一种情形下的“发散”其实是级数部分和的不确定，虽然它们实际上并不趋于无穷。

因此，仅就实数范围来说，级数的实际求和与直接取得“答案”（有可能是无穷大）之间存在着令人迷惑的差异。部分和在同一位置（ x =±1）存在“跳跃”（或者说，存在剧烈的上下摆动），以前我们就遇到过这种麻烦，只是现在无穷和的答案，即（1+ x 2 ） －1 ，在这些地方没有显示出什么值得注意的特征。如果我们检查这个函数的复值而不是仅局限于实值，这个谜团就解开了。 rjlYWUMpf/j6WYwMEu6T6u8zymYoXyCGs6jiwiJfx4gL3Rh+4/3ilFQSWNNpAeyK