2.5
双曲几何的其他表示

显然，白鱼看上去不全一样，但这是因为我们是从欧几里得几何而不是从双曲几何的视角来看他们。埃舍尔的画只是利用了双曲几何在欧几里得几何下的特殊表示，双曲几何本身则是一个更为抽象的不依赖于任何特定欧几里得表示的东西。但这种表示对我们大有裨益，它使我们能够用更熟悉、看起来更“具体”的形态，即欧几里得几何形态来看待双曲几何。除此之外，这种表示还清楚地显示了双曲几何具有相容的结构，由此可知，平行公设不可能从欧几里得几何的其他公设中得到证明。

双曲几何的确还存在其他的欧几里得几何的表示，这些表示明显不同于埃舍尔所用的共形表示。其中之一就是所谓的 射影 表示。在射影表示中，整个双曲平面同样被描述为欧几里得平面上圆的内部，但现在双曲直线是用欧几里得直线（而不是圆弧）来表示。这种明显简单化的代价就是现在双曲角不再等于欧几里得角，很多人认为这种代价过大了。在这种表示下，A和B两点之间的双曲距离由下式给出（图2.14）：

（像在共形表示里一样，取 C =1），这里R和S是直线AB的延长线与边界圆的交点。我们可以按下述办法从双曲几何的共形表示中来得到这种表示：从中心沿径向扩展一个量

这里 R 是边界圆半径， r c 是从共形表示中一点的边界圆的中心向外的欧几里得距离（图2.15）。 ^*〔2.4〕 图2.16是按此公式将图2.11的埃舍尔的画从共形表示变换到射影表示下的图形。（尽管忽略了细节，埃舍尔的那种精确的艺术特点仍十分明显。）虽然不是那么吸引人，但它提供了一个全新的视角！

还有一种更直接的几何方法可用来表示这种几何，它与共形表示和射影表示都有一定联系。所有这三种表示都归功于天才的意大利几何学家贝尔特拉米（Eugenio Beltrami，1835－1900）。考虑一个球面 S ，它的赤道大圆恰好与双曲几何的射影表示的边界圆重合。现在我们来求 S 的 北半球面 S + 上的双曲几何表示，我称它为 半球 表示。见图2.17。为了从平面（设为水平面）的射影表示过渡到新的球面上的表示，我们只需垂直向上投影（图2.17（a））。代表双曲直线的平面上的直线在 S + 上表示为与赤道大圆垂直相交的半圆。而要从 S + 上的表示得到平面上的共形表示，我们从 南极 进行投影（图2.17（b））。这就是所谓的 球极平面投影 ，它在本书中扮演着重要角色（§8.3，§18.4，§22.9和§33.6）。我们将在§8.3叙述球极平面投影的两个重要性质，一个是说这种投影是 共形的 ，因此它是保角的，就是说，投影将球面上的圆变换成平面上的圆（有一个例外，就是变换成直线）。 ^{*〔2.5〕 **〔2.6〕}

双曲几何存在着不同的欧几里得空间下的表示，这一事实强调的是，这些表示不过是双曲几何的“欧几里得模型”，切不可当作是双曲几何实际的样子。如同欧几里得几何一样（见§1.3和序言），双曲几何有它自己的“柏拉图存在”。这些“模型”里没一个可被认为比其他的更有资格充当双曲几何的“正确”图像。每一种表示在帮助我们理解方面都有其非常重要的价值，我们之所以对欧几里得表示印象深刻，只不过是因为我们更熟悉这种框架罢了。对生长在直接体验双曲几何（而不是欧几里得几何）的智慧生物来说，用双曲几何的概念来理解欧几里得几何同样是件自然的事。在§18.4，我们还将遇到双曲几何的另一种模型，这就是狭义相对论的闵可夫斯基几何。

在结束本节的时候，让我们回到双曲几何下正方形的存在性问题上来。在双曲几何里，虽然不存在四个角都是直角的正方形，但存在更为一般的其各角均小于直角的“正方形”。构造这种正方形的最简单的方法，就是画两条在O点成直角相交的直线。我们的“正方形”现在就是这样一种四边形，它的四个顶点是这两条直线与以O为中心的圆的交点A，B，C，D（见图22.18）。由于图形的对称性，四边形ABCD的四条边相等，四个角也相等。但这些角是直角吗？在双曲几何下不是。实际上它们可以是小于直角的任意（正）角，但就不能是直角。（双曲）正方形的面积越大（即上述结构中的圆越大），这个角就越小。在图2.19（a），我用共形模式画了双曲正方形格子，它的每个顶点上有5个正方形（而不是欧几里得几何的4个），故顶角为 π或72°。图2.19（b）是用射影模型表示画出的同样的格子。我们看到，这种调整对于图2.2中的两正方形格子是不容许的。 ^***〔2.7〕