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我们正在逐步取得进展。我们可以回顾一下，戴德金的构造的确利用了 有理数 集，而非直接用自然数集。如上所述，一旦我们有了自然数的概念，“定义”有理数并不难。但作为中间步骤，我们不妨先定义 整数 概念，它是自然数或自然数的 负数 （零的负数就是零本身）。从形式上看，给出“负数”的数学定义不存在困难：粗略地讲就是给每个自然数（除了零）加一个符号“－”，然后相应地给出加、减、乘、除等算术运算法则。但这里我们没有涉及负数的“物理意义”的问题，例如，何谓草地上有负3头牛？
我想这是清楚的，不像自然数本身，物理对象的负数概念可以没有明确的物理内容。负整数倒是有非常有价值的作用，像银行结余和其他财政交易出现的情形。但它们与物理世界有直接联系吗？我这里说的“直接联系”，不是指那种在相关信息中出现负实数的情形，例如当我们作距离测量时，取某个方向为正，那么在相反方向上测得的就为负值（对时间也可以作同样理解，从当前指向过去的方向通常认为是负的）。而我这里所说的数是个 标量 ，它无所谓方向（或时序）。在这些场合，似乎正是有正负的整数系提供了直接的物理关联。
令人惊奇的是，只是在过去的这一百年里，整数系确与物理现实存在着直接关联这一事实才变得十分明显。第一个可用整数作适当计量的物理量的例子是电荷。
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就目前所知（这个事实还未完全得到理论支持），任何离散的孤立物体的电荷都是某个特定值即质子（或电子，其电荷为质子的等量负值）电荷的或正、或负、或零的整数倍。
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据信，从一定意义上说，质子是由更小的称为“夸克”的粒子（和额外的称为“胶子”的无电荷粒子）组成的复合体。每个质子有3个夸克，它们的电荷值分别为
。这些分数电荷加起来正好给出质子的总电荷数1。如果夸克是基本成分，那么基本电荷单位就该是我们现在所用的三分之一。但无论怎样，所测得的电荷总是整数这一点是没错的，只不过现在是质子电荷的三分之一的整数倍。（夸克和胶子在现代粒子物理中的作用将在§§25.3－7中讨论。）
电荷只是所谓 加和性量子数 的一个例子。量子数是用来刻画大自然的粒子性的量。如果我们只是简单地将各组分粒子的值相加（当然还要考虑符号，就像对上面列举的质子及其组分夸克所做的处理一样），就可以导出某个复合量的值，那么这种量子数就是“加和性的”，这里我取的是实数。根据我们目前物理知识，一个非常明显的事实是，所有已知的加和性量子数 [21] 的确都属整数系，而非一般的实数，也不是简单的自然数——因为实际上总存在负值。
事实上，根据20世纪的物理学理解，物理量的负数是有明确意义的。大物理学家狄拉克于1929～1931年提出了他的反粒子理论。按照这个理论（往后我们会了解），每一种粒子都会存在相应的 反粒子 ，反粒子的加和性量子数精确地取原粒子量子数的负数，见§§24.2，8。因此，整数系（包括负数）的确与物理世界有着明确的联系——一种只在20世纪才看得非常明显的物理联系，尽管这么多世纪以来整数一直都是在数学、商业和人类的许多其他活动中才显出其巨大价值。
然而，在这个节骨眼儿上，一个重要的限定条件必须给出。尽管在一定意义上说反质子就是负的质子，但它确实不是“减去一个质子”。其理由是，符号相反只是针对加和性的量子数而言，而在现代物理理论中，质量概念并不是一个加和性概念。这个问题将在§18.7再作进一步解释。如果反质子是由“减去一个质子”得到的，那么它的质量就将是通常质子质量的负值。而实际物理粒子的质量是不允许取负值的，反质子的质量完全等同于普通质子的质量，即都是正质量。后面我们将看到，按照粒子场论的观点，存在所谓的“虚”粒子，它的质量（更确切地说，应是能量）可以是负的。“减去一个质子”其实就是这个虚拟的反质子。但虚粒子是无法像“实际粒子”那样独立存在的。
现在我们来问一个与有理数相关的问题。这个数系与物理世界有直接联系吗？就目前所知，情形似乎并非如此，至少在传统理论中是这样。尽管物理上有过有理数系在其中扮演一定角色的个例 [22] ，但很难说这些个例就反映了有理数的基础物理作用。另一方面，有理数在基础的量子力学概率方面倒可能起着特殊的作用（一个有理数概率表示多种可能性之一的选择，每一种这样的选择包含有限种可能性）。这种事情在自旋网络理论里发挥着一定的作用，见§32.6所述。但目前来看，这些概念的适当地位还不得而知。
但是还有另外一些种类的数，按照公认的理论，它们在宇宙的运行机制上似乎扮演着基本的角色。其中最重要也最突出的是
复数
，它带有一个看起来挺神秘的量
，通常记作“i”，这个i是附在实数系上的。它第一次出现是在16世纪，但随后却遭受了几百年的冷落，数学界对复数的数学功效的认识是逐渐加深的，直到它成为一种不可或缺的、甚至是神奇的数学思维的基本要素。但我们现在发现，它们的基础作用不限于数学，这些奇怪的数在物理世界的最小尺度的运算上同样起着异乎寻常的基本作用。我们有理由感到神奇，比起作为我们在本节考虑的实数系，它更是一个数学概念与物理宇宙的深刻的运行机制相融合的突出例证。下面我们就来探讨这些神奇的数。