4.2
用复数解方程

在以下讨论中，我认为有必要引入更多的数学记号。对此我很抱歉。但是，不运用适当数量的记号，要认真讲清楚数学概念几乎是不可能的。我知道我们有很多对此反感的读者。对这些读者我的忠告是，只读文字，别太在意方程。最多也就浏览一遍就过去。本书里确实零散地分布有不少数学表达式，尤其是在后面的一些章节。我猜想即使你不打算彻底搞懂所有这些公式实际意味着什么，你还是能够理解全书的大部分内容。我希望如此，因为复数的魔力是一种特别值得欣赏的奇迹。如果你能运用数学记号，那么效果会更好。

首先，我们要问，其他的数有没有平方根？例如－2的平方根是什么意思？这很好解释。复数i 就是－2的平方根，而且－i 也是。进一步说，对任何正实数 a ，复数i 和－i 都是－ a 的平方根。真正的魔力不在这里。但当我们考虑一般的复数 a +i b （这里 a 和 b 是任意实数）时情况会是怎样的呢？我们发现，复数

的平方就是 a +i b （它的负值也如此）。 ^*〔4.3〕 由此我们看到，即使只在单个量（即－1）上附加了一个平方根，其结果里的每一个数也会自动出现平方根！这是我们在从有理数过渡到实数的讨论中不曾遇到过的事情。在那种情形下，仅仅是向有理数系引入一个 都会使我们无所适从。

但这只是刚刚开始。我们可以接着问三次根、五次根、999次根、第π次根——甚至第i次根。我们惊奇地发现，不论选什么样的复数根，也不论我们用的是什么样的复数（零除外），这个问题总有一个复数解。（事实上，正如我们将看到的，这个问题通常有许多不同的解。前面我们说过，对平方根可得到两个解，复数 z 的负平方根也是 z 的平方根。对开高阶次方会得到更多的解，见§5.4。）

我们还只接触到复数魔力的皮毛。我刚刚陈述的只是些非常简单的东西（一旦我们有了复数的 对数 概念的话，见第5章）。更有意思的当属所谓“ 代数基本定理 ”，它是说，像

1－ z + z 4 =0

或

这样的任意多项式方程必有复数解。说得更明白点，形如

a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 +…+ a n z n =0

这样的方程必有解（通常是几个不同的解），这里 a 0 ， a 1 ， a 2 ， a 3 ，…， a n 是给定的复数，且 a n 不为零。 ^[2] （这里 n 可以取任意大的正整数。）作为比较，我们来回顾一下i的引进过程。实际上，引进i就是为了给出特定方程

1+ z 2 =0

的解，并未作其他考虑。

在作进一步论述之前，我们有必要指出，自1539年前后，卡尔达诺首次知道了复数并受到其神奇性质的启发后，他一直关注着这样一个问题，那就是找出（实）三次方程（即上述的 n =3）的一般解的表达式。卡尔达诺发现，一般的三次方程总可以通过简单代换缩并为

x 3 =3 px +2 q

形式。这里 p 和 q 都是实数，我们将这个方程写成关于 x 而不是 z 的方程，只是要表明现在考虑的是实数解而不是复数解。卡尔达诺的复数解（见他1545年发表的《大术》一书）似乎是由他于1539年从尼古拉·丰塔纳（Nicolò Fontana，“塔尔塔利亚” ^〔1〕 ）的部分解发展而来，虽然这个部分解（也许甚至是完整解）早先（1526年以前）已由费罗（Scipione del Ferro，1465～1526）发现。 ^[3] （费罗－）卡尔达诺解大致如下（按现代记法）：

这里

如果

q 2 ≥ p 3 ，

那么这个方程在实数系下没有任何问题。这时方程只有一个实数解，就是上面的（费罗－）卡尔达诺公式正确给出的解。但如果

q 2 ＜ p 3

即所谓不可约情形，那么尽管方程存在3个实数解，但上面公式里却包含了负数 q 2 － p 3 的平方根，因此不引入复数是不可能做到的。实际上，正如邦贝利后来证明的（见他1572年出版的《代数》第2章），如果我们承认复数，那么所有3个实数解都可由上述公式正确地表示。 ^[4] （这是说得通的，因为该公式提供了叠加了的两个复数，它们的i部分在求和中相互抵消，从而给出实数解。 ^[5] ）这里神秘的是，尽管这个方程看上去与复数无关——方程有实系数，解也是实的（在“不可约情形”下）——但我们需要到复数领地里走一遭才能得到纯粹的实数解。如果我们固守直接但狭窄的“实数”途径，则只能是两手空空而回。（具有讽刺意味的是，如果公式里不涉及复数，则原方程的复数解就只能是这些情形。） VS3xKYTUKKB3PX0vAPE2qGtdfqX8EiMGnqroIVBbGKdYS2rADxgewAk9YXfwACnN