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这里触及到一个深刻问题。在数学概念发展的过程中，一个重要的原始推动力就是寻找能准确反映物理世界行为的数学结构。但要用这些明晰的数学概念来检验物理世界的细节通常是不可能的，尽管这些数学概念可以直接从中抽象出来。但进步是有的，因为数学概念往往有一种似乎完全源自其自身的“动力”。数学思想的发展自然会引出各种问题。其中有些（如在求取正方形对角线长度时出现的问题）可导致原初的数学概念根据所出现的问题而发生根本性的扩展。这些扩展中，有些似乎是我们被迫做出的，有些则是出于方便、相容性或数学美等考虑做出的。这样，数学的发展似乎偏离了原先设立的方向，即不再反映物理行为。但在许多情形下，正是这种源自数学相容性和数学美的推动力，为我们带来了比预期的更深刻也更广泛地反映物理世界的数学结构和概念，就好像大自然本身也是在那些引导人类数学思想的相容性和美的判据的引领下发展的。
实数系本身就是这样一个例子。大自然没有直接证据表明物理上存在一种可扩展到任意大尺度上的“距离”概念；同样，也没有证据表明距离的概念可以运用到任意小尺度上。实际上，就没有证据表明一定存在着与几何上精确使用的实数距离相一致的“空间点”。在欧几里得时代，几乎没有证据支持说这种欧几里得“距离”可以向外扩展到譬如说10 12 米， [10] 或向内用于10 －5 米。但是，正是受到数学上实数系表现出的相容性和美的激励，迄今为止所有成功应用于广泛领域的物理理论才无一例外地继续坚持这种古老的“实数”概念。虽然从欧几里得时代可获得的证据上说，这么做缺乏正当性，但我们对实数系的信心似乎已经得到了回报。今天，成功的现代宇宙学理论已将实数距离的运用范围扩展到10 26 米甚至更大的尺度上，而粒子物理的精确性则将这种距离概念用到了10 －17 米甚至更小的范围内。（物理上预期的最小尺度要比现今所用的还小18个数量级，即10 －35 米，这就是量子引力的“普朗克尺度”，我们将在§§31.1，6～12，14和§32.7对此予以讨论。）实数系应用的有效范围从欧几里得时代的10 17 量级的跨度扩展到今天物理理论直接用到的10 43 量级，增长了约26个数量级，这无可辩驳地证明了我们对数学理想化概念运用的正当性。
实际上，实数系的物理有效性要比这宽泛得多。首先，面积和体积也是可用实数来精确测量的量。体积量度是距离量度的立方（面积则是距离的平方）。这样，就体积而言，我们可以认为其相关的跨度范围也是三次方的。在欧几里得时代，这个跨度是（10 17 ） 3 =10 51 ，而在今天，则至少是（10 43 ） 3 =10 129 。除此之外，现代理论还有许多其他需要用实数来描述的物理量。最值得指出的就是时间。按照相对论，时间必须和空间结合起来形成时空概念（我们将在第17章讨论这个问题）。时空体积是4维的，我们不妨将时间跨度（在现有理论里也是10 43 ）也一并加以考虑，这样，总的数量级就至少是10 172 。在后面（§27.13和§28.7）的讨论中，我们还将看到更大的实数，尽管在某些情形下实数（而非整数）应用是否具有实质性意义这一点还不十分清楚。
对于自阿基米德始，经过伽利略和牛顿，到麦克斯韦、爱因斯坦、薛定谔、狄拉克和其他学者所创立的物理理论来说，更为重要的是，实数系在标准的微积分程式化方面始终起着必要框架的关键作用（见第6章）。所有成功的动力学理论都需要微积分概念来系统化。现在，常规的微积分处理都需要用到实数的 无穷小 性质。也就是说，在小尺度一端，原则上应用完全是在实数范围内进行的。微积分的思想奠定了其他诸如速度、动量和能量等物理概念的基础。结果，实数系以一种基础性的形式进入各种成功的物理理论。正如早先在§2.3和§3.2谈及面积时指出的，这里要求存在实数系小尺度结构的无穷小极限。
但是我们仍可以问一句，就最深层次的物理实在的描述而言，实数系真的是“正确的”吗？在20世纪初开始引入量子力学概念的时候，人们感到这大概就是见证物理世界在最小尺度上的离散或颗粒性质的层面了。 [11] 能量显然只以离散丛——或叫“量子”——的方式存在，“作用量”和“自旋”等物理量似乎也只以基本单位的离散乘积形式出现（作用量的经典概念见§§20.1，5，其量子概念见§26.6；自旋概念见§§22.8－12）。因此，各个物理学家都试图在这种最小尺度上离散性支配着所有作用的基础上建立起各自的世界图景。
然而，正如我们现在对量子力学的理解，理论并没有迫使我们（更未引导我们）采取这样一种观点：在最小尺度上，空间、时间或能量一定取离散或颗粒性质（见第21、22章，特别是§22.13的最后一段）。但不论怎样，自然界在根本上是离散的观念始终伴随着我们，尽管事实上量子力学就其标准形式体系来说并没有暗示这一点。例如，大量子物理学家薛定谔（Erwin Schrödinger）就曾最先提出，基本空间离散性的改变实际上是必需的： [12]
当代数学家们极为熟悉的范围连续性思想是一种过分的要求 ， 这是对我们可感知的性质的一种巨大的外推 。
他将这一看法与早期希腊人关于自然界离散性的某些思想联系起来。爱因斯坦在他晚年出版的著作中也曾建议，基于离散性的（代数）理论可能是未来物理学发展的方向： [13]
人们有很好的理由来说明为什么实在不能表示为连续的场 …… 量子现象 …… 必然引导去寻找描述实在的纯代数理论 。 但没人知道如何获得这种理论的基础 。 [14]
其他人 [15] 也追随过这种思想，见§33.1。在20世纪50年代后期，我自己也做过这类尝试，提出了我称之为“自旋网络”的理论，其中量子力学自旋的离散性质被当作物理学综合（即基于离散而非实数基的）处理的基础性材料。（这一理论将在§32.6予以简述。）虽然我在这个方向上的见解并未发展成一种综合性理论（但后来它在某种程度上变形为“扭量理论”；见§33.2），但自旋网络理论现在已被其他人用作为解决 量子引力 的基础性问题的主要工具之一。 [16] 我将在第32章简单描述这些不同的概念。不论怎样，就业经尝试和检验的物理理论现状来看——正如它在过去24个世纪所经历的那样——实数仍然是我们理解物理世界的基本要素。